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k排列

通过 博士

本讲座介绍 k-排列， 组合分析的基本概念。在阅读本讲座之前，您 应该阅读关于 排列.

我们先处理 k-排列 没有重复，然后 k-排列 重复。

目录

目录

  1. 无重复的k置换

    1. 无重复的k置换的定义

    2. 无重复的k排列数

  2. 重复的k置换

    1. 带重复的k置换的定义

    2. 重复的k排列数

  3. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

无重复的k置换

A k-排列 没有重复 n 对象是一种选择 k 列表中的对象 n. 选择规则是：

  1. 选择顺序很重要（相同 k 以不同顺序选择的对象被视为不同 k-排列）；

  2. 每个对象只能选择一次。

A k-排列 没有重复也简称为 k-排列。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义： k-排列 并处理可能数的问题 k-排列。

无重复的k置换的定义

让 a_1, a_2，...， 一个 是 n 对象。让 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ...， $ s_ {k} $ 是 k ($ kleq n $) 插槽 k 的 n 可以分配对象。一种 k-排列 （要么 k-排列 没有重复 要么 简单 k-排列) 的 n 来自的对象 a_1, a_2，...， 一个 是可能的选择方式之一 k 的 n 对象并填充每个 k 插槽只有一个对象。每个对象只能选择一次。

例 考虑三个对象 a_1, a_2 和 $ a_ {3} $. 有两个插槽 ($ s_ {1} $ 和 $ s_ {2} $) 我们可以为其分配三个对象中的两个。有六种可能 $2$-排列 三个对象中的一种（选择两个对象并填充两个对象的六种可能方法 与两个插槽 对象）：[eq1]

无重复的k排列数

表示为 $ P_ {n，k} $ 可能的数量 k-排列 的 n 对象。多少钱 $ P_ {n，k} $ 一般来说？换句话说，我们如何计算可能的数量 k-排列 的 n 对象？

我们可以为 $ P_ {n，k} $ 通过填充 k 按顺序插入广告位：

  1. 首先，我们将一个对象分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的对象，所以有 [eq2]

  2. 然后，我们将一个对象分配给第二个插槽。曾经有 n 对象，但已将一个对象分配给一个插槽。所以，我们剩下 $n-1$ 可以分配给第二个插槽的对象。因此， 是[eq3]和[eq4]

  3. 然后，我们将一个对象分配给第三个插槽。曾经有 n 对象，但是已经为插槽分配了两个对象。所以，我们剩下 $n-2$ 可以分配给第三个插槽的对象。因此， 是[eq5]和[eq6]

  4. 依此类推，直到我们离开 $ n-k + 1 $ 对象和一个空闲插槽（ k-th）。

  5. 最后，当只有一个空闲插槽时，我们分配剩余的插槽之一 $ n-k + 1 $ 反对。因此， 是[eq7]和[eq8]

因此，根据上述顺序论证，总 数量 可能 k-排列 的 n 对象 是[eq9]

$ P_ {n，k} $ 可以写 如 [eq10]

记住的定义 阶乘，我们可以看到 上述比率的分子是 $ n！$ 而分母是 [eq11], 所以可能的数量 k-排列 的 n 对象 是[eq12]

号码 $ P_ {n，k} $ 通常表示为 如下：[eq13]

例 可能的数量 $3$-排列 的 $5$ 对象 是[eq14]

重复的k置换

A k-排列 重复 n 对象是一种选择 k 列表中的对象 n. 选择规则是：

  1. 选择顺序很重要（相同 k 以不同顺序选择的对象被视为不同 k-排列）；

  2. 每个对象可以多次选择。

因此， k-排列 没有重复和 k-排列 重复的是，可以在对象中多次选择对象， 而在前者中只能选择一次。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义： k-排列 重复处理数字计数的问题 k-排列 重复。

带重复的k置换的定义

让 a_1, a_2，...， 一个 是 n 对象。让 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ...， $ s_ {k} $ 是 k ($ kleq n $) 插槽 k 的 n 可以分配对象。一种 k-排列 重复地 的 n 来自的对象 a_1, a_2，...， 一个 是可能的选择方式之一 k 的 n 对象并填充每个 k 插槽只有一个对象。每个对象可以选择一次以上。

例 考虑三个对象 a_1, a_2 和 $ a_ {3} $ 和两个插槽 ($ s_ {1} $ 和 $ s_ {2} $）。 有九种可能 $2$-排列 重复三个对象（选择两个对象的九种可能方法） 并在两个插槽中填入两个对象，允许他们拾取相同的对象 超过 一旦）：[eq15]

重复的k排列数

表示为 $ P_ {n，k} ^ {prime} $ 可能的数量 k-排列 重复 n 对象。多少钱 $ P_ {n，k} ^ {prime} $ 一般来说？换句话说，我们如何计算可能的数量 k-排列 重复 n 对象？

我们可以为 $ P_ {n，k} ^ {prime} $ 通过填充 k 按顺序插入广告位：

  1. 首先，我们将一个对象分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的对象，所以有 [eq16]

  2. 然后，我们将一个对象分配给第二个插槽。即使有一个物体 在上一步中分配给广告位的情况下，我们仍然可以在 n 对象，因为我们可以多次选择一个对象。所以那里 是 n 可以分配给第二个插槽的对象 和[eq17]和[eq18]

  3. 然后，我们将一个对象分配给第三个插槽。即使有两个物体 在前两个步骤中分配给了一个广告位，我们仍然可以在 n 对象，因为我们可以多次选择一个对象。所以那里 是 n 可以分配给第二个插槽的对象 和[eq19]和[eq20]

  4. 依此类推，直到我们只剩下一个空闲插槽（ k-th）。

  5. 当仅剩一个空闲广告位时，我们分配其中一个 n 反对。因此， 是：[eq21]和[eq22]

因此，根据上述顺序论证，总 数量 可能 k-排列 重复地 的 n 对象 是[eq23]

例 可能的数量 $2$-排列 的 $4$ 对象 是[eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

有一个装有苹果，香蕉和橙子的水果篮， 有五个女孩想吃一种水果。有多少种方法 给五个女孩中的三个每个水果一个，让其中两个没有一个 吃水果？

解

将3种水果送给5个女孩中的3个 是一个连续的问题。我们首先把苹果给一个女孩。那里 有5种可能的方法可以做到这一点。然后我们把香蕉给其中一个 剩下的女孩。有四种可能的方法，因为一个女孩有 已经结了果实。最后，我们将橘子给其中一个 剩下的女孩。有3种可能的方法，因为2个女孩有 已经结了果实。总结一下，三种分配方式 水果等于5个对象的3个排列的数量（无 重复）。如果我们用 $ P_ {5,3} $, 然后[eq25]

练习2

十六进制数是一个数字，其位数可以采用十六个不同的数字 值：0到9的十个数字之一，或六个字母之一 从A到F。如果有一个8位十六进制数字， 十六进制数是否可以从零开始？

解

选择十六进制的8位数字 数字是一个顺序问题。有16种可能的方法选择第一个 数字和选择第二个数字的16种可能方式。因此，有16x16 选择前两位数字的可能方法。有16种可能的方式两种 选择第三个数字，然后以16x16的方式选择前两个数字。从而， 有16x16x16种可能的方式选择前三位数字。等等 直到我们选择了所有数字。因此，选择8种方式的数量 digits等于8排列的数量，重复16 对象：[eq26]

练习3

包含十个球，每个代表从0到10的十个数字之一 9.从骨灰盒中随机抽取三个球和相应的数字 写下以形成一个三位数的数字，从左往下写下数字 按它们提取的顺序右移。画球时 从骨灰盒中将其放在一旁，以便无法再次将其取出。如果一个 写下所有可能形成的3位数字， 他们会是多少？

解

依次抽出3个球。在 第一次抽奖有10个球，因此第一个有10个可能的值 3位数字的数字。在第二次平局还剩9个球，因此 3位数字中第二位数字的9个可能值。在第三和 最后抽奖还剩下8个球，因此第三个数字有8个可能的值 3位数的数字。总之，可能的3位数数字是 等于10个对象的3个排列的数量（无重复）。如果 我们用 $ P_ {10,3} $, 然后[eq27]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "k排列", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/k-permutations.

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