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一致的估计量

通过 博士

一个 估计量 给定参数的 要保持一致 汇合 可能性 样本量趋向于达到参数的真实值 无穷。

目录

定义

在给出一致估计的正式定义之前,让我们简要介绍一下 突出显示参数估计问题的主要元素:

在观察之前,样本 $ xi _ {n} $ 被视为 随机变量. 因此, [eq2], 这取决于 $ xi _ {n} $, 也是一个随机变量。

需要时,我们可以 写[eq3]至 强调事实是估计量 [eq4] 是样本的函数 $ xi _ {n} $.

现在,假设我们能够收集新数据并增加样本量 n 无限期地获取样本序列 [eq5] 和一系列估计量 [eq6]. 如果估计的这个“虚构”序列在概率上收敛到 如果参数值为true,则称其为一致。

定义 估计量序列 [eq7] 据说是一致的,当且仅当 如果[eq8]哪里 $ QTR {rm} {plim} $ 表示概率收敛。

注意,我们定义了“一致的估计序列”。但是我们该怎么办 “一致估计量”是什么意思?后者通常是非正式使用的 表示1)相同的预定义规则用于生成所有 估计中的序列与那个2)序列是一致的。就这样 一致性的概念从估计序列到规则 用于生成它。例如,假设规则是“计算 样本均值”,因此 [eq9] 是一个序列 样本均值 过度 样本数量不断增加。如果 [eq10] 概率收敛到生成 样本,那么我们说 [eq10] 是一致的。通过稍微滥用语言,我们还说样本的意思是 是一个一致的估计量。

例子

下表包含一致估计量的示例(带有指向 证明一致性的讲座)。

估算器 估计参数 可以找到证明的讲座
样本平均值 期望值 均值估计
样本方差 方差 估计方差
OLS估算器 线性回归系数 OLS估计器的属性
最大似然估计 分布的任何参数 最大似然

估计量不一致

估计不一致的估计被称为不一致。

一致且渐近正常

您会经常读到,给定的估计量不仅一致,而且 渐近正态,即其分布收敛于正态 随样本数量的增加而分布。您可能会认为收敛到 正态分布与一致性暗示的事实不一致 概率收敛到一个常数(真实参数值)。其他 话,您可能会问自己:“是收敛到一个常数还是一个常数 分布?”。要回答这个问题,我们应该给出更精确的 渐近正态的定义。

考虑比例 [eq12]什么时候 [eq10] 是一致的,两者的区别 [eq14] 标准偏差 [eq15] 收敛为零 n 趋于无穷大。但是,它们的比率可以收敛到分布。什么时候 它收敛到一个 标准正常 分配,然后是顺序 [eq10] 据说是渐近正常的。

渐近正态的实际结果是,当 n 很大,我们可以用标准法线近似上述比率 分配。它遵循 [eq4] 可以用均值的正态分布来近似 $ heta _ {0} $ 和标准偏差 [eq18]. 但是后者收敛到零,因此分布变得更大,并且 更加集中于均值,最终收敛到一个常数。

更多细节

关于一致性的讨论,请参见 点估计.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "一致的估计量", 列克特ures on 可能性 theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/consistent-estimator.

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