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伽玛功能

通过 博士

Gamma函数是对 阶乘 非整数功能 数字。

回想一下,如果 $ nin U {2115} $, 其阶乘 $ n!$[eq1]所以 那 $ n!$ 满足以下条件 递归:[eq2]

伽玛功能 [eq3] 满足类似 递归:[eq4]但 它也定义在什么时候 $ z $ 不是整数。

目录

定义

以下是Gamma函数的可能定义。

定义伽玛功能 $伽马$ 是一个功能 [eq5] 满足以下条件 方程:[eq6]

虽然Gamma函数的定义范围可以扩展到 集合 $ U {211d} _ {++} $ 严格的正实数(例如复数), 以上给出的一些限制性定义足以解决 这些中涉及的所有涉及伽玛功能的问题 讲座。

递归

根据上述定义,可以直接证明伽玛 函数满足以下递归: [eq7]

证明

递归可以通过使用 整合 部分:[eq8]

与阶乘函数的关系

当Gamma函数的参数是自然数时 $ nin U {2115} $ 那么它的值等于 $n-1$:[eq9]

证明

首先,我们有 那[eq10]

使用递归 [eq11], 我们 获得[eq12]

更多细节

以下各节包含有关Gamma功能的更多详细信息。

伽玛函数的值

概率论和统计学中经常使用的一个众所周知的事实是 的 以下:[eq13]

证明

通过使用定义并执行 变量的变化,我们 获得[eq14]

通过使用这个事实和前面显示的递归公式,它是即时的 证明 那[eq15]对于 $ nin U {2115} $.

证明

结果是通过迭代 递归 式:[eq16]

还有其他一些特殊情况,其中Gamma函数的值 可以通过分析得出,但无法表达 [eq17] 就每个人的基本功能而言 $ z $. 结果,经常需要求助于数值算法来计算 [eq18]. For example, 的 Matlab command gamma(z)returns 的 value of 的 伽玛功能 at 的 point z.

要全面讨论可用于以下目的的多种算法 计算...的数值近似 [eq19] 看到 阿布拉莫维兹(Abramowitz)和史葛(Stegun)(1965).

降低不完整的伽玛功能

伽玛的定义 功能:[eq20]能够 通过代替积分的上限来推广 ($ x = infty $) 带有变量 ($ x = y $):[eq21]的 功能 [eq22] 这样得到的称为较低的不完全伽马函数。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

计算以下 比:[eq23]

我们需要重复应用递归 式[eq24]至 分子 比:[eq25]

练习2

计算[eq26]

我们需要使用伽玛的关系 功能 阶乘函数: [eq27]哪一个, 对于 $n=5$, 变成[eq28]

练习3

用伽玛表示以下整数 功能:[eq29]

这是通过完成 如下:[eq30]哪里 在最后一步中,我们仅使用了Gamma函数的定义。

参考文献

阿布拉莫维兹(M. 手册 数学函数:带有公式,图形和数学表, 信使多佛出版物。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "伽玛功能", 列克特ures on probability 的ory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/gamma-function.

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