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乔丹链

通过 博士

约旦链是通过以下方法获得的一组广义特征向量 对同一个向量重复应用幂等运算符。

为了理解本讲座，我们应该熟悉这些概念 在讲座中介绍 循环子空间 和 广义的 特征向量 .

目录

目录

  1. 定义

  2. 链上的所有向量都是广义特征向量

  3. 链的最后一个向量是特征向量

  4. 使用特征向量形成乔丹链

  5. 幂等算子

  6. 乔丹链作为周期

  7. 线性独立

  8. 广义特征空间的基础

  9. 链条长度

  10. 多链

  11. 一次分解和约旦链

定义

这是一个正式的定义。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 让 $ lambda $ 是...的特征值 A. 让 x 是...的广义特征向量 A 与特征值相关 $ lambda $ . 让 k 是这样的最小整数 那 [eq1] 然后， 的集合 向量 [eq2] 是 称为乔丹链产生的 x.

约旦链条享有许多有用的特性， 命题如下。我们邀请读者尝试并证明这些主张 作为一个 行使 在阅读提供的证明之前。

链上的所有向量都是广义特征向量

约旦链是一组广义特征向量。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 让 x 是...的广义特征向量 A. 然后，约旦链的所有向量由 x 是的广义特征向量 A.

证明

让 k 是这样的最小整数 那 [eq3] 我们 可以等效地 写 [eq4] 对于 $ j = 1，ldots，k-1 $. 此外， [eq5] 通过 的定义 k, 对于 $ j = 1，ldots，k-1 $. 因此，向量 [eq6], 是约旦链的向量，满足 的广义特征向量 A.

链的最后一个向量是特征向量

约旦链具有另一个基本属性。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 让 x 是...的广义特征向量 A 与特征值相关 $ lambda $ . 然后，约旦链的最后一个向量由 x （即 [eq7]) 是...的特征向量 A.

证明

让 k 是这样的最小整数 那 [eq8] 然后， [eq9] 和 [eq10] 从而， [eq11] 是...的特征向量 A.

使用特征向量形成乔丹链

根据最后一个命题，我们还可以看到生成了一条约旦链 通过1）从特征向量开始 A （在链中占据最右边的位置）和2）迭代 解方程组，以便在链中向左移动。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $ lambda $ 其特征值之一。让 $ y_ {0} $ 是与 $ lambda $ . 让 k 是最大的整数，这样所有 系统 [eq12] 有 解决方案 $ j = 1，ldots，k-1 $. 然后， [eq13] 是 乔丹链产生的 $ y_ {k-1} $ .

证明

请注意，链上的所有向量都是 非零，因为解决方案 $ y_ {j} $ 的 [eq14] 不能 当为零时 $ y_ {j-1} $ 不为零且起始值为 $ y_ {0} $ 是非零的特征值。的 $ j $ -th 链向量 是 [eq15] 我们 有 [eq16] 因为 $ y_ {0} $ 是...的特征向量 A 关联到 $ lambda $ . 因此， $ y_ {k-1} $ 是的广义特征向量 A. 此外， k 是这样的最小整数 那 [eq17] 因为 向量 [eq18] 非零。从而， [eq19] 是由 $ y_ {k-1} $ .

我们称从特征向量开始到 向后 向后生成的约旦链.

显然，向后生成的链是最长的链，以 用于生成它的特征向量。

幂等算子

在下面的内容中，考虑 线性的 算子 [eq20] 定义的 通过 [eq21] 对于 任何 [eq22].

请注意，运算符定义明确（尤其是， [eq23] 可以看作是的共域 $ f $ ) 由于在讲座中讨论的不变性 广义的 特征向量 .

注意 [eq24] 是与关联的广义本征空间 $ lambda $ .

重要的， $ f $ 是一个 幂等算子 因为 [eq25] 对于 任何 [eq22], 根据...的定义 [eq27].

乔丹链作为周期

定义了幂等运算符 $ f $ , 我们可以看到乔丹 链 [eq2] 如 a 周期 [eq29] 和 我们可以使用之前介绍的 循环理论 推导 乔丹链的其他重要特性。

线性独立

现在，我们介​​绍周期理论的第一个直接应用 到乔丹连锁店。

主张 乔丹链是一组 线性独立 向量。

证明

乔丹链是由 将幂等算子的递增幂应用于非零向量，以及 这样的循环是线性独立的。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 让 $ lambda $ 是...的特征值 A. 让 [eq30] 被关联的广义特征向量 $ lambda $ . 让 [eq31] 成为约旦链的最终载体 [eq32], 是的普通特征向量 A （如上所述）。如果设置 [eq33] 是 线性独立，则也 [eq34] 是 线性独立。

证明

这只是类似的重述 周期命题。

广义特征空间的基础

下一个命题表明，约旦链可以用来为 对应于给定特征值的广义特征空间。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 让 $ lambda $ 是...的特征值 A. 然后，存在广义特征向量 [eq35] 关联到 $ lambda $ 这样 [eq34] 是 a 基础 为了 广义本征空间 [eq27], 哪里 [eq38] 是由 $ x_ {j} $ .

证明

让 $ f $ 是上面定义的幂等运算符。根据周期理论，我们知道 有一个不重叠的循环联合，构成了 的域 $ f $ . 但是领域 $ f $ 是广义本征空间， $ f $ -周期 是乔丹的锁链。因此，陈述的结果。

链条长度

从 以前的讲座, 我们知道 那 [eq39] 哪里 $ u leq K$ 和 $ u $ 是对应于特征值的指数 $ lambda $ 在里面 最小多项式 的 A.

我们还知道与关联的最高排名的广义特征向量 $ lambda $ 有等级 $ u $. 换句话说，没有向量 x 满意的 [eq40] 对于 $k> u $, 但是至少有一个向量 x 满足以上两个条件 $k= u $, 产生约旦 链 [eq41]

因此， $ u $ 是由广义形成的最长约旦链的长度 与相关的特征向量 $ lambda $ （除了是 $ f $ 和矩阵的索引 $ Alambda I $ ）。

多链

如先前的讲座所证明的， 尺寸 的 广义的 本征空间 [eq42] 是 等于 代数的 多重性 的 $ lambda $ , 表示为 亩 在下面。

整数 亩 是对应于的指数 $ lambda $ 在里面 特性 多项式 。我们知道 $ u $ 可以小于 亩 . 因此，一条乔丹链（其最大长度为 $ u $) 可能不足以涵盖整个广义本征空间。这就是原因 为什么先前的命题保证了广义的基础 本征空间可以通过合并多个约旦链来形成。

我们敦促读者仔细考虑广告的所有“特征” 广义本征空间：

当我们知道其中一些特征时，我们通常可以推断出其他特征 关于广义本征空间的有趣事实。

例 让 A 成为 4美金4美金 具有特征的矩阵 多项式 [eq43] 和 最小的 多项式 [eq44] 从而， A 具有特征值 $ lambda = 3 $ 具有代数多重性 $亩= 3 $ . 我们知道几何的多重性 $ lambda $ 必须小于 $3$ 因为否则在最小多项式中 $ u =2$ 线性因子 $ left（z-3 权）$ 将会 1 （如关于 一次分解 定理 ）。换一种说法， $ lambda $ 有缺陷。它的几何多样性可以是 1? 如果是这样，则任何两个特征向量都将线性相关。因此， 任何依据 [eq45] 将仅包含一个特征向量。结果，它将由一个 单个约旦链（因为两个或多个独立链终止于 线性独立的特征向量）。但是任何依据 [eq46] 由...组成 $亩= 3 $ 线性独立的广义特征向量。因此，长度 链需要等于 $3$. 这是不可能的，因为链的最大长度是 $ u =2$. 结果，几何的多重性 $ lambda $ 必须等于 $2$.

一次分解和约旦链

现在是时候再次访问 一次分解 定理 .

让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量和 A a $ Kimes K $ 矩阵。

根据一次分解定理，向量空间 $ S $ 可以写成 直接和 的 广义的 本征空间： [eq47] 哪里 [eq48] 是...的独特特征值 A 和 [eq49] 是出现在最小多项式中的严格正整数。

因此， $ S $ 可以形成广义本征空间的底联合。反过来， 每个广义特征空间都有一个由约旦联合组成的基础 链（如上所述）。通过将这两个事实放在一起，我们得到 以下命题。

主张 让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量。让 A 是一个矩阵。然后，存在一个基础 $ S $ 由约旦的广义特征向量生成的约旦链形成 A.

重要的是要注意，该命题的基础至少包括 每个特征值一个约旦链，但可能需要一个以上的链 如前所述，跨越一些广义本征空间。所以总 基础中链的数量可能超过特征值的数量。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "乔丹链", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Jordan-chain.

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