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条件概率密度函数

通过 博士

连续随机变量的概率分布可以是 其特点 可能性 密度函数 (pdf)。当随机的概率分布 通过考虑一些会引起变化的信息来更新变量 到条件概率分布,那么这样的分布可以是 以条件概率密度函数为特征。

目录

定义

以下是正式定义。

定义XY 是两个连续的随机变量。条件概率密度 的功能 X 给定 Y = y 是一个功能 [eq1] 这样 那[eq2]对于 任何间隔 [eq3].

在上面的定义中数量 [eq4]是 的 有条件的 可能性X 将属于间隔 $ left [a,b
权] $, 鉴于 Y = y.

如何得出

为了导出给定的连续随机变量的条件pdf 实现另一个,我们需要知道他们的联合概率 密度函数(请参阅 这个词汇表 条目 了解联合pdf的工作原理)。

假设我们被告知两个连续的随机变量 XY 具有联合概率密度函数 [eq5].

然后,我们还被告知 Y 已经观察到 $ Y = y $, 哪里 $ y $ 表示观察到的实现。

我们如何计算条件概率密度函数 X 以便将新信息考虑在内?

这分两个步骤完成:

  1. 首先,我们计算 边缘 密度Y 通过整合关节 密度:[eq6]

  2. 然后,我们使用条件密度 式:[eq7]

让我们举个例子。

假设联合概率密度函数为 XY[eq8]

的支持 Y (即一组可能的实现) 是[eq9]

什么时候 [eq10], 的边际pdf Y[eq11]

什么时候 [eq12], 的边际pdf Y[eq13] 因为 [eq14]和 其积分为零。

通过将两个部分放在一起,我们 获得[eq15]

因此,条件pdf X 给定 $Y=2$[eq16]

请注意,我们无需担心被零除的情况(即 [eq17]) 因为实现 $ y $ 永远属于 Y 结果, [eq18].

如何用于建立联合密度

我们刚刚解释了如何从联合pdf导出条件pdf,但是 事情也可以反过来做:如果给我们边际pdf [eq19] 和有条件的 [eq20], 然后可以通过执行简单的操作来导出联合分布 乘法:[eq21]

更多细节

可以找到有关条件概率密度函数的更多详细信息 在题为 条件概率 分布.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "条件概率密度函数", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/conditional-probability-density-function.

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