一个正方形 矩阵 据说是 如果可以将Cholesky分解写为更低的乘积 三角矩阵及其转置(在复杂情况下为共轭转置); 下三角矩阵必须具有严格的正实数项 在其主要对角线上。
在本讲座中,我们将证明所有正定矩阵 拥有Cholesky分解。而且,分解是独特的。
我们从定义开始。
什么时候
是实数(其条目具有零个复杂部分),则共轭转置
与移调重合
和Cholesky分解
是
例
考虑下三角
矩阵和
其共轭
转置
然后,
的
矩阵
具有
霍尔斯基
分解
请记住
复矩阵
据说是 正
定 当且仅当二次形式
对于任何向量都是实数(即复零为零)
和
每当
.
当我们将注意力集中在实向量和矩阵上时,我们说
实矩阵
是正定的,当且仅当
是对称的
对于任何非零的实向量
.
正定性是满足条件的必要条件。 存在Cholesky分解。
主张 当且仅当平方矩阵具有Cholesky分解 正定。
让我们证明“如果”部分,从
假设
是肯定的。由于正定矩阵
是Hermitian(即
),
也是 正常。因此,它
可 对角线化
如
哪里
是一个 ary矩阵 和
是对角矩阵
特征值 的
在其主要对角线上。而且,由于
是正定的,其特征值严格是正实数。
因此,我们可以
写
哪里
是对角矩阵
-th
条目
满足
对于
.
因此,
的
矩阵
,
团结一致,才是全职。矩阵
是对角线(因此为三角形),并且其对角线输入严格为正。
因此, 的性质
三角矩阵,
是全职的。 产品
两个完全秩矩阵中的一个是完全秩。因此,
是全等级的,因此,它有一个
二维码
分解
哪里
是一个ary矩阵,不仅
是上三角形,但在其上也有严格的正实数项
主对角线(请记住,所有平方矩阵都有QR分解,并且
如果矩阵是
分解为全等级)。因此,我们
有
哪里
是在其上具有严格正对角线项的下三角矩阵
主对角线。因此,
有霍尔斯基
分解
让
我们现在从以下假设开始证明“仅当”部分
与前面的方程式一样,具有Cholesky分解。自对角线
的条目
严格来说是肯定的
是全职的。因此,对于任何
,
我们
有
和
二次形式
满足
哪里
最后的不平等来自于
的正定性
规范。而且,规范
保证是实数。因此,
是肯定的。
Cholesky分解是唯一的。
主张
A
正定矩阵
拥有独特的Cholesky因式分解,从某种意义上说
唯一的下三角矩阵
在其主要对角线上有严格正实项
满足
假设存在另一个
分解然后,
我们
有
和
哪里
逆的存在
和
由以下事实保证
和
是带有严格正对角线入口的三角形。以来
和
下三角
是较低的三角形。以来
和
是上三角形
是上三角形。下三角矩阵
可以等于上三角矩阵
仅当两个矩阵都是对角线时。
因此,
哪里
是对角矩阵。注意
那
如
a
后果,
从而,
的任何对角线入口
(用
)
满足
在
换句话说,
全部位于单位圆上。而且,他们需要满足
约束
哪里
两者的对角线入口
和
是真实且严格肯定的。满足此约束的唯一方法是
保留在单位圆上的是
挑
对于
所有
.
因此,
和
a的Cholesky分解
矩阵
可以通过直接求解
方程
特别是根据
矩阵乘积,
后一个方程式暗示
那对于
任何条目
位于
-th
行和
-th
列(用于
和
)。
以来
下三角
每当
.
因此,
我们得出以下项
通过遵循以下规则,从后面的等式中得出:
我们从第一列开始一次求解一列
(),
然后按顺序求解其他列
(
);
在每一列中,我们首先导出对角线条目
然后其他条目
(只为
因为
什么时候
)。
通过求解方程(1),我们发现对角线项
是
由于条目位于主对角线上
需要真实且严格地积极,我们总是选择积极的根源。
此外,如果平方根下的数字不是严格正数,则
我们停止算法,然后得出结论
不是肯定的。
再次通过求解方程式(1),我们发现其他项
(对于
)
是
哪里
我们使用了这样一个事实
因为主对角线上的条目是真实的。
例
让我们找到Cholesky分解
我们
需要找到一个
矩阵
这样
那
我们
从第一列及其对角线开始
条目
的
第一列中的下一个条目
是
我们
现在移至第二列及其对角线
条目
因此,
Cholesky分解中使用的下三角矩阵
是
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
计算Cholesky分解
的
我们从第一行开始。对角线
条目
是的
第二次进入
是
和
第三个
是
我们
现在转到第二列,我们从
条目
的
它下面的条目
是
我们
现在可以转到第三列
找
从而,
分解中使用的三角矩阵
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "胆固醇分解", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Cholesky-decomposition.