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均方误差

通过 博士

在点估计理论中,均方误差是经常使用的 评估风险 估计量, 就是那样 平均而言,所犯估计误差造成的损失很大 当使用有问题的估算器时。

当要估计的参数是标量时,均方误差为 等于期望值的平方之间的差值 估计量和参数的真实值。

当要估计的参数是向量时,我们采用欧几里得范数 计算平方之前的差异。

目录

缩略语

首字母缩写 微软 通常被雇用。

定义

以下是均方误差的可能定义。

定义$ widehat {heta} $ 估计未知参数 $ heta _ {0} $. 估计误差 是[eq1]什么时候 平方误差 [eq2]是 用作 损失函数,则存在 估算值(即损失的期望值) 是[eq3]和 这称为估计量的均方误差 $ widehat {heta} $.

什么时候 $ heta _ {0} $ 是一个标量,平方误差 是[eq4]因为 标量的欧几里得范数等于其绝对值。因此, 微软 变成[eq5]

偏差方差分解

以下分解通常用于区分两个主要 错误的来源,称为偏差和方差。

主张 估计量的均方误差 $ widehat {heta} $ 可以写 如 [eq6]哪里。[eq7] 是协方差矩阵的踪迹 的。$ widehat {heta} $[eq8]是 估计量的偏差,即 估计量和参数的真实值。

证明

假设真实参数及其估计量 是列向量。那我们可以 写:[eq9]哪里: 在步 $ box {A} $ 我们扩展了产品;在步 $ box {B} $ $ box {C} $ $ box {D} $ 我们使用了期望值算子的线性;在步 $ box {E} $ 我们已经利用了一个事实,即方阵的迹线等于 它的对角线元素。

当参数 $ heta _ {0} $ 是标量,上面的公式用于偏差方差分解 变成[eq10]

显然,无偏估计量的均方误差( 偏差为零的估算器)等于估算器的方差 本身。

更多细节

有关损失函数,统计风险和均方误差的更多详细信息 可以在标题为“讲座”的演讲中找到 点估计.

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "均方误差", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/mean-squared-error.

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