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测试大小

通过 博士

假设 测试,则测试的大小就是提交一个(最大)概率 类型I错误,即错误地 当原假设为真时,拒绝原假设。

目录

定义

假设我们正在对参数进行测试 $ heta $ 在参数空间中可以取任何值 $ 的ta $. 的 零假设 就是它 $ heta $ 属于给定的集合 [eq1]. 表示为 [eq2] 幂函数 测试。的 功能 [eq2] 当真为真时,使我们有可能拒绝原假设 参数是 $ heta $ (对于任何 $ 的ta中的$)。 根据这些假设,可以将测试的大小定义如下。

定义 测试的大小,用 $ lpha $, 是 [eq4]

当零假设很简单时,即集合 $ 的ta _ {R} $ 仅包含一个参数(用 $ heta _ {0} $), 以上定义 变成[eq5]

换句话说,如果原假设未指定 参数,而是一整套参数,那么我们需要取最大值 该集合上的幂函数以计算大小;否则,如果 零假设仅指定一个参数,则足以计算 与该参数相对应的幂函数的值。

例如,假设我们正在检验原假设,即均值 亩 正常 分配 等于 $ 亩 _ {0} $. 分布的方差,表示为 sigma ^ 2, 应该是已知的。我们观察到一个样本 n 独立抽奖 [eq6] 从分布中,我们计算 统计量[eq7]哪里 Xbar_n 是样本均值: [eq8]

我们选择一个 临界值 $ z $ 并在以下情况下拒绝原假设 [eq9]

可以证明(请参见 假设 测试均值)测试的幂函数 是[eq10]哪里 $Fleft( x
ight) $ 是个 累积分布 功能 标准正态随机变量

测试的大小 是[eq11]

对称 周围的标准正态分布 0$,$, 我们有 那[eq12]

结果,我们可以写出测试的大小 如 [eq13]

为了更好地理解此结果,请考虑在null 假设z统计量具有标准正态分布,即 正态分布,均值等于 0 和方差等于 1. 例如,如果您设置, $ z = 1.96,$, 那么您将在两种情况下拒绝null:

我们 知道 如果 $ Z_ {n}$ 具有标准的正态分布 然后[eq14]

因此,测试的大小为5%: [eq15]

下图显示了 概率密度 功能 z统计量的黑色垂直线段表示两个 临界值。当z统计量的值落在两个值之一时 分布的尾部(与尾部的中心分开 通过两个临界值的分布),原假设是错误的 拒绝。两条尾巴处的概率密度函数下的面积, 绿松石色的是拒绝的概率,即 考试。概率密度函数下位于中心区域的面积 薰衣草色的分布是接受的概率。

z统计量的概率密度函数。测试的大小是分布的两条尾巴中的面积。

如何调整测试的大小

在前面的示例中,测试的大小为5%。如果我们想怎么办 减小尺寸到1%?如何做到这一点?

通常,可以通过更改临界值来修改测试的大小 测试的值,即通过减小或增大尺寸(因此 关键区域的概率)(请记住,关键区域是 导致拒绝null的测试统计值的集合 假设)。

在前面的示例中,我们可以通过增加 临界值 $ z $. 特别要注意 [eq13]暗示[eq17]所以, 如果我们想要的尺寸是 $ lpha = 0.01 $, 那么我们需要搜索的累积分布函数的值是多少 正态分布等于 $ lpha /2=0.005$. 通过使用正态分布表或计算机,我们发现所需的 值是 $ -2.576 $. 结果,新的临界值是 [eq18]

更多细节

可以在讲座中找到有关测试大小概念的更多详细信息 有资格 假设 测试.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "测试大小", 列克特ures on probability 的ory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/glossary/size-of-a-test.

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