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真人在线斗地主方式

通过 博士

本讲座介绍真人在线斗地主,这是最重要的概念之一 真人在线斗地主分析。在阅读本讲座之前,您应该熟悉 与...的概念 排列.

我们首先处理没有重复的真人在线斗地主,然后再处理真人在线斗地主 重复。

目录

无需重复的真人在线斗地主

无重复的真人在线斗地主 k 来自的对象 n 是一种选择的方式 k 列表中的对象 n. 选择规则是:

  1. 选择的顺序无关紧要(相同的对象选择了不同的对象 订单视为同一真人在线斗地主);

  2. 每个对象只能选择一次。

没有重复的真人在线斗地主也称为简单真人在线斗地主,或者 简单地结合起来。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义: 结合处理可能数的问题 真人在线斗地主。

没有重复的真人在线斗地主的定义

a_1, a_2,..., 一个n 对象。一种 简单真人在线斗地主 (或不带真人在线斗地主 重复) k 来自的对象 n 对象 a_1, a_2,..., 一个 是形成包含以下内容的集合的一种可能方法 kn 对象。为了形成有效的集合,任何对象只能选择一次。此外, 选择对象的顺序无关紧要。

考虑三个对象, a_1, a_2$ a_ {3} $. 来自以下两个对象的三种可能真人在线斗地主 a_1, a_2$ a_ {3} $, 也就是说,从这组 三:[eq1]其他 不可能进行真人在线斗地主,因为例如 [eq2] 是相同的 [eq3].

不重复的真人在线斗地主数

表示为 $ C_ {n,k} $ 的可能真人在线斗地主数 k 来自的对象 n. 多少钱 $ C_ {n,k} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 的真人在线斗地主 k 来自的对象 n?

要回答这个问题,我们需要回顾一下 排列 k置换 在以前的讲座中介绍过。

就像一个真人在线斗地主 k-排列 的 n 对象是选择的可能方式之一 kn 对象。但是,在 k-排列 选择顺序很重要:两个 k-排列 如果相同则视为不同 k 选择了对象,但是选择顺序不同。反之, 在真人在线斗地主的情况下, k 选择对象无关紧要:两个包含相同对象的真人在线斗地主 对象被视为相等。

尽管两者之间存在差异 k-排列 和真人在线斗地主,很容易得出可能的数目 真人在线斗地主 ($ C_ {n,k} $) 从可能的数量 k-排列 ($ P_ {n,k} $)。 考虑结合 $ k $ 来自的对象 n. 此真人在线斗地主将在所有可能的集合中重复多次 k-排列。 每种可能的订购方式都会重复一次 k 对象。因此,将重复 $ P_ {k} = k!$ 次 ($ P_ {k} $ 是订购所有可能方式的数量 k 对象-的排列数 k 对象)。因此,如果每个真人在线斗地主都重复 $ P_ {k} $ 所有可能的时间 k-排列, 除以总数 k-排列 ($ P_ {n,k} $) 通过 $ P_ {k} $, 我们得到 可能的数量 真人在线斗地主:[eq4]

可能真人在线斗地主的数量通常表示为 通过[eq5]$ inom {n} {k} $ 被称为 二项式系数.

的可能真人在线斗地主数 $3$ 来自的对象 $5$[eq6]

重复结合

与重复的结合 k 来自的对象 n 是一种选择的方式 k 列表中的对象 n. 选择规则是:

  1. 选择的顺序无关紧要(相同的对象选择了不同的对象 订单视为同一真人在线斗地主);

  2. 每个对象可以多次选择。

因此,简单真人在线斗地主与 重复是,对象只能在前者中选择一次,而它们 可以在后者中多次选择。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义: 与重复结合处理数字计数问题 与重复的可能真人在线斗地主。

重复结合的定义

与重复结合的更严格定义涉及以下概念: 多集的概念,这是对集合概念的概括(请参见讲座 有资格 集合论)。大致来说, 多重集和集合之间的差异如下:同一对象是 允许在一个成员的列表中多次出现 多集,而同一对象只能出现 一次在普通会员名单中 。因此,对于 例如,集合 对象[eq7]是 有效的多集,但不是有效的集,因为字母 a 出现不止一次。像集一样,多集是的无序集合 对象,即多集元素的列出顺序 没关系。

a_1, a_2,..., 一个n 对象。一种 与重复结合k 来自的对象 n 对象 a_1, a_2,..., 一个 是形成包含 k 从集合中取出的对象 [eq8].

考虑三个对象, a_1, a_2$ a_ {3} $. 有六个可能的真人在线斗地主,其中两个对象重复 a_1, a_2$ a_ {3} $, 也就是从这三个集合中选择两个对象的六种可能方法, 允许 重复次数:[eq9]其他 不可能进行真人在线斗地主,因为例如 [eq10] 是相同的 [eq11].

重复的真人在线斗地主数

表示为 $ C_ {n,k} ^ {prime} $ 重复的可能真人在线斗地主的数量 k 来自的对象 n. 多少钱 $ C_ {n,k} ^ {prime} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 与重复的真人在线斗地主 k 来自的对象 n?

要回答这个问题,我们需要使用一个稍微不寻常的过程,即 在下一个示例中介绍。

我们需要订购两勺冰淇淋,从四种口味中进行选择: 巧克力,开心果,草莓和香草。可以订购两个 相同口味的勺子。我们可以订购多少种不同的真人在线斗地主?的 我们可以订购的不同真人在线斗地主的数量等于 重复的可能真人在线斗地主 $2$ 来自的对象 $4$. 让我们将订单表示为一串十字架 ($ imes $) 和竖线 ($ | $), 竖线界定两个相邻的口味,而十字则表示 勺给定的味道。对于 例,[eq12]哪里 第一个竖线(最左边的竖线)界定了巧克力和开心果的界限, 第二个界定开心果和草莓,第三个界定 草莓和香草。每串包含三个竖线,少一个 比风味的数量和两个十字架,每个勺一个。因此, 每个字符串总共包含五个符号。下订单等同于 选择五个符号中的哪个是十字形(其余的将是 竖线)。因此,要下订单,我们需要选择 $2$ 来自的对象 $5$. 选择方式的数量 $2$ 来自的对象 $5$ 等于可能的数量 没有真人在线斗地主 重复$2$ 来自的对象 $5$. 因此,那里 是[eq13]不同 我们可以做的订单。

通常,选择 k 来自的对象 n 重复等同于用 $ n + k-1 $ 符号,其中 $n-1$ 是竖线 ($ | $) 和 k 是十字架 ($ imes $)。 反过来,这等效于选择 k 字符串中的位置(在可用位置中 $ n + k-1 $) 将包含一个十字(其余的将包含竖线)。但 选择 k 来自的职位 $ n + k-1 $ 就像选择一个真人在线斗地主而不重复 k 来自的对象 $ n + k-1 $. 因此, 可能的真人在线斗地主数量 重复[eq14]

经常重复的可能真人在线斗地主数 通过[eq15][eq16] 被称为 多集系数.

重复的可能真人在线斗地主数 $3$ 来自的对象 $5$[eq17]

更多细节

以下各节包含有关真人在线斗地主的更多详细信息。

二项式系数和 binomial 扩张s

之所以称二项式系数,是因为它出现在 二项式 扩张:[eq18]哪里 $ nin U {2115} $.

二项式系数的递归公式

以下是用于计算二项式的有用的递归公式 系数:[eq19]

证明

被证明为 如下:[eq20]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

从标准的52张牌中抽取3张牌。多少张3卡 可以画手吗?

首先,其中3的顺序 抽签无所谓(以不同顺序抽签的相同抽签是 视为相同的三张牌)。此外,每张卡只能抽出 一旦。因此,不同的三张牌的数量可能是 绘制的数量等于可能的真人在线斗地主数量,不重复3 来自52的对象。如果用 $ C_ {52,3} $, 然后[eq21]

练习2

约翰有1美元,可用来购买绿色,红色和黄色的糖果。 每个糖果花50美分。约翰将把所有的钱都花在糖果上。 他可以购买绿色,红色和黄色糖果的几种不同真人在线斗地主?

首先,其中3的顺序 选择不同的颜色无关紧要。此外,每种颜色都可以 选择不止一次。因此,不同真人在线斗地主的数量 约翰可以选择的彩色糖果等于可能的数量 与3中2个对象重复的真人在线斗地主。如果用 $ C_ {3,2} ^ {prime} $, 然后[eq22]

练习3

公司董事会由10名成员组成。高管 由4位董事组成的董事会需要选举产生。有多少种可能的方法 在那里成立执行委员会?

首先,这4个的顺序 董事被选中无所谓。此外,每个董事可以 只有一次被选入执行委员会。因此,数量不同 组成执行董事会的方式等于可能的数量 不重复10个对象中的4个对象的真人在线斗地主。 $ C_ {10,4} $, 然后[eq23]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主方式", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/combinations.

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