Beta函数是两个变量的函数，通常在 概率论和数理统计（例如，归一化 的概率密度函数中的常数 F分布 和的 学生的t分布）。我们在这里报告一些 有关Beta函数的基本事实。
以下是Beta函数的可能定义：
定义
的 Beta功能 是一个功能
![[eq1]](/s.gif)
定义为
如下：哪里
是个 伽玛功能.
虽然Beta函数的定义范围可以扩展到
组
严格为正实数的夫妇（例如，
复数），则上面给出的一些限制性定义不仅限于
足以解决涉及Beta功能的所有问题
在这些讲座中找到。
Beta函数具有多个整数表示形式，有时 也用作Beta函数的定义，代替了我们的定义 上面已经给出了。我们在这里报告两个常用的表示形式。
第一个表示涉及从零到整数的积分
无穷：
给定Beta函数的定义为
一定比例的伽玛函数（见上文），当且仅当
![[eq5]](/images/beta-function__6.png)
要么![[eq6]](/images/beta-function__7.png)
那
后一种平等确实成立，证明为
如下：![[eq7]](/images/beta-function__8.png)
另一个表示涉及从零到整数的积分
一：
这可以从前面的
积分
表示：通过
执行变量更改。变量的变化
是之前
执行它，注意
那和
那此外，
区分前面的表达式，我们
获得我们
现在准备执行更改
变量：![[eq14]](/images/beta-function__15.png)
请注意，以上两种表示形式都包含不当积分
如果收敛
和
:
这可能会帮助您了解为什么需要Beta函数的参数
要严格肯定。
以下各节包含有关Beta函数的更多详细信息。
Beta的完整表示
功能能够
通过代替积分的上限来推广
()
带有变量
(）：![[eq16]](/images/beta-function__21.png)
的
功能
这样获得的称为不完全Beta函数。
您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。
计算以下
产品：哪里
是伽玛函数，
是Beta函数。
我们需要在其中编写Beta函数
伽玛术语
职能：![[eq20]](/images/beta-function__26.png)
哪里
我们使用了有关Gamma函数的几个基本事实，即
在题为“演讲”的讲义中进行了解释 伽玛
功能.
计算以下
比哪里
是Beta函数。
这是通过重写
以伽马函数表示的比率分子和使用递归
伽玛公式
功能：![[eq22]](/images/beta-function__29.png)
计算以下
积分：
我们需要使用积分
Beta的表示形式
功能：![[eq24]](/images/beta-function__31.png)
现在，
用Gamma编写Beta函数
职能：![[eq25]](/images/beta-function__32.png)
替代
这个数字作为积分的前一个表达式，我们
获得如果
您可以使用以下MATLAB来检查上述结果
命令：
syms x
f=(x^(3/2))*((1+2*x)^-5)
int(f,0,Inf)
请引用为：
Taboga, Marco (2017). "Beta功能", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/beta-function.
