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Cayley-Hamilton定理

通过 博士

Cayley-Hamilton定理表明,a的特征多项式 方阵转换成a时等于零 矩阵本身的多项式。换句话说,方阵满足 自己的特征方程。

目录

矩阵多项式

在讲座中 矩阵 多项式 我们已经解释说,如果 F 是一个字段,例如实数集 R 或复数集 $ U {2102} $, 和 $ p:F
ightarrow F $ 是普通的 多项式[eq1]然后 我们可以用 p 通过扩展定义一个类似的矩阵 多项式[eq2]提供 方阵的项 A 属于领域 F.

特征多项式

请记住,平方矩阵的特征多项式 A[eq3]哪里 [eq4] 特征值A.

如上所述,普通多项式 $ pleft(z
权)$ 可用于定义矩阵多项式 $ pleft(A
权)$.

下一节中的命题,即Cayley-Hamilton定理,表明 的特征多项式 A 当它转换成多项式时,等于零 A.

定理

这是Cayley-Hamilton定理。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 [eq4] 是...的特征值 A. 然后,[eq6]

证明

定义[eq7]的 矩阵 A 有一个 舒尔 分解[eq8]哪里 $ T $ 是一个 上三角 矩阵, $ Q $ 是一个 ary矩阵$ Q ^ {st} $ 表示 共轭 转置$ Q $. 而且,对角线项 $ T $ 是...的特征值 A. 以来 $ Q $ 是单一的 [eq9]. 因此,[eq10]我们 将会表明 [eq11]和, 作为结果, [eq12]. 定义[eq13]我们 将通过归纳证明第一个 k 的列 $ Y_ {k} $ 为零(因此, $ Y_ {K} $ 为零且命题为真)。让我们开始 $ Y_ {1} $. 以来 $ T $ 是上三角形 [eq14] 是的第一列中唯一的非零条目 $ T $. 因此,矩阵的第一列 [eq15]是 零。现在假设第一个 $k-1$ 的列 $ Y_ {k-1} $ 等于零 是的[eq16]的 的列 [eq17]能够 被视为 线性的 列的组合$ Y_ {k-1} $ 取自相应列的系数 $ T-lambda _ {k} I $ . 特别是 $ j $-th 的列 $ Y_ {k} $[eq18]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 $ T-lambda _ {k} I $ 是上三角形,因此, [eq19] 什么时候 $m>j$; 在步 $ rame {B} $ 我们已经利用了以下事实: $k-1$ 的列 $ Y_ {k-1} $ 为零。什么时候 [eq20] 是第一个 k 的行 $ Y_ {k} $, 然后 $ jleq k $. 如果 $j<k$, 那么总和就是一个空索引 和[eq21]如果 $ j = k $, 那么总和就是一个索引 和[eq22]因为 [eq23]从而, 我们已经达到了预期的结论:第一个 k 的列 $ Y_ {k} $ 为零。因此,所有的列 $ Y_ {K} $ 为零且 [eq24].

因此,如果 $ pleft(z
权)$ 是...的特征多项式 A, 然后[eq25]

一个例子

让我们举一个例子。

定义[eq26]的 的特征多项式 A[eq27]我们 可以将其转换为多项式 A 如 如下:[eq28]让 我们进行乘法运算以检查确实 Cayley-Hamilton定理 持有:[eq29]

矩阵多项式的结果

Cayley-Hamilton定理的重要结果是任何多项式 在一个 $ Kimes K $ 矩阵 A 可以被重写为一个最多为度的多项式 $K-1$.

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ qleft(A
权)$ 是...中的矩阵多项式 A. 然后,存在一个多项式 $ r $ 这样 那[eq30]和 程度 $ rleft(A
权)$ 最多 $K-1$.

证明

如果程度 $ qleft(A
权)$ 小于 K, 那没有什么可以证明的。 $ qleft(A
权)$ 大于或等于 $ K $, 我们进行如下。根据Cayley-Hamilton定理,我们 有[eq31]哪里 标量 [eq32] 通过扩展产品获得 [eq33]. 从而, $ A ^ {K} $ 可以表示为的幂的线性组合 A$ left(K-1
权)$-th:[eq34]如果 我们将前面方程式的两边乘以 A, 我们 获得[eq35]通过 将(1)代入(2),我们也得到 $ A ^ {K + 1} $ 可以表示为的幂的线性组合 A$ left(K-1
权)$-th。 使用相同的技术(预乘和替代),我们可以获得相同的结果。 任何力量的结果 $ A ^ {K + j} $, 哪里 $ j $ 是任何正整数。因此,给定多项式 $ qleft(A
权)$ 程度大于或等于 $ K,$, 我们可以替代的所有力量 A 出现在多项式中且大于或等于 K 较低的功率。因此,我们得到了陈述的结果。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义[eq36]改写 的 多项式[eq37]如 度的多项式 1A.

的特征多项式 A[eq38]因此, 根据Cayley-Hamilton定理,我们 有[eq39]我们 将前面方程式的两边预乘以 获得[eq40]然后, 我们将(3)代入(4)并 得到[eq41]最后, 我们可以重写给定的 多项式[eq42]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "Cayley-Hamilton定理", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Cayley-Hamilton-theorem.

这本书

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