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真人在线斗地主方式

通过 博士

本讲座介绍真人在线斗地主，这是最重要的概念之一 真人在线斗地主分析。在阅读本讲座之前，您应该熟悉 与...的概念 排列.

我们首先处理没有重复的真人在线斗地主，然后再处理真人在线斗地主 重复。

目录

目录

  1. 无需重复的真人在线斗地主

    1. 没有重复的真人在线斗地主的定义

    2. 不重复的真人在线斗地主数

  2. 重复结合

    1. 重复结合的定义

    2. 重复的真人在线斗地主数

  3. 更多细节

    1. 二项式系数和二项式展开

    2. 二项式系数的递归公式

  4. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

无需重复的真人在线斗地主

无重复的真人在线斗地主 k 来自的对象 n 是一种选择的方式 k 列表中的对象 n. 选择规则是：

  1. 选择的顺序无关紧要（相同的对象选择了不同的对象 订单视为同一真人在线斗地主）；

  2. 每个对象只能选择一次。

没有重复的真人在线斗地主也称为简单真人在线斗地主，或者 简单地结合起来。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义： 结合处理可能数的问题 真人在线斗地主。

没有重复的真人在线斗地主的定义

让 a_1, a_2，...， 一个 是 n 对象。一种 简单真人在线斗地主 （或不带真人在线斗地主 重复） k 来自的对象 n 对象 a_1, a_2，...， 一个 是形成包含以下内容的集合的一种可能方法 k 的 n 对象。为了形成有效的集合，任何对象只能选择一次。此外， 选择对象的顺序无关紧要。

例 考虑三个对象， a_1, a_2 和 $ a_ {3} $. 来自以下两个对象的三种可能真人在线斗地主 a_1, a_2 和 $ a_ {3} $, 也就是说，从这组 三：[eq1]其他 不可能进行真人在线斗地主，因为例如 [eq2] 是相同的 [eq3].

不重复的真人在线斗地主数

表示为 $ C_ {n，k} $ 的可能真人在线斗地主数 k 来自的对象 n. 多少钱 $ C_ {n，k} $ 一般来说？换句话说，我们如何计算可能的数量 的真人在线斗地主 k 来自的对象 n?

要回答这个问题，我们需要回顾一下 排列 和 k置换 在以前的讲座中介绍过。

就像一个真人在线斗地主 k-排列 的 n 对象是选择的可能方式之一 k 的 n 对象。但是，在 k-排列 选择顺序很重要：两个 k-排列 如果相同则视为不同 k 选择了对象，但是选择顺序不同。反之， 在真人在线斗地主的情况下， k 选择对象无关紧要：两个包含相同对象的真人在线斗地主 对象被视为相等。

尽管两者之间存在差异 k-排列 和真人在线斗地主，很容易得出可能的数目 真人在线斗地主 ($ C_ {n，k} $) 从可能的数量 k-排列 ($ P_ {n，k} $）。 考虑结合 $ k $ 来自的对象 n. 此真人在线斗地主将在所有可能的集合中重复多次 k-排列。 每种可能的订购方式都会重复一次 k 对象。因此，将重复 $ P_ {k} = k！$ 次 ($ P_ {k} $ 是订购所有可能方式的数量 k 对象-的排列数 k 对象）。因此，如果每个真人在线斗地主都重复 $ P_ {k} $ 所有可能的时间 k-排列， 除以总数 k-排列 ($ P_ {n，k} $) 通过 $ P_ {k} $, 我们得到 可能的数量 真人在线斗地主:[eq4]

可能真人在线斗地主的数量通常表示为 通过[eq5]和 $ inom {n} {k} $ 被称为 二项式系数.

例 的可能真人在线斗地主数 $3$ 来自的对象 $5$ 是[eq6]

重复结合

与重复的结合 k 来自的对象 n 是一种选择的方式 k 列表中的对象 n. 选择规则是：

  1. 选择的顺序无关紧要（相同的对象选择了不同的对象 订单视为同一真人在线斗地主）；

  2. 每个对象可以多次选择。

因此，简单真人在线斗地主与 重复是，对象只能在前者中选择一次，而它们 可以在后者中多次选择。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义： 与重复结合处理数字计数问题 与重复的可能真人在线斗地主。

重复结合的定义

与重复结合的更严格定义涉及以下概念： 多集的概念，这是对集合概念的概括（请参见讲座 有资格 集合论）。大致来说， 多重集和集合之间的差异如下：同一对象是 允许在一个成员的列表中多次出现 多集，而同一对象只能出现 一次在普通会员名单中 组。因此，对于 例如，集合 对象[eq7]是 有效的多集，但不是有效的集，因为字母 a 出现不止一次。像集一样，多集是的无序集合 对象，即多集元素的列出顺序 没关系。

让 a_1, a_2，...， 一个 是 n 对象。一种 与重复结合 的 k 来自的对象 n 对象 a_1, a_2，...， 一个 是形成包含 k 从集合中取出的对象 [eq8].

例 考虑三个对象， a_1, a_2 和 $ a_ {3} $. 有六个可能的真人在线斗地主，其中两个对象重复 a_1, a_2 和 $ a_ {3} $, 也就是从这三个集合中选择两个对象的六种可能方法， 允许 重复次数：[eq9]其他 不可能进行真人在线斗地主，因为例如 [eq10] 是相同的 [eq11].

重复的真人在线斗地主数

表示为 $ C_ {n，k} ^ {prime} $ 重复的可能真人在线斗地主的数量 k 来自的对象 n. 多少钱 $ C_ {n，k} ^ {prime} $ 一般来说？换句话说，我们如何计算可能的数量 与重复的真人在线斗地主 k 来自的对象 n?

要回答这个问题，我们需要使用一个稍微不寻常的过程，即 在下一个示例中介绍。

例 我们需要订购两勺冰淇淋，从四种口味中进行选择： 巧克力，开心果，草莓和香草。可以订购两个 相同口味的勺子。我们可以订购多少种不同的真人在线斗地主？的 我们可以订购的不同真人在线斗地主的数量等于 重复的可能真人在线斗地主 $2$ 来自的对象 $4$. 让我们将订单表示为一串十字架 ($ imes $) 和竖线 ($ | $）， 竖线界定两个相邻的口味，而十字则表示 勺给定的味道。对于 例，[eq12]哪里 第一个竖线（最左边的竖线）界定了巧克力和开心果的界限， 第二个界定开心果和草莓，第三个界定 草莓和香草。每串包含三个竖线，少一个 比风味的数量和两个十字架，每个勺一个。因此， 每个字符串总共包含五个符号。下订单等同于 选择五个符号中的哪个是十字形（其余的将是 竖线）。因此，要下订单，我们需要选择 $2$ 来自的对象 $5$. 选择方式的数量 $2$ 来自的对象 $5$ 等于可能的数量 没有真人在线斗地主 重复 的 $2$ 来自的对象 $5$. 因此，那里 是[eq13]不同 我们可以做的订单。

通常，选择 k 来自的对象 n 重复等同于用 $ n + k-1 $ 符号，其中 $n-1$ 是竖线 ($ | $) 和 k 是十字架 ($ imes $）。 反过来，这等效于选择 k 字符串中的位置（在可用位置中 $ n + k-1 $) 将包含一个十字（其余的将包含竖线）。但 选择 k 来自的职位 $ n + k-1 $ 就像选择一个真人在线斗地主而不重复 k 来自的对象 $ n + k-1 $. 因此， 可能的真人在线斗地主数量 重复 是[eq14]

经常重复的可能真人在线斗地主数 通过[eq15]和 [eq16] 被称为 多集系数.

例 重复的可能真人在线斗地主数 $3$ 来自的对象 $5$ 是[eq17]

更多细节

以下各节包含有关真人在线斗地主的更多详细信息。

二项式系数和 binomial 扩张s

之所以称二项式系数，是因为它出现在 二项式 扩张:[eq18]哪里 $ nin U {2115} $.

二项式系数的递归公式

以下是用于计算二项式的有用的递归公式 系数：[eq19]

证明

被证明为 如下：[eq20]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

从标准的52张牌中抽取3张牌。多少张3卡 可以画手吗？

解

首先，其中3的顺序 抽签无所谓（以不同顺序抽签的相同抽签是 视为相同的三张牌）。此外，每张卡只能抽出 一旦。因此，不同的三张牌的数量可能是 绘制的数量等于可能的真人在线斗地主数量，不重复3 来自52的对象。如果用 $ C_ {52,3} $, 然后[eq21]

练习2

约翰有1美元，可用来购买绿色，红色和黄色的糖果。 每个糖果花50美分。约翰将把所有的钱都花在糖果上。 他可以购买绿色，红色和黄色糖果的几种不同真人在线斗地主？

解

首先，其中3的顺序 选择不同的颜色无关紧要。此外，每种颜色都可以 选择不止一次。因此，不同真人在线斗地主的数量 约翰可以选择的彩色糖果等于可能的数量 与3中2个对象重复的真人在线斗地主。如果用 $ C_ {3,2} ^ {prime} $, 然后[eq22]

练习3

公司董事会由10名成员组成。高管 由4位董事组成的董事会需要选举产生。有多少种可能的方法 在那里成立执行委员会？

解

首先，这4个的顺序 董事被选中无所谓。此外，每个董事可以 只有一次被选入执行委员会。因此，数量不同 组成执行董事会的方式等于可能的数量 不重复10个对象中的4个对象的真人在线斗地主。 $ C_ {10,4} $, 然后[eq23]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主方式", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/combinations.

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