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设置方差估计

通过 博士

本讲座介绍了一些示例 组 估算 问题,专注于 设定 方差,即使用样本产生对 方差 未知分布。

目录

正常的IID样本-已知平均值

在本示例中,我们做出与在点示例中所做的相同假设 估计方差的估计 正常的IID样本-已知平均值. 强烈建议读者在阅读示例之前先阅读该示例。

例子

例子 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从一个独立抽签 正态分布 知道平均值 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 具体来说,我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 独立随机变量 X_1, ..., X_n, 全部具有已知均值的正态分布 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 的 样品 是个 n尺寸 向量 [eq1]哪一个 是实现 随机向量 [eq2]

间隔估计器

区间估计器 的 方差 sigma ^ 2 基于以下的点估计量 方差:[eq3]

间隔估计器 是[eq4]哪里 $ z_ {1}$$ z_ {2} $ 是严格的正常数 $ z_ {1}<z_{2}$.

覆盖率

覆盖率 的 区间估计器 $ T_ {n} $[eq5]哪里 Z 是一个 卡方随机变量n 自由程度。

证明

覆盖概率可以写成 如 [eq6]哪里 我们有 定义的[eq7]在 演讲题目 的点估计 方差,我们已经证明,鉴于对 样品 $ xi _ {n} $ 如上所述,方差估计量 [eq8] 有一个 伽玛分布 带参数 nsigma ^ 2. 将Gamma随机变量与参数相乘 nsigma ^ 2 通过 [eq9] 一个获得卡方随机变量 n 自由程度。因此,变量 Z 具有卡方分布 n 自由程度。

置信系数

注意,覆盖概率不取决于未知参数 sigma ^ 2. 因此, 置信度 系数 间隔估计量 $ T_ {n} $ 与其覆盖范围一致 可能性:[eq10]哪里 Z 是具有以下项的卡方随机变量: n 自由程度。

尺寸

间隔估计器的大小 $ T_ {n} $[eq11]

预期大小

请注意,大小取决于 [eq12] 因此在样本上 $ xi _ {n} $. 的 预期大小 间隔的 估计量 $ T_ {n} $[eq13]哪里 我们使用了这样一个事实 [eq12] 是的无偏估计 sigma ^ 2 (即 [eq15], 见讲座 点估计 方差)。

正常的IID样本-未知平均值

此示例与上一个示例相似。唯一的区别是我们 现在放宽关于分布均值已知的假设。

例子

在此示例中,示例 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从均值未知的正态分布中独立提取 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 具体来说,我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 独立随机变量 X_1, ..., X_n, 全部具有正态分布,均值未知 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 样本是 n尺寸 向量 [eq16], 这是随机向量的实现 [eq17].

间隔估计器

构造方差的区间估计量 sigma ^ 2, 我们使用样本均值 Xbar_n:[eq18]和 要么 未经调整 样品 方差[eq19]要么 的 调整样本 方差[eq20]我们 考虑下面的区间估计 方差:[eq21]哪里 $ z_ {1}$$ z_ {2} $ 是严格的正常数 $ z_ {1}<z_{2}$.

覆盖率

区间估计器的覆盖概率 $ T_ {n} $[eq22]哪里 $ Z_ {n-1} $ 是具有以下项的卡方随机变量: $n-1$ 自由程度。

证明

覆盖概率可以写成 如 [eq23]哪里 我们有 定义的[eq24]在 演讲题目 的点估计 方差,我们已经证明,鉴于样本的假设 $ xi _ {n} $ 如上所述,未经调整的样本方差 $ S_ {n} ^ {2} $ 有一个 伽玛分布 带参数 $n-1$[eq25]. 因此,随机变量 $ Z_ {n-1} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n-1$$ h $ 哪里[eq26]但 具有参数的Gamma分布 $n-1$$n-1$ 是具有的卡方分布 $n-1$ 自由程度。因此, $ Z_ {n-1} $ 具有卡方分布 $n-1$ 自由程度。

置信系数

请注意, $ T_ {n} $ 不依赖于未知参数 亩sigma ^ 2. 因此, 置信度 系数 置信区间的范围与其覆盖范围重合 可能性:[eq27]哪里 $ Z_ {n-1} $ 是具有的卡方分布 $n-1$ 自由程度。

尺寸

置信区间的大小 $ T_ {n} $[eq28]

预期大小

预期大小$ T_ {n} $[eq29]哪里 在倒数第二步中,我们使用了事实(在标题为“ 点的方差估计) 那[eq30]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设您观察到一个 $100$ 从已知均值的正态分布中独立得出 $ 亩 = 0 $ 和未知方差 sigma ^ 2. 表示 $100$ 吸引 X_1, ..., $ X_ {100} $. 假设 那:[eq31]

找出一个置信区间 sigma ^ 2, 使用的集合估计量 sigma ^ 2$90%$ 覆盖率。

提示:卡方随机变量 Z$100$ 自由度有一个 分配功能 [eq32] 这样 那[eq33]

对于给定的样本量 n, 间隔 估计量[eq4]具有 覆盖范围 可能性[eq35]哪里 Z 是具有以下项的卡方随机变量: n 自由度和 [eq36] 是严格的正常数。因此,如果我们 组[eq37]然后[eq38]哪一个 等于我们期望的覆盖率。因此,置信区间 对于 sigma ^ 2[eq39]

练习2

假设您观察到一个 $100$ 从均值未知的正态分布中独立提取 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 表示 $100$ 吸引 X_1, ..., $ X_ {100} $. 假设他们调整后的样本方差 $ s_ {100} ^ {2} $ 等于 $5$, 那 是的[eq40]

找出一个置信区间 sigma ^ 2, 使用的集合估计量 sigma ^ 2$99%$ 覆盖率。

提示:卡方随机变量 Z$99$ 自由度具有分布函数 [eq41] 这样 那[eq42]

对于给定的样本量 n, 间隔 估计量[eq43]具有 覆盖范围 可能性[eq44]哪里 Z 是具有以下项的卡方随机变量: $n-1$ 自由度和 [eq45] 是严格的正常数。因此,如果我们 组[eq46]然后[eq47]哪一个 等于我们期望的覆盖率。因此,置信区间 对于 sigma ^ 2[eq48]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "设置方差估计", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/set-estimation-variance.

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