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集合论

通过 博士

本讲座介绍集合论的基础。

目录

套装

集合是对象的集合。集通常用字母表示, 属于一个集合的对象(或元素)通常列在花括号内 括号。

用字母表示  $ S $ 小于或等于的自然数的集合 $5$. 然后,我们可以 写[eq1]

用字母表示 A 字母表的前五个字母的集合。然后,我们可以 写[eq2]

请注意,集合是对象的无序集合,即对象的排序 列出一组元素并不重要。

他们俩 套[eq3][eq4] 是 被认为是相同的。

有时,一个集合是根据其满足的一个或多个属性来定义的 元素。例如, 组 [eq5]可以 等同地定义 如 [eq6]哪一个 内容如下: " $ S $ 是所有自然数的集合 n 这样 n 小于或等于 $5$ ”, 冒号的地方 ( $:$ ) 表示“这样”,并且在条件列表之前, 设置需要满足。

的 组 [eq7] 是 所有自然数的集合 n 这样 n 除以 $4$ 也是一个自然数 是的 [eq8]

设置会员

一个元素 a 属于一套 A, 我们 写[eq9]哪一个 读 "a 属于 A" 要么 "a 是的成员 A ”。

相反,当一个元素 a 不属于一套 A, 我们 写[eq10]哪一个 读 "a 不属于 A" 要么 "a 不是的成员 A ”。

让集  $ S $ 被定义为 如下:[eq11]然后, 对于 例,[eq12][eq13]

设置包含

如果 A $ B $ 是两套,如果 A 也属于  $ B $ , 然后我们 写[eq14]哪一个 读 "A 包含在  $ B $ " 要么 [eq15] 和 我们读 " $ B $ 包括 A ”。 我们也说 A 是...的子集  $ B $ .

套装 [eq16] 是 包含在 组 [eq17]因为 的所有要素 A 也属于  $ B $ . 因此,我们可以 写[eq18]

什么时候 $ Asubseteq B $A 与...不同  $ B $ (即,  $ B $ 不属于 A ), 然后我们 写[eq19]哪一个 读 "A 严格包含在  $ B $ " 要么 [eq20] 我们 也说 A 是...的适当子集  $ B $ .

给定集合 [eq21] 我们 有 那 [eq22] 但 我们不可以 写[eq23]

联盟

A $ B $ 是两套。他们的联合是至少属于所有元素的集合 其中之一,它表示 通过 [eq24]

定义两组 A $ B $ 如 如下:[eq25]其 联盟 是 [eq26]

如果 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $, ..., $ A_ {n} $n 集,它们的并集是至少属于以下一个元素的所有元素的集合 他们,并表示为 通过 [eq27]

定义三套 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $$ A_ {3} $ 如 如下:[eq28]其 联盟 是 [eq29]

路口

A $ B $ 是两套。它们的交集是属于这两个元素的所有元素的集合 其中,并表示为 通过 [eq30]

定义两组 A $ B $ 如 如下:[eq25]其 路口 是 [eq32]

如果 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $, ..., $ A_ {n} $n 集,它们的交集是属于所有元素的所有元素的集合 它表示为 通过 [eq33]

定义三套 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $$ A_ {3} $ 如 如下:[eq28]其 路口 是 [eq35]

补充

假设我们的注意力仅限于所有包含在 大套 欧米茄, 称为通用集。让 A 是其中之一。的补充 A 是的所有元素的集合 欧米茄 不属于 A 并指示 通过 [eq36]

定义通用集 欧米茄 如 如下:[eq37] 和 他们俩 套[eq38] 的 的补充 A $ B $ [eq39]

另请注意,对于任何一组 A, 我们 有[eq40]

德摩根定律

德摩根定律 是 [eq41] 和 可以扩展到两个以上的集合 设置:[eq42]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义以下内容 设置:[eq43]找 以下 联盟:[eq44]

联合可以写成 如 [eq45] 的 三套联合 $ A_ {2} $, $ A_ {3} $$ A_ {4} $ 是属于至少一个以下元素的所有元素的集合 他们:[eq46]

练习2

给定上一练习中定义的集合,找到以下内容 路口:[eq47]

交集可以写 如 [eq48] 的 四组的交集 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $, $ A_ {3} $$ A_ {4} $ 是属于这四个元素的一组元素 设置:[eq49]

练习3

假设 A $ B $ 是通用集的两个子集 欧米茄 和 那 [eq50]找 以下 联盟:[eq51]

通过使用德摩根定律,我们 获得[eq52]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "集合论", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/mathematical-tools/set-theory.

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