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经过 ,博士学位

In hypothesis testing,测试的大小是提交a的(最大)的概率 Type I error,那是错误的 当空假设是真的时拒绝零假设。

目录

定义

假设我们正在对参数进行测试 $ heta $ 这可以在参数空间中取得任何值 $ theta $. The null hypothesis 是 that $ heta $ 属于给定的集合 [eq1]. Denote by [eq2] the power function of the test. The function [eq2] 让我们拒绝拒绝零假设的概率 parameter is $ heta $ (for any $ heta在$ $)。 鉴于这些假设,可以如下定义测试的大小。

定义 测试的大小,表示 $ lpha $, is [eq4]

当NULL假设很简单时,即设置 $ theta _ {r} $ 仅包含一个参数(表示它 $ heta _ {0} $), the above definition becomes[eq5]

换句话说,如果null假设没有指定确切的值 参数,但是一组参数,那么我们需要最大限度地取得 该设置的功率函数以计算大小;否则,如果 null假设只指定一个参数,那么它足以计算 该参数对应的功率函数的值。

例子

例如,假设我们正在测试含义的零假设 亩 of a normal distribution 是 equal to $ mu _ {0} $. 分布的方差,表示 西格玛^ 2., 应该知道。我们观察一个样本 n independent draws [eq6] 从分布,我们计算 z-statistic[eq7]在哪里 xbar_n. is the sample mean: [eq8]

We select a critical value $ z $ 如果如果是,则拒绝NULL假设 [eq9]

它可以证明(见 Hypothesis 测试意味着)测试的功率功能 is[eq10]在哪里 $Fleft( x
ight) $ is the 累积分布 function 标准正常随机变量。

The size of the test is[eq11]

By the symmetry of 标准正态分布周围 0$,$, we have that[eq12]

因此,我们可以编写测试的大小 as[eq13]

为了更好地理解这一结果,认为在null下 假设Z统计标准正常分布,即 正常分布与平均等于 0 和方差等于 1. 如果您设置,例如, $ z = 1.96,$, 然后你将拒绝两种情况下的null:

But we know 那 if $ z_ {n}$ 具有标准的正态分布, then[eq14]

因此测试的大小为5%: [eq15]

以下情节显示了 probability density function z统计。黑色垂直段表示两个 临界值。当Z统计的价值落在两个中的一个时 分布的尾部(与中心分开 分布由两个关键值),null假设不正确 拒绝了。在两个尾部的概率密度函数下的区域, 用绿松石彩色,是拒绝的可能性,即大小 考试。该区域在中心的概率密度函数下 用薰衣草着色的分布是接受的概率。

Z统计的概率密度函数。测试的大小是分布两条尾部的区域。

如何调整测试的大小

在前面的示例中,测试的大小为5%。如果我们想要什么呢 将尺寸减少到1%?这怎么能实现吗?

通常,可以通过改变临界来修改测试的大小 测试的值,即通过减少或增加尺寸(并因此) 关键区域的概率(记住关键区域是 导致返回null的测试统计值的一组值 hypothesis).

在前面的示例中,我们可以通过增加降低测试的大小 the critical value $ z $. 特别地,请注意 [eq13]暗示[eq17]所以, 如果我们所需的尺寸是 $ lpha = 0.01 $, 然后我们需要搜索累积分发功能的值 正常分布等于 $ LPHA / 2 = 0.005. 通过使用正态分布表或计算机,我们发现所需的 value is $ -2.576 $. 结果,新的临界价值是 [eq18]

更多细节

有关测试大小概念的更多细节,请参阅讲座 entitled Hypothesis testing.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "size", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/size-of-a-test.

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