Cayley-Hamilton定理表明,a的特征多项式 方阵转换成a时等于零 矩阵本身的多项式。换句话说,方阵满足 自己的特征方程。
在讲座中 矩阵
多项式 我们已经解释说,如果
是一个字段,例如实数集
或复数集
,
和
是普通的
多项式
然后
我们可以用
通过扩展定义一个类似的矩阵
多项式
提供
方阵的项
属于领域
.
请记住,平方矩阵的特征多项式
是
哪里
是
特征值 的
.
如上所述,普通多项式
可用于定义矩阵多项式
.
下一节中的命题,即Cayley-Hamilton定理,表明
的特征多项式
当它转换成多项式时,等于零
.
这是Cayley-Hamilton定理。
主张
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
.
然后,
定义的
矩阵
有一个 舒尔
分解
哪里
是一个 上三角
矩阵,
是一个 ary矩阵 和
表示 共轭
转置 的
.
而且,对角线项
是...的特征值
.
以来
是单一的
.
因此,
我们
将会表明
和,
作为结果,
.
定义
我们
将通过归纳证明第一个
的列
为零(因此,
为零且命题为真)。让我们开始
.
以来
是上三角形
是的第一列中唯一的非零条目
.
因此,矩阵的第一列
是
零。现在假设第一个
的列
等于零
是的
的
的列
能够
被视为
线性的
列的组合 的
取自相应列的系数
.
特别是
-th
的列
是
哪里:
在步
我们使用了这样一个事实
是上三角形,因此,
什么时候
;
在步
我们已经利用了以下事实:
的列
为零。什么时候
是第一个
的行
,
然后
.
如果
,
那么总和就是一个空索引
和
如果
,
那么总和就是一个索引
和
因为
从而,
我们已经达到了预期的结论:第一个
的列
为零。因此,所有的列
为零且
.
因此,如果
是...的特征多项式
,
然后
让我们举一个例子。
例
定义的
的特征多项式
是
我们
可以将其转换为多项式
如
如下:
让
我们进行乘法运算以检查确实
Cayley-Hamilton定理
持有:
Cayley-Hamilton定理的重要结果是任何多项式
在一个
矩阵
可以被重写为一个最多为度的多项式
.
主张
让
成为
矩阵。让
是...中的矩阵多项式
.
然后,存在一个多项式
这样
那
和
程度
最多
.
如果程度
小于
,
那没有什么可以证明的。
大于或等于
,
我们进行如下。根据Cayley-Hamilton定理,我们
有
哪里
标量
通过扩展产品获得
.
从而,
可以表示为的幂的线性组合
至
-th:
如果
我们将前面方程式的两边乘以
,
我们
获得
通过
将(1)代入(2),我们也得到
可以表示为的幂的线性组合
至
-th。
使用相同的技术(预乘和替代),我们可以获得相同的结果。
任何力量的结果
,
哪里
是任何正整数。因此,给定多项式
程度大于或等于
,
我们可以替代的所有力量
出现在多项式中且大于或等于
较低的功率。因此,我们得到了陈述的结果。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义改写
的
多项式
如
度的多项式
在
.
的特征多项式
是
因此,
根据Cayley-Hamilton定理,我们
有
我们
将前面方程式的两边预乘以
获得
然后,
我们将(3)代入(4)并
得到
最后,
我们可以重写给定的
多项式
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "Cayley-Hamilton定理", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Cayley-Hamilton-theorem.