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胆固醇分解

通过 博士

一个正方形 矩阵 据说是 如果可以将Cholesky分解写为更低的乘积 三角矩阵及其转置(在复杂情况下为共轭转置); 下三角矩阵必须具有严格的正实数项 在其主要对角线上。

在本讲座中,我们将证明所有正定矩阵 拥有Cholesky分解。而且,分解是独特的。

目录

定义

我们从定义开始。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。我们说 A 当且仅当存在一个 下三角 $ Kimes K $ 矩阵 $ L $ 这样它的对角线项严格是正实数 和[eq1]哪里 $ L ^ {st} $ 表示 共轭 转置$ L $.

什么时候 $ L $ 是实数(其条目具有零个复杂部分),则共轭转置 $ L ^ {st} $ 与移调重合 $ L ^ {op} $ 和Cholesky分解 是[eq2]

考虑下三角 矩阵[eq3]和 其共轭 转置[eq4]然后, 的 矩阵[eq5]具有 霍尔斯基 分解[eq6]

存在

请记住 复矩阵 A 据说是 正 定 当且仅当二次形式 $ x ^ {st} Ax $ 对于任何向量都是实数(即复零为零) x[eq7]每当 $x
eq 0$.

当我们将注意力集中在实向量和矩阵上时,我们说 实矩阵 A 是正定的,当且仅当 A 是对称的 [eq8] 对于任何非零的实向量 x.

正定性是满足条件的必要条件。 存在Cholesky分解。

主张 当且仅当平方矩阵具有Cholesky分解 正定。

证明

让我们证明“如果”部分,从 假设 A 是肯定的。由于正定矩阵 A 是Hermitian(即 $ A = A ^ {st} $), 也是 正常。因此,它 可 对角线化[eq9]哪里 $ P $ 是一个 ary矩阵$ D $ 是对角矩阵 特征值A 在其主要对角线上。而且,由于 A 是正定的,其特征值严格是正实数。 因此,我们可以 写[eq10]哪里 $ D ^ {1/2} $ 是对角矩阵 $ left(k,k
权)$-th 条目 满足[eq11]对于 $ k = 1,ldots,K $. 因此, [eq12]的 矩阵 $ P $, 团结一致,才是全职。矩阵 $ D ^ {1/2} $ 是对角线(因此为三角形),并且其对角线输入严格为正。 因此, 的性质 三角矩阵, $ D ^ {1/2} $ 是全职的。 产品 两个完全秩矩阵中的一个是完全秩。因此, $ D ^ {1/2} P $ 是全等级的,因此,它有一个 二维码 分解[eq13]哪里 $ Q $ 是一个ary矩阵,不仅 $ R $ 是上三角形,但在其上也有严格的正实数项 主对角线(请记住,所有平方矩阵都有QR分解,并且 如果矩阵是 分解为全等级)。因此,我们 有[eq14]哪里 $ L = R ^ {st} $ 是在其上具有严格正对角线项的下三角矩阵 主对角线。因此, A 有霍尔斯基 分解[eq6]让 我们现在从以下假设开始证明“仅当”部分 A 与前面的方程式一样,具有Cholesky分解。自对角线 的条目 $ L $ 严格来说是肯定的 $ L $ 是全职的。因此,对于任何 $x
eq 0$, 我们 有[eq16]和 二次形式 满足[eq17]哪里 最后的不平等来自于 的正定性 规范。而且,规范 [eq18] 保证是实数。因此, A 是肯定的。

独特性

Cholesky分解是唯一的。

主张 A $ Kimes K $ 正定矩阵 A 拥有独特的Cholesky因式分解,从某种意义上说 唯一的下三角矩阵 $ L $ 在其主要对角线上有严格正实项 满足[eq6]

证明

假设存在另一个 分解[eq20]然后, 我们 有[eq21][eq22]哪里 逆的存在 [eq23]$ M ^ {-1} $ 由以下事实保证 $ L $$ M $ 是带有严格正对角线入口的三角形。以来 $ M $$ L $ 下三角 $ M ^ {-1} L $ 是较低的三角形。以来 $ M ^ {st} $$ L ^ {st} $ 是上三角形 [eq24] 是上三角形。下三角矩阵 $ M ^ {-1} L $ 可以等于上三角矩阵 [eq25] 仅当两个矩阵都是对角线时。 因此,[eq26]哪里 $ D $ 是对角矩阵。注意 那[eq27]如 a 后果,[eq28]从而, 的任何对角线入口 $ D $ (用 $ D_ {kk} $) 满足[eq29]在 换句话说, $ D $ 全部位于单位圆上。而且,他们需要满足 约束[eq30]哪里 两者的对角线入口 $ M $$ L $ 是真实且严格肯定的。满足此约束的唯一方法是 保留在单位圆上的是 挑[eq31]对于 所有 k. 因此,[eq32][eq33]

如何计算Cholesky分解

a的Cholesky分解 $ Kimes K $ 矩阵 A 可以通过直接求解 方程[eq6]

特别是根据 矩阵乘积, 后一个方程式暗示 那[eq35]对于 任何条目 $ A_ {tv} $ 位于 $ t $-th 行和 $ v $-th 列(用于 $ t = 1,ldots,K $$ v = 1,ldots,K $)。

以来 $ L $ 下三角 $ L_ {vu} = 0 $ 每当 $u>v$. 因此,[eq36]

我们得出以下项 $ L $ 通过遵循以下规则,从后面的等式中得出:

通过求解方程(1),我们发现对角线项 是[eq37]

由于条目位于主对角线上 $ L $ 需要真实且严格地积极,我们总是选择积极的根源。 此外,如果平方根下的数字不是严格正数,则 我们停止算法,然后得出结论 A 不是肯定的。

再次通过求解方程式(1),我们发现其他项 $ L_ {tv} $ (对于 $t>v$) 是[eq38]哪里 我们使用了这样一个事实 [eq39] 因为主对角线上的条目是真实的。

让我们找到Cholesky分解 [eq40]我们 需要找到一个 矩阵[eq41]这样 那[eq6]我们 从第一列及其对角线开始 条目[eq43]的 第一列中的下一个条目 是[eq44]我们 现在移至第二列及其对角线 条目[eq45]因此, Cholesky分解中使用的下三角矩阵 是[eq46]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

计算Cholesky分解 的[eq47]

我们从第一行开始。对角线 条目 是[eq48]的 第二次进入 是[eq49]和 第三个 是[eq50]我们 现在转到第二列,我们从 条目[eq51]的 它下面的条目 是[eq52]我们 现在可以转到第三列 找[eq53]从而, 分解中使用的三角矩阵 是[eq54]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "胆固醇分解", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Cholesky-decomposition.

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