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高斯消去

通过 博士

高斯消除是一种算法,可以将 系统 线性方程组 进入等效系统(即具有相同系统的系统 解决方案作为原始的一种)以梯队形式排列。基本行操作 在系统上执行直到系统呈行梯形形式。然后呢 可以很容易地通过替换来解决。

目录

初赛

在阅读本讲座之前,您应该熟悉:

目标

我们得到一个线性系统 K 中的方程  $ L $ 未知数 [eq1] 那 可以矩阵形式表示 如 [eq2] 哪里 A 是个  $ Kimes L $ 系数矩阵  $ b $ 是个 Kx1 常数向量和 x 是个  $酸橙1 $ 向量的未知数。

目的是将其简化为行梯形形式的等效系统,即 一个等效系统,其系数矩阵 A 具有以下特点:

通过重复执行两个基本行操作来实现此目的:

  1. 互换两个方程的阶数;

  2. 将一个方程式的倍数与另一个方程式相加。

注意 :为简单起见,我们将表示 系统的系数矩阵 A 在执行基本行操作之前和之后,即使严格 说来,他们是两个不同的矩阵。

算法步骤

我们首先严格地介绍高斯消去算法的步骤 方式,就像列出我们正在编写计算机程序一样列出它们。然后我们 仔细解释。

步骤如下:

  1. 从...开始 $k=0$$l=0$.

  2. 增量 k 一个单位。

  3. 增量  $ l $ 一个单位。

  4. 停止算法,如果 $l>L$. 否则,继续下一步。

  5. 如果  $ A_ {il} = 0 $ 对于 $ i = k,ldots,K $, 返回步骤3。否则继续下一步。

  6. 互换 k -th 等式与任何等式 i (与 $i>k$) 这样 $A_{il}
eq 0$ (如果  $ i = k $ 无需执行互换)。

  7. 对于 $ i = k + 1,ldots,K $, 加 $ -A_ {il} / A_ {kl} $k -th 等式 i -th 方程。

  8. 如果 $k<K-1$, 返回步骤2。否则停止算法。

为了更好地理解算法,请注意以下几点:

例子

现在,我们提供几个示例,以说明高斯消隐如何在 实践。

在本节中,我们将使用增广矩阵来简化 代表线性方程组。如果您不熟悉 增强矩阵的概念,您应该 修改它 在阅读之前 例子。

考虑三个方程组中的三个 未知数 [eq3] 的 系统的扩充矩阵 是 [eq4] 我们 从行开始 $k=1$ 和列 $l=1$. 我们有 [eq5], 因此我们不需要交换行。我们增加 [eq6] 次 第一行到第二行,以及 获得 [eq7] 我们 加 [eq8] 次 第一排到第三排 得到 [eq9] 我们 现在去排 $k=2$ 和列 $l=2$. 我们有 $ A_ {kl} = A_ {22} = 0 $. 然而, [eq10], 因此我们将第二行与 第三: [eq11] 的 仅下面的条目  $ A_ {22} $ 已经是零,所以我们不需要执行行加法。我们完成了 倒数第二行,因此高斯消除算法停止。矩阵 的系数(在垂直线的左边)是行梯形形式 因为它的所有行都有枢轴。枢轴是  $ A_ {11} $ ,  $ A_ {22} $  $ A_ {33} $ .

考虑四个方程组中的三个方程组 未知数 [eq12] 的 系统的扩充矩阵 是 [eq13] 我们 从行开始 $k=1$ 和列 $l=1$. 我们有 [eq5], 因此我们不需要交换行。我们增加 [eq15] 次 第一行到第二行,以及 获得 [eq16] 所有 以下条目中的  $ A_ {11} $ 为零,因此我们完成了第一列。我们现在去排 $k=2$ 和列 $l=2$. 我们有  $ A_ {kl} $ 并且它下面的所有条目均为零。因此,我们无法执行任何行 操作。因此,第二列是非基本列,我们需要转到 下一列,而不更改行。所以, $k=2$$l=3$. 我们有 [eq17], 因此无需交换行。我们增加 [eq18] 次 第二行到第三行,以及 获得 [eq19] 我们 用倒数第二行完成,所以高斯消去算法 停止。系数矩阵采用行梯形形式,因为其所有 行有一个枢轴。枢轴是  $ A_ {11} $ ,  $ A_ {23} $  $ A_ {3,4} $ .

通过部分枢轴进行高斯消除

请注意,在高斯消除算法的步骤6中,我们没有 指定了选择与当前行互换哪一行的标准 行(以防万一)。

当我们在计算机上实施高斯消除算法时, 我们通常遵循的标准是选择移动 最大元素(绝对值)到关键位置。这样做是为了 提高算法的数值稳定性:由于在第7步中,我们进行了计算 比例 $ -A_ {il} / A_ {kl} $, 我们想要  $ A_ {kl} $ 尽可能远离零(避免被零除的问题 通过数字四舍五入);因此,我们选择行互换,以便 使...的绝对值  $ A_ {kl} $ 尽可能大。

这种选择枢轴的方法称为部分枢轴。

完全枢轴旋转的高斯消除

该算法的另一个版本是所谓的高斯消除 完全枢轴旋转,其中枢轴的绝对值未最大化 只能通过交换行,也可以通过交换列(即通过更改 未知数的顺序)。在此算法的第6步中,我们搜索所有象限 枢轴位置下方和右侧的系数矩阵的 具有最大绝对值的元素,然后我们移动该元素 行和列互换的位置到关键位置。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

使用带有部分枢轴的高斯消去算法来减少 系统 [eq20] 至 行梯队形式。

我们从排开始 $k=1$ 和列 $l=1$. 第一列中最大的元素是  $ A_ {4,1} =-4 $ . 因此,我们将第四行与 第一: [eq21] 我们 加 [eq22] 次 第一排到第四排 行: [eq23] 我们 移至行 $k=2$ 和列 $k=2$. 第二列中最大的元素是  $ A_ {3,2} = 2 $ . 因此,我们将第三行与 第二: [eq24] 我们 加 [eq25] 次 第二排到第三排 行: [eq26] 我们 加 [eq27] 次 第二行到第四行 行: [eq28] 的 系统现在为行梯形形式:最后一行为零;它上面的所有行 是非零值并具有枢轴。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "高斯消去", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Gaussian-elimination.

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