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k排列

通过 博士

本讲座介绍 k-排列, 组合分析的基本概念。在阅读本讲座之前,您 应该阅读关于 排列.

我们先处理 k-排列 没有重复,然后 k-排列 重复。

目录

无重复的k置换

A k-排列 没有重复 n 对象是一种选择 k 列表中的对象 n. 选择规则是:

  1. 选择顺序很重要(相同 k 以不同顺序选择的对象被视为不同 k-排列);

  2. 每个对象只能选择一次。

A k-排列 没有重复也简称为 k-排列。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义: k-排列 并处理可能数的问题 k-排列。

无重复的k置换的定义

a_1, a_2,..., 一个n 对象。让 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {k} $k ($ kleq n $) 插槽 kn 可以分配对象。一种 k-排列 (要么 k-排列 没有重复 要么 简单 k-排列) 的 n 来自的对象 a_1, a_2,..., 一个 是可能的选择方式之一 kn 对象并填充每个 k 插槽只有一个对象。每个对象只能选择一次。

考虑三个对象 a_1, a_2$ a_ {3} $. 有两个插槽 ($ s_ {1} $$ s_ {2} $) 我们可以为其分配三个对象中的两个。有六种可能 $2$-排列 三个对象中的一种(选择两个对象并填充两个对象的六种可能方法 与两个插槽 对象):[eq1]

无重复的k排列数

表示为 $ P_ {n,k} $ 可能的数量 k-排列 的 n 对象。多少钱 $ P_ {n,k} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 k-排列 的 n 对象?

我们可以为 $ P_ {n,k} $ 通过填充 k 按顺序插入广告位:

  1. 首先,我们将一个对象分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的对象,所以有 [eq2]

  2. 然后,我们将一个对象分配给第二个插槽。曾经有 n 对象,但已将一个对象分配给一个插槽。所以,我们剩下 $n-1$ 可以分配给第二个插槽的对象。因此, 是[eq3][eq4]

  3. 然后,我们将一个对象分配给第三个插槽。曾经有 n 对象,但是已经为插槽分配了两个对象。所以,我们剩下 $n-2$ 可以分配给第三个插槽的对象。因此, 是[eq5][eq6]

  4. 依此类推,直到我们离开 $ n-k + 1 $ 对象和一个空闲插槽( k-th)。

  5. 最后,当只有一个空闲插槽时,我们分配剩余的插槽之一 $ n-k + 1 $ 反对。因此, 是[eq7][eq8]

因此,根据上述顺序论证,总 数量 可能 k-排列n 对象 是[eq9]

$ P_ {n,k} $ 可以写 如 [eq10]

记住的定义 阶乘,我们可以看到 上述比率的分子是 $ n!$ 而分母是 [eq11], 所以可能的数量 k-排列 的 n 对象 是[eq12]

号码 $ P_ {n,k} $ 通常表示为 如下:[eq13]

可能的数量 $3$-排列 的 $5$ 对象 是[eq14]

重复的k置换

A k-排列 重复 n 对象是一种选择 k 列表中的对象 n. 选择规则是:

  1. 选择顺序很重要(相同 k 以不同顺序选择的对象被视为不同 k-排列);

  2. 每个对象可以多次选择。

因此, k-排列 没有重复和 k-排列 重复的是,可以在对象中多次选择对象, 而在前者中只能选择一次。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义: k-排列 重复处理数字计数的问题 k-排列 重复。

带重复的k置换的定义

a_1, a_2,..., 一个n 对象。让 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {k} $k ($ kleq n $) 插槽 kn 可以分配对象。一种 k-排列 重复地n 来自的对象 a_1, a_2,..., 一个 是可能的选择方式之一 kn 对象并填充每个 k 插槽只有一个对象。每个对象可以选择一次以上。

考虑三个对象 a_1, a_2$ a_ {3} $ 和两个插槽 ($ s_ {1} $$ s_ {2} $)。 有九种可能 $2$-排列 重复三个对象(选择两个对象的九种可能方法) 并在两个插槽中填入两个对象,允许他们拾取相同的对象 超过 一旦):[eq15]

重复的k排列数

表示为 $ P_ {n,k} ^ {prime} $ 可能的数量 k-排列 重复 n 对象。多少钱 $ P_ {n,k} ^ {prime} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 k-排列 重复 n 对象?

我们可以为 $ P_ {n,k} ^ {prime} $ 通过填充 k 按顺序插入广告位:

  1. 首先,我们将一个对象分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的对象,所以有 [eq16]

  2. 然后,我们将一个对象分配给第二个插槽。即使有一个物体 在上一步中分配给广告位的情况下,我们仍然可以在 n 对象,因为我们可以多次选择一个对象。所以那里 是 n 可以分配给第二个插槽的对象 和[eq17][eq18]

  3. 然后,我们将一个对象分配给第三个插槽。即使有两个物体 在前两个步骤中分配给了一个广告位,我们仍然可以在 n 对象,因为我们可以多次选择一个对象。所以那里 是 n 可以分配给第二个插槽的对象 和[eq19][eq20]

  4. 依此类推,直到我们只剩下一个空闲插槽( k-th)。

  5. 当仅剩一个空闲广告位时,我们分配其中一个 n 反对。因此, 是:[eq21][eq22]

因此,根据上述顺序论证,总 数量 可能 k-排列 重复地n 对象 是[eq23]

可能的数量 $2$-排列 的 $4$ 对象 是[eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

有一个装有苹果,香蕉和橙子的水果篮, 有五个女孩想吃一种水果。有多少种方法 给五个女孩中的三个每个水果一个,让其中两个没有一个 吃水果?

将3种水果送给5个女孩中的3个 是一个连续的问题。我们首先把苹果给一个女孩。那里 有5种可能的方法可以做到这一点。然后我们把香蕉给其中一个 剩下的女孩。有四种可能的方法,因为一个女孩有 已经结了果实。最后,我们将橘子给其中一个 剩下的女孩。有3种可能的方法,因为2个女孩有 已经结了果实。总结一下,三种分配方式 水果等于5个对象的3个排列的数量(无 重复)。如果我们用 $ P_ {5,3} $, 然后[eq25]

练习2

十六进制数是一个数字,其位数可以采用十六个不同的数字 值:0到9的十个数字之一,或六个字母之一 从A到F。如果有一个8位十六进制数字, 十六进制数是否可以从零开始?

选择十六进制的8位数字 数字是一个顺序问题。有16种可能的方法选择第一个 数字和选择第二个数字的16种可能方式。因此,有16x16 选择前两位数字的可能方法。有16种可能的方式两种 选择第三个数字,然后以16x16的方式选择前两个数字。从而, 有16x16x16种可能的方式选择前三位数字。等等 直到我们选择了所有数字。因此,选择8种方式的数量 digits等于8排列的数量,重复16 对象:[eq26]

练习3

包含十个球,每个代表从0到10的十个数字之一 9.从骨灰盒中随机抽取三个球和相应的数字 写下以形成一个三位数的数字,从左往下写下数字 按它们提取的顺序右移。画球时 从骨灰盒中将其放在一旁,以便无法再次将其取出。如果一个 写下所有可能形成的3位数字, 他们会是多少?

依次抽出3个球。在 第一次抽奖有10个球,因此第一个有10个可能的值 3位数字的数字。在第二次平局还剩9个球,因此 3位数字中第二位数字的9个可能值。在第三和 最后抽奖还剩下8个球,因此第三个数字有8个可能的值 3位数的数字。总之,可能的3位数数字是 等于10个对象的3个排列的数量(无重复)。如果 我们用 $ P_ {10,3} $, 然后[eq27]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "k排列", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/k-permutations.

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