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集合论

通过 博士

本讲座介绍集合论的基础。

目录

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  1. 套装

  2. 设置会员

  3. 设置包含

  4. 联盟

  5. 路口

  6. 补充

  7. 德摩根定律

  8. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

套装

集合是对象的集合。集通常用字母表示， 属于一个集合的对象（或元素）通常列在花括号内 括号。

例 用字母表示 $ S $ 小于或等于的自然数的集合 $5$. 然后，我们可以 写[eq1]

例 用字母表示 A 字母表的前五个字母的集合。然后，我们可以 写[eq2]

请注意，集合是对象的无序集合，即对象的排序 列出一组元素并不重要。

例 他们俩 套[eq3] 和 [eq4] 是 被认为是相同的。

有时，一个集合是根据其满足的一个或多个属性来定义的 元素。例如， 组 [eq5]可以 等同地定义 如 [eq6]哪一个 内容如下： " $ S $ 是所有自然数的集合 n 这样 n 小于或等于 $5$ ”， 冒号的地方 ( $：$ ) 表示“这样”，并且在条件列表之前， 设置需要满足。

例 的 组 [eq7] 是 所有自然数的集合 n 这样 n 除以 $4$ 也是一个自然数 是的 [eq8]

设置会员

一个元素 a 属于一套 A, 我们 写[eq9]哪一个 读 "a 属于 A" 要么 "a 是的成员 A ”。

相反，当一个元素 a 不属于一套 A, 我们 写[eq10]哪一个 读 "a 不属于 A" 要么 "a 不是的成员 A ”。

例 让集 $ S $ 被定义为 如下：[eq11]然后， 对于 例，[eq12] 和 [eq13]

设置包含

如果 A 和 $ B $ 是两套，如果 A 也属于 $ B $ , 然后我们 写[eq14]哪一个 读 "A 包含在 $ B $ " 要么 [eq15] 和 我们读 " $ B $ 包括 A ”。 我们也说 A 是...的子集 $ B $ .

例 套装 [eq16] 是 包含在 组 [eq17]因为 的所有要素 A 也属于 $ B $ . 因此，我们可以 写[eq18]

什么时候 $ Asubseteq B $ 但 A 与...不同 $ B $ （即， $ B $ 不属于 A ）， 然后我们 写[eq19]哪一个 读 "A 严格包含在 $ B $ " 要么 [eq20] 我们 也说 A 是...的适当子集 $ B $ .

例 给定集合 [eq21] 我们 有 那 [eq22] 但 我们不可以 写[eq23]

联盟

让 A 和 $ B $ 是两套。他们的联合是至少属于所有元素的集合 其中之一，它表示 通过 [eq24]

例 定义两组 A 和 $ B $ 如 如下：[eq25]其 联盟 是 [eq26]

如果 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $, ...， $ A_ {n} $ 是 n 集，它们的并集是至少属于以下一个元素的所有元素的集合 他们，并表示为 通过 [eq27]

例 定义三套 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 如 如下：[eq28]其 联盟 是 [eq29]

路口

让 A 和 $ B $ 是两套。它们的交集是属于这两个元素的所有元素的集合 其中，并表示为 通过 [eq30]

例 定义两组 A 和 $ B $ 如 如下：[eq25]其 路口 是 [eq32]

如果 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $, ...， $ A_ {n} $ 是 n 集，它们的交集是属于所有元素的所有元素的集合 它表示为 通过 [eq33]

例 定义三套 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 如 如下：[eq28]其 路口 是 [eq35]

补充

假设我们的注意力仅限于所有包含在 大套 欧米茄, 称为通用集。让 A 是其中之一。的补充 A 是的所有元素的集合 欧米茄 不属于 A 并指示 通过 [eq36]

例 定义通用集 欧米茄 如 如下：[eq37] 和 他们俩 套[eq38] 的 的补充 A 和 $ B $ 是 [eq39]

另请注意，对于任何一组 A, 我们 有[eq40]

德摩根定律

德摩根定律 是 [eq41] 和 可以扩展到两个以上的集合 设置：[eq42]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义以下内容 设置：[eq43]找 以下 联盟：[eq44]

解

联合可以写成 如 [eq45] 的 三套联合 $ A_ {2} $, $ A_ {3} $ 和 $ A_ {4} $ 是属于至少一个以下元素的所有元素的集合 他们：[eq46]

练习2

给定上一练习中定义的集合，找到以下内容 路口：[eq47]

解

交集可以写 如 [eq48] 的 四组的交集 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $, $ A_ {3} $ 和 $ A_ {4} $ 是属于这四个元素的一组元素 设置：[eq49]

练习3

假设 A 和 $ B $ 是通用集的两个子集 欧米茄 和 那 [eq50]找 以下 联盟：[eq51]

解

通过使用德摩根定律，我们 获得[eq52]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "集合论", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/set-theory.

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