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分成组

通过 博士

的分区 n 对象成 k 组是细分的可能方法之一 n 对象成 k 团体 ( $ kleq n $ )。 规则是:

  1. 对象分配给组的顺序无关紧要;

  2. 每个对象只能分配给一个组。

以下小节对分区进行了更为正式的定义 分组并处理可能数量的问题 分成几组。

目录

划分成组的定义

a_1, a_2 ,...,  一个 n 对象。让  $ g_ {1} $ ,  $ g_ {2} $ , ...,  $ g_ {k} $ k (与  $ kleq n $ ) 我们可以分配给的组  $ n $ 对象。  $ n_ {1} $ 可以将对象分配给组  $ g_ {1} $ ,  $ n_ {2} $ 可以将对象分配给组  $ g_ {2} $ 等等。  $ n_ {1} $ ,  $ n_ {2} $ , ...,  $ n_ {k} $ 是这样的 那: [eq1]A 划分 a_1, a_2 ,...,  一个 进入 k 团体  $ g_ {1} $ ,  $ g_ {2} $ , ...,  $ g_ {k} $ 是分配 n 反对 k 组。

考虑三个对象 a_1, a_2 $ a_ {3} $ 和两组  $ g_ {1} $  $ g_ {2} $ , 与 [eq2] 将三个对象分为三个可能的三个部分 组: [eq3] 注意 属于一个组的对象的顺序无关紧要,所以,对于 例, [eq4] 分区1中的与 [eq5].

计算分区数

表示为 [eq6] 可能的分区数 k 组(其中组 i 包含  $ n_ {i} $ 对象)。多少钱 [eq7] 一般来说?

号码 [eq8] 可以通过以下顺序过程得出:

  1. 首先,我们分配  $ n_ {1} $ 反对第一组。总共有 n 对象可供选择。选择方式的数量  $ n_ {1} $ n 对象等于 组合 $ n_ {1} $ 来自的元素 n. 所以有 [eq9]

  2. 然后,我们分配  $ n_ {2} $ 反对第二组。曾经有 n 对象,但是  $ n_ {1} $ 已经被分配到第一组。所以,有  $ n-n_ {1} $ 剩下的对象,可以分配给第二组。可能的数量 选择方式  $ n_ {2} $ 其余的  $ n-n_ {1} $ 对象等于 组合 $ n_ {2} $ 来自的元素  $ n-n_ {1} $ . 所以有 [eq10][eq11]

  3. 然后,我们分配  $ n_ {3} $ 反对第三组。曾经有 n 对象,但是 $ n_ {1} + n_ {2} $ 已经分配给前两个组。所以,有 $ n-n_ {1} -n_ {2} $ 剩下的对象,可以分配给第三组。可能的数量 选择方式  $ n_ {3} $ 其余的 $ n-n_ {1} -n_ {2} $ 对象等于 组合 $ n_ {3} $ 来自的元素 $ n-n_ {1} -n_ {2} $. 所以有 [eq12][eq13]

  4. 依此类推,直到我们离开  $ n_ {k} $ 对象和最后一组。形成最后一组的方法只有一种, 也可以写成 如 [eq14]因此, 那里 是 [eq15]

因此,根据上述顺序论证,总 数量 可能的分区 进入 k 团体 是 [eq16]

号码 [eq17] 通常表示为 如下: [eq18][eq19] 被称为 多项式系数.

有时以下符号也是 用过的: [eq20]

的可能分区数 $4$ 对象成 $2$$2$ 对象 是 [eq21]

更多细节

以下各节包含有关分区的更多详细信息。

多项式系数和 多项式展开

多项式系数之所以被称为是因为它出现在 多项式 扩张 :[eq22] 哪里 $ nin U {2115} $ 总和是 k -元组 [eq23] 这样 那: [eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

约翰有一篮子水果,里面装有一个苹果,一个香蕉,一个橙子和 一只猕猴桃。他想给两个小妹妹和两个妹妹各送一个水果 结果给他的大哥。他可以通过几种不同的方式执行此操作?

约翰需要决定如何划分4 对象分为3组,其中前两组将包含一个对象, 第三个将包含两个对象。分区总数 是 [eq25]

练习2

十个朋友想打篮球。他们需要分为两个小组 五名球员。他们可以用多少种不同的方式来做到这一点?

他们需要决定如何划分10 对象分为2组,其中每组将包含5个对象。总数 分区数 是 [eq26]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "分成组", 列克特 ures on probability 的 ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/partitions.

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