此查看页面包含集成规则的摘要,即规则的摘要 用于计算函数的定积分和不定积分。
如果
是一个变量的函数, 不定积分 的
是一个功能
一阶导数等于
:
一个
不定积分
被表示
通过
不定
积分也称为 反导 要么
原语.
例
让
的
功能
是
的不定积分
因为
也
的
功能
是
的不定积分
因为
注意,如果一个函数
是...的不定积分
然后也是
功能
是
的不定积分
对于任何常数
因为
这个
也是使用形容词不定式的原因:因为不定式
积分最多只能定义一个常数。
以下小节包含一些用于计算不确定性的规则
概率论中经常遇到的函数的积分
和统计数据。在所有这些小节中,
将表示一个常数,并且将报告集成规则而没有
证明。证明很简单,读者可以轻松进行:
足以计算的一阶导数
并验证它等于
.
如果
是一个常数
功能
哪里
,
那么一个不定积分
是
如果
是力量
功能
然后
的不定积分
是
什么时候
.
什么时候
,
那是,
什么时候
的
积分
是
如果
是...的自然对数
,
那
是的
然后
它的不定积分
是
如果
是底数的对数
的
,
那
是的
然后
它的不定积分
是
(记得
那
)。
如果
是指数
功能
然后
它的不定积分
是
如果是指数函数
没有天然碱
,
但是另一个积极的基础
,
那
是的
然后
它的不定积分
是
(记得
那
)。
如果
和
有两个功能和
是两个常数
然后
换句话说,线性组合的积分等于线性 积分的组合。此属性称为“线性度 积分”。
此规则的两种特殊情况
是
三角函数具有以下不确定
积分:
让
是一个变量的函数
实数间隔。的 定积分 (要么,
简单来说, 积分)来自
至
的
是该区域中的区域
飞机
受图的限制
,
的
-轴
和垂直线
和
,
下方的区域
-轴
负号和上方的区域
-轴
有积极的迹象。
来自的积分
至
的
被表示
通过
被称为 积分函数 和
和
分别称为上下 整合的界限.
以下小节包含定积分的一些属性,这些属性 也经常被用来实际计算定积分。
微积分的基本定理提供了确定和定理之间的联系 不定积分。它分为两个部分。
一方面,如果你
定义然后,
的一阶导数
等于
,
那
是的
在
换句话说,如果您对一个定积分进行微分
积分的上限,然后获得被积分函数。
例
定义然后,
另一方面,如果
是...的不定积分(反导数)
,
然后
换句话说,您可以使用不定积分来计算 积分。
通常使用以下表示法
用过的:哪里
有时整合的变量
被明确指定,我们
写
例
考虑定
积分的
积分函数
是
一个
的不定积分
是
因此,
来自的定积分
至
可以计算为
如下。
像不定积分一样,定积分也是线性的。如果
和
有两个功能和
是两个常数
然后
与两个特别
案件
例
对于
例,
如果
和
是两个功能,那么
积分
能够
通过改变变量来计算
变量
变量的更改按以下步骤执行:
区分变量的变化
式和
获得
重新计算的界限
积分:
替代
和
在里面
积分:
例
的
积分能够
计算执行更改
变量
通过
区分变量公式的变化,我们
获得
的
整合的新界限
是
因此
积分可以写成
如下:
让
和
是两个功能和
和
它们的不定积分。以下按零件积分公式
持有:
例
的
积分能够
被零件,通过
设置
一个
的不定积分
是
和
是一个不确定的积分
的
要么,
说的不同
是...的导数
.
因此,
给定积分
交换
它的整合范围等同于改变它的
标志:
考虑到整合的两个边界
和
,
与
,
第三点
这样
,
然后
给定两个变量的函数
和
积分
哪里
两者的下界
和整合的上限
可能取决于
,
在适当的技术条件(此处未讨论)下,第一个
函数的导数
关于
可以计算为
如下:
哪里
是的一阶偏导数
关于
.
例
的导数
积分是
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
计算以下
积分:
提示:按部分执行两次集成。
通过按部分执行两次集成,
我们
获得因此,
哪一个
可以重新排列为
让
要么
使用Leibniz积分规则来计算关于
以下的
积分:
莱布尼兹积分法则是
我们
可以作为
如下:
计算以下
积分:
这个积分可以通过使用
变量变化
技术:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "积分-评论", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/integrals-review.