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户主真人在线斗地主

通过 博士

Householder真人在线斗地主（或基本反射器）是 ary真人在线斗地主 这通常是 用于将另一个真人在线斗地主转换为更简单的真人在线斗地主。尤其是， 户主真人在线斗地主通常用于消除主条目下的条目 真人在线斗地主的对角线。

目录

目录

  1. 定义

  2. 埃尔米提安

  3. 酉

  4. 不服从

  5. 一个奇怪的财产

  6. 一个非常有用的反射器

    1. 目标

    2. 如何实现目标

    3. 证明

    4. 评论复数

    5. 真实情况

    6. 评论标志的选择

    7. 零例

    8. 规范基础的其他向量

  7. 减少户主

    1. 第一步

    2. 第二步

    3. 连续步骤

    4. 户主减少和QR分解

  8. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

定义

让我们从定义开始。

定义 让 $ v $ 成为 Kx1 向量。与之相关的Householder真人在线斗地主 $ v $ 是个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ R $ 定义为 如下：[eq1]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位真人在线斗地主, [eq2] 是个 规范 的 $ v $, 和 $ v ^ {st} $ 表示其 共轭 转置.

让我们立即举一个例子，这也将有助于修订规范和 共轭转置。

例 定义 $ 2imes 1 $ 向量[eq3]然后， 其共轭转置 是[eq4]和 它的规范 是[eq5]的 与之相关的基本反射器 $ v $ 是[eq6]

埃尔米提安

如果真人在线斗地主等于其共轭转置真人在线斗地主，则称其为Hermitian。

主张 户主真人在线斗地主 $ R $ 是埃尔米特人 是的[eq7]

证明

单位真人在线斗地主等于其 共轭转置和 [eq8]因此， 我们有 [eq9]

酉

家用反射器是一体的。

主张 户主真人在线斗地主 $ R $ 是单一的 是的[eq10]

证明

我们 有[eq11]哪一个 证明 $ R ^ {st} $ 是个 逆 的 $ R $.

不服从

如果真人在线斗地主等于逆真人在线斗地主，则称其为不合逻辑的。

主张 户主真人在线斗地主 $ R $ 出于自愿， 是的[eq12]

证明

我们 有[eq13]因为 $ R $ 是Hermitian，并且 [eq14]因为 $ R $ 是单一的。 因此，[eq15]

一个奇怪的财产

让 $ R $ 成为 $ Kimes K $ 户主真人在线斗地主和 x a Kx1 列向量。假设 那[eq16]

如果我们将等式的两边都乘以 $ R $, 我们 获得[eq17]

因此，我们 获得[eq18]哪一个 相对于起始方程式，它明显对称。

一个非常有用的反射器

现在我们讨论一个非常重要的反射器。

目标

假设给我们一个 Kx1 向量 x 我们想将其转换为另一个向量 $ y $ 通过使用反射器 $ R $, 如 如下：[eq19]

进一步假设我们想要向量 $ y $ 使除第一个条目外的所有条目都等于零。其他 话，我们要 $ y $ 与第一个向量成比例 标准 基础:[eq20]

如何实现目标

我们可以通过使用 向量[eq21]至 构造反射器 $ R $.

标量 $ x_ {1} $ 是向量的第一项 x 和 [eq22]是 其模量。

目前，我们假设 $ x_ {1} $ 不同于零，这个假设我们稍后会放松。

证明

我们将在此处显示 案件[eq23]

另一种情况（比率前带有减号 [eq24]) 在本讲座末尾的一个已解决的练习中得到了证明。

注意 那[eq25]

让我们计算两个量 $ 2v ^ {st} x $ 和 $ v ^ {st} v $ 分别。

首先，因为 [eq26], 我们 有[eq27]

第二，因为 [eq28], 我们 有[eq29]

因此， 简化：[eq30]所以 那是我们的反思 变成[eq31]

我们已经取得了预期的结果： $ y = Rx $ 与向量成比例 $ e_ {1} $, 系数为 相称性[eq32]

评论复数

请注意，复数 $ x_ {1} $ 可以用指数形式写 如 [eq33]哪里 [eq34] 是 $ x_ {1} $.

然后，公式中出现的比率 $ v $ 可以等效地写 如 [eq35]

真实情况

如果 $ x_ {1} $ 是一个非零的实数， 然后[eq36]

由于我们假设 $x_{1} eq 0$, 我们如何定义功能 [eq37] 对于 $ x_ {1} = 0 $ 不相关。

评论标志的选择

当我们选择使用加号或减号时 在[eq21]我们 通常选择使 [eq39] 尽可能大。

这样做是为了避免计算时的被零除的问题 反光板[eq40]

零例

到目前为止，我们假设 $x_{1} eq 0$.

什么时候 $ x_ {1} = 0 $, 我们可以使用 向量[eq41]

在本讲座结束时进行的一项习题练习表明，这种选择使 预期的结果。

规范基础的其他向量

我们已经讨论了如何转型 x 成正比的向量 $ e_ {1} $ （规范基础的第一个向量）。如果我们要转型 x 进入 $ e_ {k} $ （ k-th 规范基础的向量），那么我们需要 组[eq42]哪里 $ x_ {k} $ 是个 k-th 进入 x. 该证明类似于我们已经提供的证明。

减少户主

上一节中分析的Householder反射器通常用于 将真人在线斗地主分解为a真人在线斗地主与 上三角真人在线斗地主.

我们在下面详细说明的分解算法称为 减少户主。

假设 A 是一个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主并将其写为 块 真人在线斗地主[eq43]哪里 $ A_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 A.

第一步

如前所述，我们可以构造一个 $ Kimes K $ 反光板 $ R_ {1} $ 转换的第一列 A 成正比的向量 $ e_ {1} $:[eq44]哪里 $ lpha _ {1} $ 是标量， 0 是一个 [eq45] 零向量 $ st $ 是一个 [eq46] 可能为非零条目的向量，以及 $ B $ 是一个 [eq47] 真人在线斗地主。

第二步

我们现在构造一个 [eq48] 反光板 $ R_ {2} $ 转换的第一列 $ B $ 转换为具有等于 1 而所有其他条目等于零。

然后，我们可以建立一个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主[eq49]

真人在线斗地主 $ R_ {2} $, 作为反射器是一体的。第一栏 $ S_ {2} $ 有单位规范，它是 正交的 到其他所有 列。从而， $ S_ {2} $ 是单一的。

因此，我们 有[eq50]哪里 $ lpha _ {2} $ 是标量， $ C $ 是一个 [eq51] 真人在线斗地主。

真人在线斗地主 $ S_ {2} R_ {1} $ unit是因为because真人在线斗地主的乘积是ary。

连续步骤

我们继续建造更小的反射镜 $ R_ {k} $ 和unit真人在线斗地主 $ S_ {k} $ 直到我们 获得[eq52]哪里 $ T $ 是上三角真人在线斗地主。

的 真人在线斗地主[eq53]是 酉。因此，因式分解 A 成为a和上三角真人在线斗地主的乘积 是[eq54]

户主减少和QR分解

本节中分析的Householder真人在线斗地主通常用于构建 的算法 二维码 分解 在数值上比 Gram-Schmidt算法.

我们将不讨论这些算法，但请注意，在 上面说明的减少住户人数的过程，如果 A 是真实的 全职， 然后我们 可以随时选择 [eq55]在 这种情况下的所有对角线入口 $ T $ 严格来说是肯定的 因式分解[eq56]必须 是QR分解（因为QR分解是唯一的 将满秩真人在线斗地主分解为a真人在线斗地主和上位真人在线斗地主 带有严格正对角线项的三角真人在线斗地主）。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

找出当 向量[eq57]是 用于构造Householder真人在线斗地主。

解

首先，我们 有[eq58]

第二，我们 有[eq59]

因此，我们有 简化[eq30]和 反思 变成[eq61]

练习2

发现什么时候发生 $ x_ {1} = 0 $ 和 向量[eq62]是 用于构造Householder真人在线斗地主。

解

首先，我们 有[eq63]

第二，我们 有[eq64]

因此，我们有 简化[eq30]和 反思 变成[eq66]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "户主真人在线斗地主", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Householder-matrix.

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