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统计推断

通过 博士

统计推断是使用观察到的数据推断未知的行为 概率分布的性质和特征 观察到的数据已经生成。用于制作的数据集 推论称为样本。

目录

目录

  1. 样品

  2. 统计模型

    1. 参数模型

  3. 统计推断

  4. 决策理论

样品

在最简单的情况下，我们观察到 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 独立随机变量 X_1, ...， X_n 有共同点 分配 功能 [eq1] 我们使用观察到的实现来推断 [eq2]. 稍微滥用语言，我们有时会说 "n 随机变量的独立实现 X" 而不是说“ n 独立随机变量 X_1, ...， X_n 具有共同的分配功能 [eq3]”。

例 某种类型的电子设备的寿命是随机变量 X, 其分布函数 [eq2] 未知。假设我们独立观察 $10$ 组件。用以下方式表示这些实现 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $, ...， $ x_ {10} $. 我们对...的期望值感兴趣 X, 这是一个未知的特征 [eq5]. 我们推断 [eq6] 根据数据进行估算 [eq6] 与样品 意思[eq8]在 这个简单的例子观察到的数据 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $, ...， $ x_ {10} $ 构成我们的样本 [eq6] 是我们要进行统计推断的数量。

而在最简单的情况下 X_1, ...， X_n 是独立的随机变量，更复杂的情况是可能的。对于 例：

  1. X_1, ...， X_n 不独立；

  2. X_1, ...， X_n 是 随机向量 有共同点 联合分配 功能 [eq2];

  3. X_1, ...， X_n 没有共同的概率分布。

是否有样本的定义来概括所有 以上特殊情况？幸运的是，它非常简单。

定义 A 样品 $ xi $ 是随机向量的实现 $ Xi $.

的分布函数 $ Xi $, 表示为 [eq11], 是构成推断对象的未知分布函数。

因此，“样本”仅是“实现随机向量”的同义词。的 以下示例显示了此一般定义如何适应特殊情况 上述案例。

例 当我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 独立随机变量 X_1, ...， X_n 具有共同的分配功能 [eq2], 样本是 n尺寸 向量 [eq13], 这是随机向量的实现 [eq14]. 的联合分布函数 $ Xi $ 是[eq15]

例 当我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 随机变量 X_1, ...， X_n 不是独立的而是具有共同的分配功能 [eq2], 样本又是 n尺寸 向量 [eq17], 这是随机向量的实现 [eq18]. 但是，在这种情况下，联合分配函数 [eq19] 不能再写成的分布函数的乘积 X_1, ...， X_n.

例 当我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 独立 K尺寸 随机向量 X_1, ...， X_n 具有共同的关节分布功能 [eq2], 样本是 $ nK $尺寸 向量 [eq21], 这是随机向量的实现 [eq22]. 的联合分布函数 $ Xi $ 是[eq15]

例 当我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 独立 K尺寸 随机向量 X_1, ...， X_n 具有不同的联合分配功能 [eq24], ...， [eq25]， 样本是 $ nK $尺寸 向量 [eq26], 这是随机向量的实现 [eq14]. 的联合分布函数 $ Xi $ 是[eq28]

由样品制成 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 随机变量（或随机 向量）：[eq29]然后 我们说样本有 尺寸 n （或 样本量 是 n）。 个人实现 $ x_ {i} $ 被称为 观察 从样本。

统计模型

在上一节中，我们定义了一个示例 $ xi $ 作为随机向量的实现 $ Xi $ 具有联合分配功能 [eq30]. 例子 $ xi $ 用于推断 [eq31] 统计人员还不完全了解。属性和 特点 [eq19] 观察之前已知的（或假定已知的） 样本被称为模型 $ Xi $. 用数学术语来说， $ Xi $ 是一组联合分配函数， [eq19] 被认为属于。

定义 让样品 $ xi $ 实现一个 $ l $维随机 向量 $ Xi $ 具有联合分配功能 [eq19]. 让 $ Psi $ 成为所有人的集合 $ l $尺寸 联合分配 职能：[eq35]A 子集 [eq36] 被称为 统计模型 （或 模型 规范 或者，简单地说， 模型） $ Xi $. 如果 $ F_ {Xi}，皮皮$ 这个模型据说是 正确指定 （要么 规范）。否则，如果 [eq37] 这个模型据说是 错误指定.

以下示例是上一个示例的延续 部分。

例 假设我们的样本是由 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 随机变量 X_1, ...， X_n. 假设 n 随机变量是相互独立的，并且它们具有共同的 分配功能 [eq38] 样本是 n尺寸 向量 [eq39]. $ Psi $ 是随机向量的所有可能分布函数的集合 [eq22]. 回顾定义 边际分布 功能 以及相互独立的特征，我们可以定义 统计模型 $菲$ 如 如下：[eq41]

例 以上述示例为例，删除以下假设： n 随机变量 X_1, ...， X_n 彼此独立。统计模型 $菲$ 是 现在：[eq42]

接下来的小节将介绍与模型相关的一些术语 规范。

参数模型

一个模型 $菲$ 对于 $ Xi $ 如果属于的联合分布函数称为参数模型 $菲$ 与一套对应 $ 的ta $ 真实向量。

定义 让 $菲$ 成为榜样 $ Xi $. 让 [eq43] 成为一组 p尺寸 实向量。让 [eq44] 是与的子集相关联的对应 $菲$ 每一个 $ theta中的$. 三重 [eq45] 是一个 参数模型 当且仅 如果[eq46]的 组 $ 的ta $ 叫做 参数空间。一个向量 $ theta中的$ 被称为 参数.

因此，在参数模型中， $菲$ 与至少一个参数对应 $ heta $.

什么时候 [eq47] 将每个参数关联一个唯一的联合分布函数（即 [eq48] 是一个函数），参数模型称为参数族。

定义 family">让 [eq49] 是参数模型。如果 $伽马$ 是来自 $ 的ta $ 至 $菲$, 然后将参数模型称为 参数族。在 在这种情况下，与参数关联的联合分布函数 $ heta $ 用表示 [eq50].

当每个分布函数仅与一个参数相关联时， 称参数族是可识别的。

定义 p算术的family">让 [eq51] 成为一个参数化家庭。如果 $伽马$ 是一对一的（即每个分布函数 F 仅与一个参数相关联），则称参数族 是 可识别的.

统计推断

A 统计推断 是关于未知的陈述 分配功能 [eq19], 根据观察到的样品 $ xi $ 和统计模型 $菲$. 统计推断通常是从一组可能的推断中选择的，并且 采取模型限制的形式。给定原始模型的子集 [eq53], a 模型限制 可以是 包含 限制:[eq54]要么 一个 排除 限制:[eq55]

以下是常见的统计推断类型：

  1. 在 假设检验，一个限制 [eq56] 是提议的，并且在两个可能的语句之间进行选择：

    1. 拒绝限制；

    2. 不要拒绝该限制。

  2. 在 估算，一个限制 [eq56] 必须从一组可能的限制中选择。

  3. 在 贝叶斯推理，观察到的样本 $ xi $ 用于更新限制的主观概率 [eq56] 是真的。

决策理论

基于以下内容进行陈述（统计推断）的选择 观察到的数据通常可以形式化为决策问题，其中：

  1. 进行统计推断被视为 行动;

  2. 每个动作可以有不同的 后果， 取决于 哪个分布函数 [eq19] 是真实的；

  3. a 偏好排序 超过可能的后果需要 引起

  4. 一个 最佳行动方案 需要连贯地采取 带有偏好。

有几种不同的方法可以将这种决策问题形式化。的 分析这些决策问题的统计数据分支称为 统计决策理论.

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "统计推断", 列克特ures on probability theory 一个d mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/statistical-inference.

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