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离散随机变量

经过 ,博士学位

A random variable 如果可以采取的一组价值(其支持),据说是离散的 有限或无限但可数元素数。它的 可以通过调用的函数来表征概率分布 概率质量功能.

目录

定义

以下是正式定义。

定义 A random variable X is discrete if its support r_x. 是可计算的,存在函数 [eq1], 被称为概率质量功能 X, such that[eq2]在哪里 [eq3] 是可能的概率 X will take the value x.

通常认为离散随机变量具有离散概率 distribution.

例子

这里有些例子。

例1

Let X 是一个可以只需要三个值的随机变量 (1, $2$ and $3 $), each with probability $1/3$. Then, X 是一个离散变量。它的支持 is[eq4]和 其概率质量功能 is[eq5]

因此,例如,概率 X will be equal to $2$ is[eq6]和 the probability that X will be equal to $2/3$ is[eq7]因为 $2/3$ 不属于支持 X.

例2.

Let X 是一个随机变量。让它的支持是自然数量, that is,[eq8]和 其概率质量功能 be[eq9]

请注意,与前面的示例不同,支持是有限的, 在此示例中,支持是无限的。

什么是概率 x will be equal to $10$? Since $10$ 是一种自然的数量,它属于支持 X and its probability is[eq10]

什么是概率 x will be equal to $1/2$? Since $1/2$ 不是自然数,它不属于支持。作为结果, its probability is[eq11]

一组数字的概率

我们如何计算实现离散变量的概率 X 将属于一组给定的数字 A?

这是通过求解概率质量函数的值来实现的 超过所有的元素 A:[eq12]

例子 考虑变量 X 在上面的示例2中介绍。假设我们想要计算概率 X belongs to the set[eq13]然后,[eq14]

期望值

The 预期的 value 使用离散随机变量进行计算 formula[eq15]

请注意,总和在整个支持下 r_x..

例子 考虑一个变量 support[eq16]和 probability mass function[eq17]它的 expected value is[eq18]

方差

通过使用定义 variance[eq19]和 我们可以的前一节中所示的预期值的公式 写下离散随机变量的方差 as[eq20]

例子 占用前一个例子中的变量。我们已经计算了它 expected value:[eq21]它的 variance is[eq22]

常见的离散分布

下表包含一些离散分布的示例 经常在概率论和统计中遇到。

离散分配的名称 Support Type of support
Bernoulli {0,1} Finite
Binomial {0,1,2,...,n} Finite
Poisson 所有非负整数号的集合 无限但可数

更多细节

您可以阅读对离散随机变量的彻底解释 lecture entitled Random variables.

您还可以找到有关概率质量功能的更多详细信息 this glossary entry.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "离散随机变量", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/discrete-random-variable.

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