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概率密度函数

经过 ,博士学位

分布一个 continuous random variable 可以通过其概率密度函数来表征 ( PDF. )。连续随机变量的概率 在给定的时间间隔中取值等于其概率的积分 在该间隔内的密度函数,这反过来等于区域 由x轴,pdf和垂直线界定的xy平面中的区域 对应于间隔的边界。

例如,在下面的图片中,蓝线是正常随机的PDF 变量和红色区域的区域等于概率 随机变量采用-2和2之间的值。

正态分布的概率密度函数

 目录

定义

以下是正式定义。

定义 连续随机变量的概率密度函数 X is a function [eq1] such that[eq2] 为了 any interval [eq3].

The set of values x for which [eq4] 被称为支持 X.

例子

假设一个随机变量 X 具有概率密度 function[eq5]

计算概率 X 在间隔中取得一个值 $left[ 1,2
ight] $, 您需要将概率密度函数集成到其中 interval:[eq6]

概率密度不是概率

了解概率之间的根本差异很重要 密度函数,其特征是连续随机的分布 variable, and the probability mass function,这表征了离散随机的分布 变量(记住:随机变量是离散的,如果值的数量是离散的 可以采取可数,而连续随机的值数 变量可以采取是不可数的)。离散的概率质量函数 variable Y is a function [eq7] 为您提供任何实数  $ y $ , the probability that Y will be equal to  $ y $ . On the contrary, if X 是一个连续变量,其概率密度函数 [eq8] 在给定点评估 x 不是概率 X will be equal to x. 事实上,这种概率等于任何零 x because[eq9] 在哪里 [eq10] 是任何原始(或无限的积分)的 [eq11].

如果您疑惑后者的结果,建议您阅读讲座 on zero-probability events.

虽然它不是概率,但是PDF在给定点处的值 x 可以给予直截了当的 interpretation:[eq12] 在哪里  $ delta x $ 是一个小的增量。

证明

我们将要给的证据不是 严格的。相反,我们专注于直觉。为了 简单起见,我们假设PDF是连续功能。严格 说话,这不是必要的,虽然大多数PDF都是如此 在实践中遇到是连续的(根据定义,必须是PDF 可达;但是,虽然所有连续功能都是可集成的,但不是全部 可积函数是连续的)。如果PDF是连续的并且  $ delta x $ is small, then [eq13] 非常近似 [eq14] for any  $ t $ 属于间隔 [eq15]. It follows that [eq16]

在上述近似平等中,我们认为可能的概率 X will be equal to x 或属于靠近小区间隔的价值 x. 特别是,我们考虑间隔 [eq17]. 概率与长度成比例  $ delta x $ 我们正在考虑的小间隔。比例的常数 [eq14] 是概率密度函数 X evaluated at x. 因此,PDF越高 [eq14] is at a given point x, 概率越高 X 将取得一个值 x.

相关概念

相关概念是:

更多细节

在讲座中更详细地讨论了概率密度函数 entitled Random variables.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "概率密度函数", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/probability-density-function.

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