约旦链是通过以下方法获得的一组广义特征向量 对同一个向量重复应用幂等运算符。
为了理解本讲座,我们应该熟悉这些概念 在讲座中介绍 循环子空间 和 广义的 特征向量 .
这是一个正式的定义。
定义
让
成为
矩阵。 让
是...的特征值
.
让
是...的广义特征向量
与特征值相关
.
让
是这样的最小整数
那
然后,
的集合
向量
是
称为乔丹链产生的
.
约旦链条享有许多有用的特性, 命题如下。我们邀请读者尝试并证明这些主张 作为一个 行使 在阅读提供的证明之前。
约旦链是一组广义特征向量。
主张
让
成为
矩阵。 让
是...的广义特征向量
.
然后,约旦链的所有向量由
是的广义特征向量
.
让
是这样的最小整数
那
我们
可以等效地
写
对于
.
此外,
通过
的定义
,
对于
.
因此,向量
,
是约旦链的向量,满足
的广义特征向量
.
约旦链具有另一个基本属性。
主张
让
成为
矩阵。 让
是...的广义特征向量
与特征值相关
.
然后,约旦链的最后一个向量由
(即
)
是...的特征向量
.
让
是这样的最小整数
那
然后,
和
从而,
是...的特征向量
.
根据最后一个命题,我们还可以看到生成了一条约旦链
通过1)从特征向量开始
(在链中占据最右边的位置)和2)迭代
解方程组,以便在链中向左移动。
主张
让
成为
矩阵和
其特征值之一。让
是与
.
让
是最大的整数,这样所有
系统
有
解决方案
.
然后,
是
乔丹链产生的
.
请注意,链上的所有向量都是
非零,因为解决方案
的
不能
当为零时
不为零且起始值为
是非零的特征值。的
-th
链向量
是
我们
有
因为
是...的特征向量
关联到
.
因此,
是的广义特征向量
.
此外,
是这样的最小整数
那
因为
向量
非零。从而,
是由
.
我们称从特征向量开始到 向后 向后生成的约旦链.
显然,向后生成的链是最长的链,以 用于生成它的特征向量。
在下面的内容中,考虑
线性的
算子 定义的
通过
对于
任何
.
请注意,运算符定义明确(尤其是,
可以看作是的共域
)
由于在讲座中讨论的不变性
广义的
特征向量 .
注意
是与关联的广义本征空间
.
重要的,
是一个 幂等算子
因为
对于
任何
,
根据...的定义
.
定义了幂等运算符
,
我们可以看到乔丹
链
如
a
周期
和
我们可以使用之前介绍的
循环理论 推导
乔丹链的其他重要特性。
现在,我们介绍周期理论的第一个直接应用 到乔丹连锁店。
主张 乔丹链是一组 线性独立 向量。
乔丹链是由 将幂等算子的递增幂应用于非零向量,以及 这样的循环是线性独立的。
主张
让
成为
矩阵。 让
是...的特征值
.
让
被关联的广义特征向量
.
让
成为约旦链的最终载体
,
是的普通特征向量
(如上所述)。如果设置
是
线性独立,则也
是
线性独立。
这只是类似的重述 周期命题。
下一个命题表明,约旦链可以用来为 对应于给定特征值的广义特征空间。
主张
让
成为
矩阵。 让
是...的特征值
.
然后,存在广义特征向量
关联到
这样
是
a 基础 为了
广义本征空间
,
哪里
是由
.
让
是上面定义的幂等运算符。根据周期理论,我们知道
有一个不重叠的循环联合,构成了
的域
.
但是领域
是广义本征空间,
-周期
是乔丹的锁链。因此,陈述的结果。
从 以前的讲座,
我们知道
那 哪里
和
是对应于特征值的指数
在里面 最小多项式 的
.
我们还知道与关联的最高排名的广义特征向量
有等级
.
换句话说,没有向量
满意的
对于
,
但是至少有一个向量
满足以上两个条件
,
产生约旦
链
因此,
是由广义形成的最长约旦链的长度
与相关的特征向量
(除了是
和矩阵的索引
)。
如先前的讲座所证明的,
尺寸 的
广义的
本征空间 是
等于
代数的
多重性 的
,
表示为
在下面。
整数
是对应于的指数
在里面 特性
多项式 。我们知道
可以小于
.
因此,一条乔丹链(其最大长度为
)
可能不足以涵盖整个广义本征空间。这就是原因
为什么先前的命题保证了广义的基础
本征空间可以通过合并多个约旦链来形成。
我们敦促读者仔细考虑广告的所有“特征” 广义本征空间:
它的尺寸
,
等于特征值的代数多重性;
线性独立的“普通”特征向量的最大数量,即 称为特征值的几何多重性;
约旦链的最大长度,它等于指数
在最小多项式中。
当我们知道其中一些特征时,我们通常可以推断出其他特征 关于广义本征空间的有趣事实。
例
让
成为
具有特征的矩阵
多项式
和
最小的
多项式
从而,
具有特征值
具有代数多重性
.
我们知道几何的多重性
必须小于
因为否则在最小多项式中
线性因子
将会
(如关于
一次分解
定理 )。换一种说法,
有缺陷。它的几何多样性可以是
?
如果是这样,则任何两个特征向量都将线性相关。因此,
任何依据
将仅包含一个特征向量。结果,它将由一个
单个约旦链(因为两个或多个独立链终止于
线性独立的特征向量)。但是任何依据
由...组成
线性独立的广义特征向量。因此,长度
链需要等于
.
这是不可能的,因为链的最大长度是
.
结果,几何的多重性
必须等于
.
现在是时候再次访问 一次分解 定理 .
让
成为所有人的空间
向量和
a
矩阵。
根据一次分解定理,向量空间
可以写成 直接和 的
广义的
本征空间:
哪里
是...的独特特征值
和
是出现在最小多项式中的严格正整数。
因此,
可以形成广义本征空间的底联合。反过来,
每个广义特征空间都有一个由约旦联合组成的基础
链(如上所述)。通过将这两个事实放在一起,我们得到
以下命题。
主张
让
成为所有人的空间
向量。让
是一个矩阵。然后,存在一个基础
由约旦的广义特征向量生成的约旦链形成
.
重要的是要注意,该命题的基础至少包括 每个特征值一个约旦链,但可能需要一个以上的链 如前所述,跨越一些广义本征空间。所以总 基础中链的数量可能超过特征值的数量。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "乔丹链", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Jordan-chain.