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Beta功能

通过 博士

Beta函数是两个变量的函数,通常在 概率论和数理统计(例如,归一化 的概率密度函数中的常数 F分布 和的 学生的t分布)。我们在这里报告一些 有关Beta函数的基本事实。

目录

定义

以下是Beta函数的可能定义:

定义Beta功能 是一个功能 [eq1] 定义为 如下:[eq2]哪里 [eq3] 是个 伽玛功能.

虽然Beta函数的定义范围可以扩展到 组 $ U {211d} _ {++} ^ {2} $ 严格为正实数的夫妇(例如, 复数),则上面给出的一些限制性定义不仅限于 足以解决涉及Beta功能的所有问题 在这些讲座中找到。

整体表示

Beta函数具有多个整数表示形式,有时 也用作Beta函数的定义,代替了我们的定义 上面已经给出了。我们在这里报告两个常用的表示形式。

零和无穷大之间的积分

第一个表示涉及从零到整数的积分 无穷:[eq4]

证明

给定Beta函数的定义为 一定比例的伽玛函数(见上文),当且仅当 [eq5]要么[eq6]那 后一种平等确实成立,证明为 如下:[eq7]

零和一之间的积分

另一个表示涉及从零到整数的积分 一:[eq8]

证明

这可以从前面的 积分 表示:[eq9]通过 执行变量更改。变量的变化 是[eq10]之前 执行它,注意 那[eq11]和 那[eq12]此外, 区分前面的表达式,我们 获得[eq13]我们 现在准备执行更改 变量:[eq14]

请注意,以上两种表示形式都包含不当积分 如果收敛 $x>0$$y>0$: 这可能会帮助您了解为什么需要Beta函数的参数 要严格肯定。

更多细节

以下各节包含有关Beta函数的更多详细信息。

Beta功能不完整

Beta的完整表示 功能[eq15]能够 通过代替积分的上限来推广 ($t=1$) 带有变量 ($ t = zleq 1 $):[eq16]的 功能 [eq17] 这样获得的称为不完全Beta函数。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

计算以下 产品:[eq18]哪里 [eq19] 是伽玛函数, $ Bleft({}
权)$ 是Beta函数。

我们需要在其中编写Beta函数 伽玛术语 职能:[eq20]哪里 我们使用了有关Gamma函数的几个基本事实,即 在题为“演讲”的讲义中进行了解释 伽玛 功能.

练习2

计算以下 比[eq21]哪里 $ Bleft({}
权)$ 是Beta函数。

这是通过重写 以伽马函数表示的比率分子和使用递归 伽玛公式 功能:[eq22]

练习3

计算以下 积分:[eq23]

我们需要使用积分 Beta的表示形式 功能:[eq24]现在, 用Gamma编写Beta函数 职能:[eq25]替代 这个数字作为积分的前一个表达式,我们 获得[eq26]如果 您可以使用以下MATLAB来检查上述结果 命令:

syms x

f=(x^(3/2))*((1+2*x)^-5)

int(f,0,Inf)

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "Beta功能", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/beta-function.

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