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积分-评论

通过 博士

此查看页面包含集成规则的摘要,即规则的摘要 用于计算函数的定积分和不定积分。

目录

不定积分

如果 $fleft( x
ight) $ 是一个变量的函数, 不定积分$fleft( x
ight) $ 是一个功能 $Fleft( x
ight) $ 一阶导数等于 $fleft( x
ight) $:[eq1]一个 不定积分 $Fleft( x
ight) $ 被表示 通过[eq2]不定 积分也称为 反导 要么 原语.

[eq3]的 功能[eq4]是 的不定积分 $fleft( x
ight) $ 因为[eq5]也 的 功能[eq6]是 的不定积分 $fleft( x
ight) $ 因为[eq7]

注意,如果一个函数 $Fleft( x
ight) $ 是...的不定积分 $fleft( x
ight) $ 然后也是 功能[eq8]是 的不定积分 $fleft( x
ight) $ 对于任何常数 $ cin U {211d} $ 因为[eq9]这个 也是使用形容词不定式的原因:因为不定式 积分最多只能定义一个常数。

以下小节包含一些用于计算不确定性的规则 概率论中经常遇到的函数的积分 和统计数据。在所有这些小节中, $ c $ 将表示一个常数,并且将报告集成规则而没有 证明。证明很简单,读者可以轻松进行: 足以计算的一阶导数 $Fleft( x
ight) $ 并验证它等于 $fleft( x
ight) $.

常数函数的不定积分

如果 $fleft( x
ight) $ 是一个常数 功能[eq10]哪里 $ ain U {211d} $, 那么一个不定积分 $fleft( x
ight) $[eq11]

幂函数的不定积分

如果 $fleft( x
ight) $ 是力量 功能[eq12]然后 的不定积分 $fleft( x
ight) $[eq13]什么时候 $n
eq -1$. 什么时候 $n=-1$, 那是, 什么时候[eq14]的 积分 是[eq15]

对数函数的不定积分

如果 $fleft( x
ight) $ 是...的自然对数 x, 那 是的[eq16]然后 它的不定积分 是[eq17]

如果 $fleft( x
ight) $ 是底数的对数 $ b $x, 那 是的[eq18]然后 它的不定积分 是[eq19](记得 那 [eq20])。

指数函数的不定积分

如果 $fleft( x
ight) $ 是指数 功能[eq21]然后 它的不定积分 是[eq22]

如果是指数函数 $fleft( x
ight) $ 没有天然碱 $ e $, 但是另一个积极的基础 $ b $, 那 是的[eq23]然后 它的不定积分 是[eq24](记得 那 [eq25])。

函数线性组合的不定积分

如果 [eq26][eq27] 有两个功能和 [eq28] 是两个常数 然后[eq29]

换句话说,线性组合的积分等于线性 积分的组合。此属性称为“线性度 积分”。

此规则的两种特殊情况 是[eq30]

三角函数的不定积分

三角函数具有以下不确定 积分:[eq31]

定积分

$fleft( x
ight) $ 是一个变量的函数 $left[ a,b
ight] $ 实数间隔。的 定积分 (要么, 简单来说, 积分)来自 a$ b $$fleft( x
ight) $ 是该区域中的区域 $ xy $飞机 受图的限制 [eq32], 的 x-轴 和垂直线 $ x = a $$ x = b $, 下方的区域 x-轴 负号和上方的区域 x-轴 有积极的迹象。

来自的积分 a$ b $$fleft( x
ight) $ 被表示 通过[eq33]

$fleft( x
ight) $ 被称为 积分函数a$ b $ 分别称为上下 整合的界限.

以下小节包含定积分的一些属性,这些属性 也经常被用来实际计算定积分。

微积分的基本定理

微积分的基本定理提供了确定和定理之间的联系 不定积分。它分为两个部分。

一方面,如果你 定义[eq34]然后, 的一阶导数 $Fleft( x
ight) $ 等于 $fleft( x
ight) $, 那 是的[eq35]在 换句话说,如果您对一个定积分进行微分 积分的上限,然后获得被积分函数。

定义[eq36]然后,[eq37]

另一方面,如果 $Fleft( x
ight) $ 是...的不定积分(反导数) $fleft( x
ight) $, 然后[eq38]

换句话说,您可以使用不定积分来计算 积分。

通常使用以下表示法 用过的:[eq39]哪里[eq40]

有时整合的变量 x 被明确指定,我们 写[eq41]

考虑定 积分[eq42]的 积分函数 是[eq43]一个 的不定积分 $fleft( x
ight) $[eq44]因此, 来自的定积分 01 可以计算为 如下。[eq45]

函数线性组合的定积分

像不定积分一样,定积分也是线性的。如果 [eq46][eq27] 有两个功能和 [eq48] 是两个常数 然后[eq49]

与两个特别 案件[eq50]

对于 例,[eq51]

变量变化

如果 $fleft( x
ight) $克(x) 是两个功能,那么 积分[eq52]能够 通过改变变量来计算 变量[eq53]

变量的更改按以下步骤执行:

  1. 区分变量的变化 式[eq53]和 获得[eq55]

  2. 重新计算的界限 积分:[eq56]

  3. 替代 克(x)[eq57] 在里面 积分:[eq58]

的 积分[eq59]能够 计算执行更改 变量[eq60]通过 区分变量公式的变化,我们 获得[eq61]的 整合的新界限 是[eq62]因此 积分可以写成 如下:[eq63]

零件集成

$fleft( x
ight) $克(x) 是两个功能和 $Fleft( x
ight) $$Gleft( x
ight) $ 它们的不定积分。以下按零件积分公式 持有:[eq64]

的 积分[eq65]能够 被零件,通过 设置[eq66]一个 的不定积分 $fleft( x
ight) $[eq67]$Gleft( x
ight) $ 是一个不确定的积分 的[eq68]要么, 说的不同 [eq69] 是...的导数 [eq70]. 因此,[eq71]

交换整合的界限

给定积分 [eq72]交换 它的整合范围等同于改变它的 标志:[eq73]

细分积分

考虑到整合的两个边界 a$ b $, 与 $ aleq b $, 第三点 $ m $ 这样 $ aleq mleq b $, 然后[eq74]

莱布尼兹积分法则

给定两个变量的函数 [eq75] 和 积分[eq76]哪里 两者的下界 a 和整合的上限 $ b $ 可能取决于 $ y $, 在适当的技术条件(此处未讨论)下,第一个 函数的导数 $Ileft( y
ight) $ 关于 $ y $ 可以计算为 如下:[eq77]哪里 [eq78] 是的一阶偏导数 [eq75] 关于 $ y $.

的导数 积分[eq80][eq81]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

计算以下 积分:[eq82]

提示:按部分执行两次集成。

通过按部分执行两次集成, 我们 获得[eq83]因此,[eq84]哪一个 可以重新排列为 让[eq85]要么[eq86]

练习2

使用Leibniz积分规则来计算关于 $ y $ 以下的 积分:[eq87]

莱布尼兹积分法则是 [eq88]我们 可以作为 如下:[eq89]

练习3

计算以下 积分:[eq90]

这个积分可以通过使用 变量变化 技术:[eq91]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "积分-评论", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/integrals-review.

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