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离散随机变量

通过 博士

A 随机变量 如果可以接受(支持)的一组值具有 有限或无限但可数的元素。它的 概率分布可以通过称为 概率质量函数.

目录

定义

以下是正式定义。

定义 随机变量 X 是离散的,如果其 支持 R_X 是可数的,并且存在一个函数 [eq1], 称为的概率质量函数 X, 这样 那[eq2]哪里 [eq3]X 将取值 x.

离散随机变量通常被称为具有离散概率 分配。

例子

这里有些例子。

例子1

X 是只能接受三个值的随机变量 (1, $2$$3 $), 每个都有 可能性 $1/3$. 然后, X 是一个离散变量。它的支持 是[eq4]和 它的概率质量函数 是[eq5]

因此,例如, X 将等于 $2$[eq6]和 的概率 X 将等于 $2/3$[eq7]因为 $2/3$ 不属于 X.

例子2

X 是一个随机变量。让它作为自然数的集合, 那 是的[eq8]和 它的概率质量函数 是[eq9]

请注意,与之前的示例不同,此处的支持是有限的, 在此示例中,支持是无限的。

概率是多少 x 将等于 $10$? 以来 $10$ 是自然数,它属于 X 及其可能性 是[eq10]

概率是多少 x 将等于 $1/2$? 以来 $1/2$ 不是自然数,它不属于支撑。作为结果, 它的可能性 是[eq11]

一组数字的概率

我们如何计算离散变量实现的概率 X 将属于给定的一组数字 A?

这是通过将概率质量函数的值相加来实现的 在...的所有元素上 A:[eq12]

考虑变量 X 在上面的示例2中进行了介绍。假设我们要计算出 X 属于 组[eq13]然后,[eq14]

期望值

期望值 离散随机变量的 式[eq15]

请注意,总和在整个支持范围内 R_X.

考虑具有 支持[eq16]和 概率质量 功能[eq17]它的 期望值 是[eq18]

方差

通过使用的定义 方差[eq19]和 上一节中说明的期望值的公式,我们可以 写离散随机变量的方差 如 [eq20]

在前面的示例中使用变量。我们已经计算了 预期 值:[eq21]它的 方差 是[eq22]

常见的离散分布

下表包含一些离散分布的示例,这些离散分布是 在概率论和统计学中经常遇到。

离散分布的名称 支持 支持类型
贝努利 {0,1} 有限
二项式 {0,1,2,...,n} 有限
泊松 所有非负整数的集合 无限但可数

更多细节

您可以在 演讲题目 随机 变数.

您还可以在以下位置找到有关概率质量函数的更多详细信息 此词汇表条目.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "离散随机变量", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/discrete-random-variable.

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