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户主真人在线斗地主

通过 博士

Householder真人在线斗地主(或基本反射器)是 ary真人在线斗地主 这通常是 用于将另一个真人在线斗地主转换为更简单的真人在线斗地主。尤其是, 户主真人在线斗地主通常用于消除主条目下的条目 真人在线斗地主的对角线。

目录

定义

让我们从定义开始。

定义$ v $ 成为 Kx1 向量。与之相关的Householder真人在线斗地主 $ v $ 是个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ R $ 定义为 如下:[eq1]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位真人在线斗地主, [eq2] 是个 规范$ v $, 和 $ v ^ {st} $ 表示其 共轭 转置.

让我们立即举一个例子,这也将有助于修订规范和 共轭转置。

定义 $ 2imes 1 $ 向量[eq3]然后, 其共轭转置 是[eq4]和 它的规范 是[eq5]的 与之相关的基本反射器 $ v $[eq6]

埃尔米提安

如果真人在线斗地主等于其共轭转置真人在线斗地主,则称其为Hermitian。

主张 户主真人在线斗地主 $ R $ 是埃尔米特人 是的[eq7]

证明

单位真人在线斗地主等于其 共轭转置和 [eq8]因此, 我们有 [eq9]

家用反射器是一体的。

主张 户主真人在线斗地主 $ R $ 是单一的 是的[eq10]

证明

我们 有[eq11]哪一个 证明 $ R ^ {st} $ 是个 $ R $.

不服从

如果真人在线斗地主等于逆真人在线斗地主,则称其为不合逻辑的。

主张 户主真人在线斗地主 $ R $ 出于自愿, 是的[eq12]

证明

我们 有[eq13]因为 $ R $ 是Hermitian,并且 [eq14]因为 $ R $ 是单一的。 因此,[eq15]

一个奇怪的财产

$ R $ 成为 $ Kimes K $ 户主真人在线斗地主和 x a Kx1 列向量。假设 那[eq16]

如果我们将等式的两边都乘以 $ R $, 我们 获得[eq17]

因此,我们 获得[eq18]哪一个 相对于起始方程式,它明显对称。

一个非常有用的反射器

现在我们讨论一个非常重要的反射器。

目标

假设给我们一个 Kx1 向量 x 我们想将其转换为另一个向量 $ y $ 通过使用反射器 $ R $, 如 如下:[eq19]

进一步假设我们想要向量 $ y $ 使除第一个条目外的所有条目都等于零。其他 话,我们要 $ y $ 与第一个向量成比例 标准 基础:[eq20]

如何实现目标

我们可以通过使用 向量[eq21]至 构造反射器 $ R $.

标量 $ x_ {1} $ 是向量的第一项 x[eq22]是 其模量。

目前,我们假设 $ x_ {1} $ 不同于零,这个假设我们稍后会放松。

证明

我们将在此处显示 案件[eq23]

另一种情况(比率前带有减号 [eq24]) 在本讲座末尾的一个已解决的练习中得到了证明。

注意 那[eq25]

让我们计算两个量 $ 2v ^ {st} x $$ v ^ {st} v $ 分别。

首先,因为 [eq26], 我们 有[eq27]

第二,因为 [eq28], 我们 有[eq29]

因此, 简化:[eq30]所以 那是我们的反思 变成[eq31]

我们已经取得了预期的结果: $ y = Rx $ 与向量成比例 $ e_ {1} $, 系数为 相称性[eq32]

评论复数

请注意,复数 $ x_ {1} $ 可以用指数形式写 如 [eq33]哪里 [eq34]$ x_ {1} $.

然后,公式中出现的比率 $ v $ 可以等效地写 如 [eq35]

真实情况

如果 $ x_ {1} $ 是一个非零的实数, 然后[eq36]

由于我们假设 $x_{1}
eq 0$, 我们如何定义功能 [eq37] 对于 $ x_ {1} = 0 $ 不相关。

评论标志的选择

当我们选择使用加号或减号时 在[eq21]我们 通常选择使 [eq39] 尽可能大。

这样做是为了避免计算时的被零除的问题 反光板[eq40]

零例

到目前为止,我们假设 $x_{1}
eq 0$.

什么时候 $ x_ {1} = 0 $, 我们可以使用 向量[eq41]

在本讲座结束时进行的一项习题练习表明,这种选择使 预期的结果。

规范基础的其他向量

我们已经讨论了如何转型 x 成正比的向量 $ e_ {1} $ (规范基础的第一个向量)。如果我们要转型 x 进入 $ e_ {k} $k-th 规范基础的向量),那么我们需要 组[eq42]哪里 $ x_ {k} $ 是个 k-th 进入 x. 该证明类似于我们已经提供的证明。

减少户主

上一节中分析的Householder反射器通常用于 将真人在线斗地主分解为a真人在线斗地主与 上三角真人在线斗地主.

我们在下面详细说明的分解算法称为 减少户主。

假设 A 是一个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主并将其写为 块 真人在线斗地主[eq43]哪里 $ A_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 A.

第一步

如前所述,我们可以构造一个 $ Kimes K $ 反光板 $ R_ {1} $ 转换的第一列 A 成正比的向量 $ e_ {1} $:[eq44]哪里 $ lpha _ {1} $ 是标量, 0 是一个 [eq45] 零向量 $ st $ 是一个 [eq46] 可能为非零条目的向量,以及 $ B $ 是一个 [eq47] 真人在线斗地主。

第二步

我们现在构造一个 [eq48] 反光板 $ R_ {2} $ 转换的第一列 $ B $ 转换为具有等于 1 而所有其他条目等于零。

然后,我们可以建立一个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主[eq49]

真人在线斗地主 $ R_ {2} $, 作为反射器是一体的。第一栏 $ S_ {2} $ 有单位规范,它是 正交的 到其他所有 列。从而, $ S_ {2} $ 是单一的。

因此,我们 有[eq50]哪里 $ lpha _ {2} $ 是标量, $ C $ 是一个 [eq51] 真人在线斗地主。

真人在线斗地主 $ S_ {2} R_ {1} $ unit是因为because真人在线斗地主的乘积是ary。

连续步骤

我们继续建造更小的反射镜 $ R_ {k} $ 和unit真人在线斗地主 $ S_ {k} $ 直到我们 获得[eq52]哪里 $ T $ 是上三角真人在线斗地主。

的 真人在线斗地主[eq53]是 酉。因此,因式分解 A 成为a和上三角真人在线斗地主的乘积 是[eq54]

户主减少和QR分解

本节中分析的Householder真人在线斗地主通常用于构建 的算法 二维码 分解 在数值上比 Gram-Schmidt算法.

我们将不讨论这些算法,但请注意,在 上面说明的减少住户人数的过程,如果 A 是真实的 全职, 然后我们 可以随时选择 [eq55]在 这种情况下的所有对角线入口 $ T $ 严格来说是肯定的 因式分解[eq56]必须 是QR分解(因为QR分解是唯一的 将满秩真人在线斗地主分解为a真人在线斗地主和上位真人在线斗地主 带有严格正对角线项的三角真人在线斗地主)。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

找出当 向量[eq57]是 用于构造Householder真人在线斗地主。

首先,我们 有[eq58]

第二,我们 有[eq59]

因此,我们有 简化[eq30]和 反思 变成[eq61]

练习2

发现什么时候发生 $ x_ {1} = 0 $ 和 向量[eq62]是 用于构造Householder真人在线斗地主。

首先,我们 有[eq63]

第二,我们 有[eq64]

因此,我们有 简化[eq30]和 反思 变成[eq66]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "户主真人在线斗地主", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Householder-matrix.

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