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排列

通过 博士

本讲座介绍排列,这是其中最重要的概念 组合分析。

我们首先处理排列而不重复,也称为简单 排列,然后重复排列。

目录

n个元素的排列,无需重复

没有重复的排列 n 真人在线斗地主是订购的可能方式之一 n 真人在线斗地主。

没有重复的置换也简称为置换。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义: 排列并处理可能数的问题 的排列 n 真人在线斗地主。

没有重复的排列定义

a_1, a_2,..., 一个n 真人在线斗地主。让 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {n} $n 插槽 n 可以分配真人在线斗地主。一种 排列 (要么 排列而不重复 要么 简单 排列的) a_1, a_2,..., 一个 是填充每个 n 插槽中只有一个 n 真人在线斗地主(前提是每个真人在线斗地主只能分配给一个插槽)。

考虑三个真人在线斗地主 a_1, a_2$ a_ {3} $. 一共有三个插槽 ($ s_ {1} $, $ s_ {2} $$ s_ {3} $) 我们可以为其分配三个真人在线斗地主 ($ a_ {1} $, a_2$ a_ {3} $)。 三个真人在线斗地主有六个可能的排列(六种可能的方法 用三个填充三个插槽 真人在线斗地主):[eq1]

没有重复的排列数

表示为 $ P_ {n} $ 的可能排列数量 n 真人在线斗地主。多少钱 $ P_ {n} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 的排列 n 真人在线斗地主?

号码 $ P_ {n} $ 可以通过注意到填充 n 插槽是一个连续的问题:

  1. 首先,我们将一个真人在线斗地主分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的真人在线斗地主,所以有 [eq2]

  2. 然后,我们将一个真人在线斗地主分配给第二个插槽。曾经有 n 真人在线斗地主,但已将一个真人在线斗地主分配给一个插槽。所以,我们剩下 $n-1$ 可以分配给第二个插槽的真人在线斗地主。因此, 是[eq3][eq4]

  3. 然后,我们将一个真人在线斗地主分配给第三个插槽。曾经有 n 真人在线斗地主,但是已经为插槽分配了两个真人在线斗地主。所以,我们剩下 $n-2$ 可以分配给第三个插槽的真人在线斗地主。因此, 是[eq5][eq6]

  4. 依此类推,直到只剩下一个真人在线斗地主和一个空闲插槽。

  5. 最后,当仅剩一个空闲插槽时,我们将剩余真人在线斗地主分配给 它。只有一种方法可以做到这一点。因此, 是[eq7][eq8]

因此,根据上述顺序论证,总 数量 可能的排列n 真人在线斗地主 是[eq9]

号码 $ P_ {n} $ 通常表示为 如下:[eq10]哪里 $ n!$ 被阅读 "n 阶乘“,按照惯例 那[eq11]

的可能排列数量 $5$ 真人在线斗地主 是[eq12]

重复排列n个元素

重复的排列 n 真人在线斗地主是选择另一组真人在线斗地主的可能方法之一 n 从原始真人在线斗地主。选择规则是:

  1. 每个真人在线斗地主可以多次选择;

  2. 选择顺序很重要(相同 n 以不同顺序选择的真人在线斗地主被视为不同的排列)。

因此,简单排列与 重复是,真人在线斗地主只能在前者中选择一次,而它们 可以在后者中多次选择。

以下小节给出了以下内容的较为正式的定义: 重复排列和处理数数问题 重复的可能排列。

重复排列的定义

a_1, a_2,..., 一个n 真人在线斗地主。让 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {n} $n 插槽 n 可以分配真人在线斗地主。一种 重复排列a_1, a_2,..., 一个 是填充每个 n 插槽中只有一个 n 真人在线斗地主(前提是可以将一个真人在线斗地主分配给多个真人在线斗地主 插槽)。

考虑两个真人在线斗地主 a_1a_2. 有两个插槽 ($ s_ {1} $$ s_ {2} $)。 重复两个真人在线斗地主有四个可能的排列(四个 将真人在线斗地主分配给每个插槽的可能方法,允许分配 同一真人在线斗地主不止一个 广告位):[eq13]

重复的排列数

表示为 $ P_ {n} ^ {prime} $ 重复的可能排列数量 n 真人在线斗地主。多少钱 $ P_ {n} ^ {prime} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 重复的排列 n 真人在线斗地主?

我们可以为 $ P_ {n} ^ {prime} $ 通过使用顺序参数:

  1. 首先,我们将一个真人在线斗地主分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的真人在线斗地主,所以有 [eq14]

  2. 然后,我们将一个真人在线斗地主分配给第二个插槽。即使有一个物体 在上一步中分配给广告位的情况下,我们仍然可以在 n 真人在线斗地主,因为我们可以多次选择一个真人在线斗地主。所以那里 是 n 可以分配给第二个插槽的真人在线斗地主 和[eq15][eq16]

  3. 然后,我们将一个真人在线斗地主分配给第三个插槽。即使有两个物体 在前两个步骤中分配给了一个广告位,我们仍然可以在 n 真人在线斗地主,因为我们可以多次选择一个真人在线斗地主。所以那里 是 n 可以分配给第三个插槽的真人在线斗地主 和[eq17][eq18]

  4. 依此类推,直到我们只剩下一个空闲插槽( n-th)。

  5. 当仅剩一个空闲广告位时,我们分配其中一个 n 反对。因此, 是:[eq19][eq20]

因此,根据上述顺序论证,总 数量 可能的重复排列n 真人在线斗地主 是[eq21]

重复的可能排列数量 $3$ 真人在线斗地主 是[eq22]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

桌子周围有5个座位,有5人坐在桌子上。在 他们可以自己坐多少方法?

在桌旁坐5人是一个 顺序问题。我们需要指定一个人担任第一把椅子。有5个 可行的方法。然后,我们需要将一个人分配给第二把椅子。 有四种方法可以执行此操作,因为一个人已经 已分配。依此类推,直到剩下一张免费椅子和一个人 坐下因此,在桌子上坐5个人的方法是 等于5个真人在线斗地主的排列数量(无重复)。要是我们 用它来表示 $ P_ {5} $, 然后[eq23]

练习2

鲍勃,约翰,卢克和蒂姆参加网球比赛。比赛规则 这样,在比赛结束时将进行排名, 没有关系。可以有多少个不同的排名?

对4个人进行排名是一个连续的问题。 我们需要将一个人放在首位。有4种可能的方法 这个。然后,我们需要将一个人分配到第二名。有3个 可能的方法,因为已经分配了一个人。这样啊 继续,直到剩下一个要分配的人。因此,数量 对参加比赛的4个人进行排名的方式等于 4个真人在线斗地主的排列数量(无重复)。如果我们用 $ P_ {4} $, 然后[eq24]

练习3

字节是由8位数字组成的数字,可以等于0或等于 1.有多少个不同的字节?

要回答这个问题,我们需要遵循 类似于我们得出数字时所遵循的推理方法 重复的排列。有两种可能的方法选择第一种 数字和2种可能的方式选择第二个数字。因此,有4种可能 选择前两位数字的方法。有两种可能的方法,两种选择 第三个数字和选择前两个的4种可能方式。因此,有8 选择前三位数的可能方法。依此类推,直到我们选择 所有数字。因此,选择8位数字的方式数量相等 至 [eq25]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "排列", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/permutations.

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