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吉文斯旋转矩阵

通过 博士

吉文斯旋转矩阵(或平面旋转矩阵)是 正交矩阵 这通常是 用于将实矩阵转换为 当量 一个,通常由 消灭其主要对角线以下的条目。

目录

定义

这是一个定义。

定义$ c $$ s $ 是两个实数,这样 $ c ^ {2} + s ^ {2} = 1 $. 让 [eq1] 成为 $ Kimes K $ 单位矩阵。让 $ m $n 是两个整数,这样 [eq2]. 吉文斯旋转矩阵 [eq3]是 的 $ Kimes K $ 项均等于的对应项的矩阵 [eq4], 除了 对于[eq5]

让我们立即看到一些示例。

以下是一个 5元5元 吉文斯 矩阵:[eq6]在 这个案例, $K=5$, $m=2$$n=4$. 因此,可以通过修改矩阵的第二行和第四行来获得矩阵 5元5元 单位矩阵

另一个例子是 [eq7]哪一个 通过修改a的第一行和第四行获得 4美金4美金 单位矩阵

较小的旋转矩阵 如下:[eq8]

正交性

给定矩阵是正交的(即它们的列是正交的)。

主张 吉文斯矩阵 $ G $ 是正交的 是的[eq9]

证明

[eq3]我们 需要证明 [eq11]通过 使用 的定义 矩阵乘积,我们可以看到后面的等式在且仅当成立时成立 如果[eq12]哪里 $ G_ {k ullet} $ 表示 k-th 排 $ G $. 我们将证明这是真的。什么时候 $k
eq m$$l
eq n$, 然后[eq13]因为 单位矩阵的行是正交的。什么时候 $ k = l = m $, 然后[eq14]什么时候 $ k = l = n $, 然后[eq15]什么时候 $ k = m $$ l = n $ (要么 $ k = n $$ l = m $), 以便 $k
eq l$, 然后我们 有[eq16]最后, 什么时候 k 要么 $ l $ 等于以下之一 $ m $ 要么 n (而另一个不等于 $ m $ 要么 n), 我们有 要么[eq17]要么[eq18]哪一个 完成证明。

等效转换

[eq3]是 a $ Kimes K $ 给出旋转矩阵。

A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。

当我们计算 产品[eq20]那 是,当我们使用 $ G $ 对...执行等效转换 A?

通过通常的解释 矩阵 产品为线性组合, 我们可以看到该产品是新产品 行均等于的对应行的矩阵 A, 除了 $ m $-th 和 n-th。 特别是如果 $l
eq m$$l
eq n$, 然后[eq21]

但是我们 有[eq22]

[eq23][eq24]然后, 该产品是 [eq25]

entries灭

假设和上一节一样,我们执行了等效的操作 转换 $ Kimes L $ 矩阵 A 通过使用纪梵斯轮换 [eq26].

进一步假设 $A_{mm}
eq 0$.

我们如何设定 $ c $ 以这种方式消灭了入口 $ A_ {nm} $?

我们已经知道,在转型之后, n-th 行 是[eq27]

因此, [eq28]

为了有 [eq29], 我们必须 有[eq30]

但是我们还必须满足 约束[eq31]

解决了这两个方程 通过[eq32]

定义 [eq33]让 我们找到一个旋转矩阵,使我们可以消除该条目 $ A_ {31} = 4 $. 首先,我们需要一个非零的条目作为枢轴。我们选择 $ A_ {11} = 3 $. 因此,旋转涉及的行是第一行和第三行。作为一个 因此,我们的Givens矩阵具有 形成[eq34]的 数字 $ c $$ s $ 被选为 如下:[eq35]从而, 转型 是[eq36]哪一个 实现所需的歼灭。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 矩阵[eq37]找 一个吉文斯旋转矩阵 A 变成一个 上三角 矩阵.

我们需要歼灭 $ A_ {32} =-3 $. 我们可以通过着眼于 $ A_ {22} = 4 $. 从而, $m=2$$n=3$. 此外,[eq38]因此, 旋转矩阵 是[eq39]的 等效变换 是[eq40]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "吉文斯旋转矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Givens-rotation.

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