Householder真人在线斗地主(或基本反射器)是 ary真人在线斗地主 这通常是 用于将另一个真人在线斗地主转换为更简单的真人在线斗地主。尤其是, 户主真人在线斗地主通常用于消除主条目下的条目 真人在线斗地主的对角线。
让我们从定义开始。
让我们立即举一个例子,这也将有助于修订规范和 共轭转置。
例
定义
向量
然后,
其共轭转置
是
和
它的规范
是
的
与之相关的基本反射器
是
如果真人在线斗地主等于其共轭转置真人在线斗地主,则称其为Hermitian。
主张
户主真人在线斗地主
是埃尔米特人
是的
单位真人在线斗地主等于其
共轭转置和
因此,
我们有
家用反射器是一体的。
主张
户主真人在线斗地主
是单一的
是的
我们
有哪一个
证明
是个 逆 的
.
如果真人在线斗地主等于逆真人在线斗地主,则称其为不合逻辑的。
主张
户主真人在线斗地主
出于自愿,
是的
我们
有因为
是Hermitian,并且
因为
是单一的。
因此,
让
成为
户主真人在线斗地主和
a
列向量。假设
那
如果我们将等式的两边都乘以
,
我们
获得
因此,我们
获得哪一个
相对于起始方程式,它明显对称。
现在我们讨论一个非常重要的反射器。
假设给我们一个
向量
我们想将其转换为另一个向量
通过使用反射器
,
如
如下:
进一步假设我们想要向量
使除第一个条目外的所有条目都等于零。其他
话,我们要
与第一个向量成比例
标准
基础:
我们可以通过使用
向量至
构造反射器
.
标量
是向量的第一项
和
是
其模量。
目前,我们假设
不同于零,这个假设我们稍后会放松。
我们将在此处显示
案件
另一种情况(比率前带有减号
)
在本讲座末尾的一个已解决的练习中得到了证明。
注意
那
让我们计算两个量
和
分别。
首先,因为
,
我们
有
第二,因为
,
我们
有
因此,
简化:所以
那是我们的反思
变成
我们已经取得了预期的结果:
与向量成比例
,
系数为
相称性
请注意,复数
可以用指数形式写
如
哪里
是
.
然后,公式中出现的比率
可以等效地写
如
如果
是一个非零的实数,
然后
由于我们假设
,
我们如何定义功能
对于
不相关。
当我们选择使用加号或减号时
在我们
通常选择使
尽可能大。
这样做是为了避免计算时的被零除的问题
反光板
到目前为止,我们假设
.
什么时候
,
我们可以使用
向量
在本讲座结束时进行的一项习题练习表明,这种选择使 预期的结果。
我们已经讨论了如何转型
成正比的向量
(规范基础的第一个向量)。如果我们要转型
进入
(
-th
规范基础的向量),那么我们需要
组
哪里
是个
-th
进入
.
该证明类似于我们已经提供的证明。
上一节中分析的Householder反射器通常用于 将真人在线斗地主分解为a真人在线斗地主与 上三角真人在线斗地主.
我们在下面详细说明的分解算法称为 减少户主。
假设
是一个
真人在线斗地主并将其写为 块
真人在线斗地主
哪里
是个
-th
的列
.
如前所述,我们可以构造一个
反光板
转换的第一列
成正比的向量
:
哪里
是标量,
是一个
零向量
是一个
可能为非零条目的向量,以及
是一个
真人在线斗地主。
我们现在构造一个
反光板
转换的第一列
转换为具有等于
而所有其他条目等于零。
然后,我们可以建立一个
真人在线斗地主
真人在线斗地主
,
作为反射器是一体的。第一栏
有单位规范,它是
正交的 到其他所有
列。从而,
是单一的。
因此,我们
有哪里
是标量,
是一个
真人在线斗地主。
真人在线斗地主
unit是因为because真人在线斗地主的乘积是ary。
我们继续建造更小的反射镜
和unit真人在线斗地主
直到我们
获得
哪里
是上三角真人在线斗地主。
的
真人在线斗地主是
酉。因此,因式分解
成为a和上三角真人在线斗地主的乘积
是
本节中分析的Householder真人在线斗地主通常用于构建 的算法 二维码 分解 在数值上比 Gram-Schmidt算法.
我们将不讨论这些算法,但请注意,在
上面说明的减少住户人数的过程,如果
是真实的 全职, 然后我们
可以随时选择
在
这种情况下的所有对角线入口
严格来说是肯定的
因式分解
必须
是QR分解(因为QR分解是唯一的
将满秩真人在线斗地主分解为a真人在线斗地主和上位真人在线斗地主
带有严格正对角线项的三角真人在线斗地主)。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
找出当
向量是
用于构造Householder真人在线斗地主。
首先,我们
有
第二,我们
有
因此,我们有
简化和
反思
变成
发现什么时候发生
和
向量
是
用于构造Householder真人在线斗地主。
首先,我们
有
第二,我们
有
因此,我们有
简化和
反思
变成
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "户主真人在线斗地主", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Householder-matrix.