在Statlect上搜索概率和统计术语
统计列克特
指数 > 数学工具

积分-评论

通过 博士

此查看页面包含集成规则的摘要，即规则的摘要 用于计算函数的定积分和不定积分。

目录

目录

  1. 不定积分

    1. 常数函数的不定积分

    2. 幂函数的不定积分

    3. 对数函数的不定积分

    4. 指数函数的不定积分

    5. 函数线性组合的不定积分

    6. 三角函数的不定积分

  2. 定积分

    1. 微积分的基本定理

    2. 函数线性组合的定积分

    3. 变量变化

    4. 零件集成

    5. 交换整合的界限

    6. 细分积分

    7. 莱布尼兹积分法则

  3. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

不定积分

如果 $fleft( x ight) $ 是一个变量的函数， 不定积分 的 $fleft( x ight) $ 是一个功能 $Fleft( x ight) $ 一阶导数等于 $fleft( x ight) $:[eq1]一个 不定积分 $Fleft( x ight) $ 被表示 通过[eq2]不定 积分也称为 反导 要么 原语.

例 让 [eq3]的 功能[eq4]是 的不定积分 $fleft( x ight) $ 因为[eq5]也 的 功能[eq6]是 的不定积分 $fleft( x ight) $ 因为[eq7]

注意，如果一个函数 $Fleft( x ight) $ 是...的不定积分 $fleft( x ight) $ 然后也是 功能[eq8]是 的不定积分 $fleft( x ight) $ 对于任何常数 $ cin U {211d} $ 因为[eq9]这个 也是使用形容词不定式的原因：因为不定式 积分最多只能定义一个常数。

以下小节包含一些用于计算不确定性的规则 概率论中经常遇到的函数的积分 和统计数据。在所有这些小节中， $ c $ 将表示一个常数，并且将报告集成规则而没有 证明。证明很简单，读者可以轻松进行： 足以计算的一阶导数 $Fleft( x ight) $ 并验证它等于 $fleft( x ight) $.

常数函数的不定积分

如果 $fleft( x ight) $ 是一个常数 功能[eq10]哪里 $ ain U {211d} $, 那么一个不定积分 $fleft( x ight) $ 是[eq11]

幂函数的不定积分

如果 $fleft( x ight) $ 是力量 功能[eq12]然后 的不定积分 $fleft( x ight) $ 是[eq13]什么时候 $n eq -1$. 什么时候 $n=-1$, 那是， 什么时候[eq14]的 积分 是[eq15]

对数函数的不定积分

如果 $fleft( x ight) $ 是...的自然对数 x, 那 是的[eq16]然后 它的不定积分 是[eq17]

如果 $fleft( x ight) $ 是底数的对数 $ b $ 的 x, 那 是的[eq18]然后 它的不定积分 是[eq19]（记得 那 [eq20]）。

指数函数的不定积分

如果 $fleft( x ight) $ 是指数 功能[eq21]然后 它的不定积分 是[eq22]

如果是指数函数 $fleft( x ight) $ 没有天然碱 $ e $, 但是另一个积极的基础 $ b $, 那 是的[eq23]然后 它的不定积分 是[eq24]（记得 那 [eq25]）。

函数线性组合的不定积分

如果 [eq26] 和 [eq27] 有两个功能和 [eq28] 是两个常数 然后[eq29]

换句话说，线性组合的积分等于线性 积分的组合。此属性称为“线性度 积分”。

此规则的两种特殊情况 是[eq30]

三角函数的不定积分

三角函数具有以下不确定 积分：[eq31]

定积分

让 $fleft( x ight) $ 是一个变量的函数 $left[ a,b ight] $ 实数间隔。的 定积分 （要么， 简单来说， 积分）来自 a 至 $ b $ 的 $fleft( x ight) $ 是该区域中的区域 $ xy $飞机 受图的限制 [eq32], 的 x-轴 和垂直线 $ x = a $ 和 $ x = b $, 下方的区域 x-轴 负号和上方的区域 x-轴 有积极的迹象。

来自的积分 a 至 $ b $ 的 $fleft( x ight) $ 被表示 通过[eq33]

$fleft( x ight) $ 被称为 积分函数 和 a 和 $ b $ 分别称为上下 整合的界限.

以下小节包含定积分的一些属性，这些属性 也经常被用来实际计算定积分。

微积分的基本定理

微积分的基本定理提供了确定和定理之间的联系 不定积分。它分为两个部分。

一方面，如果你 定义[eq34]然后， 的一阶导数 $Fleft( x ight) $ 等于 $fleft( x ight) $, 那 是的[eq35]在 换句话说，如果您对一个定积分进行微分 积分的上限，然后获得被积分函数。

例 定义[eq36]然后，[eq37]

另一方面，如果 $Fleft( x ight) $ 是...的不定积分（反导数） $fleft( x ight) $, 然后[eq38]

换句话说，您可以使用不定积分来计算 积分。

通常使用以下表示法 用过的：[eq39]哪里[eq40]

有时整合的变量 x 被明确指定，我们 写[eq41]

例 考虑定 积分[eq42]的 积分函数 是[eq43]一个 的不定积分 $fleft( x ight) $ 是[eq44]因此， 来自的定积分 0 至 1 可以计算为 如下。[eq45]

函数线性组合的定积分

像不定积分一样，定积分也是线性的。如果 [eq46] 和 [eq27] 有两个功能和 [eq48] 是两个常数 然后[eq49]

与两个特别 案件[eq50]

例 对于 例，[eq51]

变量变化

如果 $fleft( x ight) $ 和 克（x） 是两个功能，那么 积分[eq52]能够 通过改变变量来计算 变量[eq53]

变量的更改按以下步骤执行：

  1. 区分变量的变化 式[eq53]和 获得[eq55]

  2. 重新计算的界限 积分：[eq56]

  3. 替代 克（x） 和 [eq57] 在里面 积分：[eq58]

例 的 积分[eq59]能够 计算执行更改 变量[eq60]通过 区分变量公式的变化，我们 获得[eq61]的 整合的新界限 是[eq62]因此 积分可以写成 如下：[eq63]

零件集成

让 $fleft( x ight) $ 和 克（x） 是两个功能和 $Fleft( x ight) $ 和 $Gleft( x ight) $ 它们的不定积分。以下按零件积分公式 持有：[eq64]

例 的 积分[eq65]能够 被零件，通过 设置[eq66]一个 的不定积分 $fleft( x ight) $ 是[eq67]和 $Gleft( x ight) $ 是一个不确定的积分 的[eq68]要么， 说的不同 [eq69] 是...的导数 [eq70]. 因此，[eq71]

交换整合的界限

给定积分 [eq72]交换 它的整合范围等同于改变它的 标志：[eq73]

细分积分

考虑到整合的两个边界 a 和 $ b $, 与 $ aleq b $, 第三点 $ m $ 这样 $ aleq mleq b $, 然后[eq74]

莱布尼兹积分法则

给定两个变量的函数 [eq75] 和 积分[eq76]哪里 两者的下界 a 和整合的上限 $ b $ 可能取决于 $ y $, 在适当的技术条件（此处未讨论）下，第一个 函数的导数 $Ileft( y ight) $ 关于 $ y $ 可以计算为 如下：[eq77]哪里 [eq78] 是的一阶偏导数 [eq75] 关于 $ y $.

例 的导数 积分[eq80]是[eq81]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

计算以下 积分：[eq82]

提示：按部分执行两次集成。

解

通过按部分执行两次集成， 我们 获得[eq83]因此，[eq84]哪一个 可以重新排列为 让[eq85]要么[eq86]

练习2

使用Leibniz积分规则来计算关于 $ y $ 以下的 积分：[eq87]

解

莱布尼兹积分法则是 [eq88]我们 可以作为 如下：[eq89]

练习3

计算以下 积分：[eq90]

解

这个积分可以通过使用 变量变化 技术：[eq91]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "积分-评论", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/integrals-review.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

精选页面
探索
主要部分
关于
词汇表条目
分享