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高斯乔丹消除算法

通过 博士

高斯乔丹消除算法可以将 线性的 系统 变成一个 当量 系统 以减少的行梯形形式。

高斯消去的主要区别如下: 下图。

该图说明了高斯和高斯约旦消除算法之间的差异

在本讲座中,我们将假设读者已经熟悉 与 高斯消去 并意识到之间的区别 行梯形表格 缩小排梯队 形成.

目录

总览

高斯乔丹消除算法的目的是变换线性 系统 K 中的方程 $ L $ 未知数 [eq1]进入 缩小行中的等效系统(即具有相同解决方案的系统) 梯队形式。

系统可以写 如 [eq2]哪里 A 是个 $ Kimes L $ 系数矩阵 x 是个 $酸橙1 $ 未知向量和 $ b $ 是一个 Kx1 常数向量。

请记住,系统处于 精简梯队形式 如果它是 系数矩阵 A 具有以下属性:

高斯乔丹的淘汰包括一系列 基本行 运作:

  1. 互换方程的阶数,以确保零 行在矩阵的底部;

  2. 将方程乘以(或除以)非零常数,从而得出 枢轴等于 1;

  3. 将某些方程式的倍数与其他方程式相加,以消除 枢轴上方和下方的条目。

算法步骤

高斯约旦算法与高斯消去算法非常相似。因此, 我们将不会详细解释其步骤,但是我们只会 评论关于高斯消去的差异。请参考 参加关于 高斯型 淘汰 有关详细说明。

在布置算法之前,我们警告读者该系数 系统的矩阵将表示为 A 在执行基本行操作之前和之后,即使 从运算中得出的矩阵原则上是不同的矩阵。

步骤如下:

  1. 从...开始 $k=0$$l=0$.

  2. 增量 k 一个单位。

  3. 增量 $ l $ 一个单位。

  4. 停止算法,如果 $l>L$. 否则,继续下一步。

  5. 如果 $ A_ {il} = 0 $ 对于 $ i = k,ldots,K $, 返回步骤3。否则继续下一步。

  6. 互换 k-th 等式与任何等式 i (与 $i>k$) 这样 $A_{il}
eq 0$ (如果 $ i = k $ 无需执行互换)。

  7. 划分 k-th 方程式 $ A_ {kl} $.

  8. 对于 $ i = 1,ldots,k-1 $$ i = k + 1,ldots,K $, 减去 k-th 方程乘以 $ A_ {il} $ 来自 i-th 方程。

  9. 如果 $k<K$, 返回步骤2。否则停止算法。

关于高斯消除的差异如下:

例子

下面我们以高斯约旦消除为例。

为了简化表示法,我们将使用 扩充矩阵 至 代表线性系统。

考虑由表示的四个未知数中的三个方程组 增强型 矩阵[eq3]我们 从行开始 $k=1$ 和列 $l=1$. 以来 [eq4], 我们不执行任何行交换​​。我们将第一行除以 $ A_ {11} =-1 $ 和 获得[eq5]在 为了消灭枢轴下方的条目 $ A_ {11} $, 我们减去第一行乘以 $3$ 从第二乘以 1 来自 第三:[eq6] 我们移到行 $k=2$ 和列 $l=2$. 以来 $ A_ {kl} = A_ {22} = 0 $, 但 $A_{32}
eq 0$, 我们将第二行与 第三:[eq7]我们 将第二行除以 $ A_ {22} = 2 $:[eq8]我们 加第二行乘以 $2$ 到 第一:[eq9] 我们移到行 $k=3$ 和列 $l=3$. 我们将第三行除以数据透视表的值 $ A_ {33} = 18 $:[eq10] 我们增加 $-6$ 将第三行乘以第二行,然后 第三:[eq11]的 矩阵现在处于简化的行梯形形式。

高斯乔丹淘汰赛

如在高斯消除中,为了提高数值稳定性 算法,我们通常在步骤6中执行部分数据透视,也就是说,我们始终 选择移动最大元素的行交换(绝对值) 到关键位置。如果我们也交换列以最大化 枢轴的绝对值,那么我们正在做完整的枢轴。见 讲座 高斯型 淘汰 有关部分和完全旋转的更多详细信息。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

转换 系统[eq12]进入 缩小行梯形形式的等效系统。使用高斯乔丹 具有部分枢轴的消除算法。

入口 $ A_ {11} $ 为非零,并且已经是第一列中的最大条目。 因此,它用作枢轴。将第一行除以 $ A_ {11} = 2 $:[eq13]歼灭 枢轴下方的条目 $ A_ {11} $:[eq14]互换处 第二行与第三行,以便最大的元素移至 关键的 位置:[eq15]划分 第二排 $ A_ {22} = 5/2 $:[eq16]歼灭 枢轴上方和下方的条目 $ A_ {22} $:[eq17]互换处 第三行 第四:[eq18]划分 第三行 $ A_ {33} = 7 $:[eq19]所有 枢轴上方和下方的元素 $ A_ {33} $ 已经是零,所以我们可以移到最后一行。没有排 可以考虑进行互换,因为最后一行下面没有行。 此外, $ A_ {11} $ 是一个枢轴,它已经等于 1. 因此,我们只需要消灭上面的元素 它:[eq20]的 系统现在处于缩减行梯形形式。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "高斯乔丹消除算法", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Gauss-Jordan-elimination.

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