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伽玛功能

经过 ,博士学位

伽玛函数是概括的 factorial 函数到非整数 numbers.

Recall that, if $ nin u {2115} $, its factorial $ n!$ is[eq1]所以 that $ n!$ 满足以下内容 recursion:[eq2]

The Gamma function [eq3] satisfies a similar recursion:[eq4]但 它也定义了 $ z $ is not an integer.

目录

定义

以下是伽玛函数的可能定义。

定义 The 伽玛功能 $ Gamma $ is a function [eq5] 满足以下内容 equation:[eq6]

虽然可以超出伽玛函数的定义领域 the set $ u {211d} _ {++} $ 严格的实数(例如复杂数字), 以上给出的有些限制性定义超过了足够的地址 涉及在这些中找到的伽玛函数的所有问题 lectures.

递归

鉴于上述定义,证明伽玛很简单 功能满足以下递归: [eq7]

证明

递归可以通过使用来导出 integration by parts:[eq8]

与因子函数的关系

当伽玛函数的参数是自然数时 $ nin u {2115} $ 然后它的价值等于阶乘 $n-1$:[eq9]

证明

首先,我们有 that[eq10]

Using the recursion [eq11], we obtain[eq12]

更多细节

以下部分包含有关伽玛函数的更多详细信息。

伽马功能的值

众所周知的事实,通常用于概率论和统计数据 the following:[eq13]

证明

通过使用定义和执行a 改变变量,我们 obtain[eq14]

通过使用此事实和先前所示的递归公式,它是立即的 to prove that[eq15]为了 $ nin u {2115} $.

证明

结果是通过迭代的 recursion formula:[eq16]

还有其他特殊情况,其中伽玛函数的值 可以分析地派生,但无法表达 [eq17] 就每个初学功能而言 $ z $. 因此,人们经常需要诉诸数值算法来计算 [eq18]. For example, the Matlab command gamma(z)returns the value of the Gamma function at the point z.

彻底讨论可以使用的许多算法 计算数值近似 [eq19] see Abramowitz和Stegun(1965年).

降低不完整的伽马功能

伽玛的定义 function:[eq20]能够 通过代替整合的上限来推广 ($ x = infty $) with a variable ($ x = y $): [eq21]这 function [eq22] 由此获得的被称为较低的不完全伽马功能。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

计算以下内容 ratio:[eq23]

解决方案

我们需要多次应用递归 formula[eq24]至 the numerator of the ratio:[eq25]

练习2

Compute[eq26]

解决方案

我们需要使用伽玛的关系 function to the 阶乘 function: [eq27]哪一个, for $n=5$, becomes[eq28]

练习3.

在伽玛方面表达以下积分 function:[eq29]

解决方案

这是完整的 follows:[eq30]在哪里 在最后一步中,我们刚刚使用了伽玛函数的定义。

参考

Abramowitz,M.和I. A. Stegun(1965) Handbook of 数学函数:使用公式,图形和数学表, 快递多佛出版物。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "伽玛功能", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/gamma-function.

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