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乔丹链

通过 博士

约旦链是通过以下方法获得的一组广义特征向量 对同一个向量重复应用幂等运算符。

为了理解本讲座,我们应该熟悉这些概念 在讲座中介绍 循环子空间 广义的 特征向量 .

目录

定义

这是一个正式的定义。

定义 A 成为  $ Kimes K $ 矩阵。 让  $ lambda $ 是...的特征值 A. 让 x 是...的广义特征向量 A 与特征值相关  $ lambda $ . 让 k 是这样的最小整数 那 [eq1] 然后, 的集合 向量 [eq2] 是 称为乔丹链产生的 x.

约旦链条享有许多有用的特性, 命题如下。我们邀请读者尝试并证明这些主张 作为一个 行使 在阅读提供的证明之前。

链上的所有向量都是广义特征向量

约旦链是一组广义特征向量。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 矩阵。 让 x 是...的广义特征向量 A. 然后,约旦链的所有向量由 x 是的广义特征向量 A.

证明

k 是这样的最小整数 那 [eq3] 我们 可以等效地 写 [eq4] 对于 $ j = 1,ldots,k-1 $. 此外, [eq5] 通过 的定义 k, 对于 $ j = 1,ldots,k-1 $. 因此,向量 [eq6], 是约旦链的向量,满足 的广义特征向量 A.

链的最后一个向量是特征向量

约旦链具有另一个基本属性。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 矩阵。 让 x 是...的广义特征向量 A 与特征值相关  $ lambda $ . 然后,约旦链的最后一个向量由 x (即 [eq7]) 是...的特征向量 A.

证明

k 是这样的最小整数 那 [eq8] 然后, [eq9][eq10] 从而, [eq11] 是...的特征向量 A.

使用特征向量形成乔丹链

根据最后一个命题,我们还可以看到生成了一条约旦链 通过1)从特征向量开始 A (在链中占据最右边的位置)和2)迭代 解方程组,以便在链中向左移动。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 矩阵和  $ lambda $ 其特征值之一。让  $ y_ {0} $ 是与  $ lambda $ . 让 k 是最大的整数,这样所有 系统 [eq12] 有 解决方案 $ j = 1,ldots,k-1 $. 然后, [eq13] 是 乔丹链产生的  $ y_ {k-1} $ .

证明

请注意,链上的所有向量都是 非零,因为解决方案  $ y_ {j} $ [eq14] 不能 当为零时  $ y_ {j-1} $ 不为零且起始值为  $ y_ {0} $ 是非零的特征值。的  $ j $ -th 链向量 是 [eq15] 我们 有 [eq16] 因为  $ y_ {0} $ 是...的特征向量 A 关联到  $ lambda $ . 因此,  $ y_ {k-1} $ 是的广义特征向量 A. 此外, k 是这样的最小整数 那 [eq17] 因为 向量 [eq18] 非零。从而, [eq19] 是由  $ y_ {k-1} $ .

我们称从特征向量开始到 向后 向后生成的约旦链.

显然,向后生成的链是最长的链,以 用于生成它的特征向量。

幂等算子

在下面的内容中,考虑 线性的 算子 [eq20] 定义的 通过 [eq21] 对于 任何 [eq22].

请注意,运算符定义明确(尤其是, [eq23] 可以看作是的共域  $ f $ ) 由于在讲座中讨论的不变性 广义的 特征向量 .

注意 [eq24] 是与关联的广义本征空间  $ lambda $ .

重要的,  $ f $ 是一个 幂等算子 因为 [eq25] 对于 任何 [eq22], 根据...的定义 [eq27].

乔丹链作为周期

定义了幂等运算符  $ f $ , 我们可以看到乔丹 链 [eq2] 如 a 周期 [eq29] 和 我们可以使用之前介绍的 循环理论 推导 乔丹链的其他重要特性。

线性独立

现在,我们介​​绍周期理论的第一个直接应用 到乔丹连锁店。

主张 乔丹链是一组 线性独立 向量。

证明

乔丹链是由 将幂等算子的递增幂应用于非零向量,以及 这样的循环是线性独立的。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 矩阵。 让  $ lambda $ 是...的特征值 A. 让 [eq30] 被关联的广义特征向量  $ lambda $ . 让 [eq31] 成为约旦链的最终载体 [eq32], 是的普通特征向量 A (如上所述)。如果设置 [eq33] 是 线性独立,则也 [eq34] 是 线性独立。

证明

这只是类似的重述 周期命题。

广义特征空间的基础

下一个命题表明,约旦链可以用来为 对应于给定特征值的广义特征空间。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 矩阵。 让  $ lambda $ 是...的特征值 A. 然后,存在广义特征向量 [eq35] 关联到  $ lambda $ 这样 [eq34] 是 a 基础 为了 广义本征空间 [eq27], 哪里 [eq38] 是由  $ x_ {j} $ .

证明

 $ f $ 是上面定义的幂等运算符。根据周期理论,我们知道 有一个不重叠的循环联合,构成了 的域  $ f $ . 但是领域  $ f $ 是广义本征空间,  $ f $ -周期 是乔丹的锁链。因此,陈述的结果。

链条长度

以前的讲座, 我们知道 那 [eq39] 哪里 $
u leq K$$
u $ 是对应于特征值的指数  $ lambda $ 在里面 最小多项式A.

我们还知道与关联的最高排名的广义特征向量  $ lambda $ 有等级 $
u $. 换句话说,没有向量 x 满意的 [eq40] 对于 $k>
u $, 但是至少有一个向量 x 满足以上两个条件 $k=
u $, 产生约旦 链 [eq41]

因此, $
u $ 是由广义形成的最长约旦链的长度 与相关的特征向量  $ lambda $ (除了是  $ f $ 和矩阵的索引 $ Alambda I $ )。

多链

如先前的讲座所证明的, 尺寸 的 广义的 本征空间 [eq42] 是 等于 代数的 多重性 $ lambda $ , 表示为  亩 在下面。

整数  亩 是对应于的指数  $ lambda $ 在里面 特性 多项式 。我们知道 $
u $ 可以小于  亩 . 因此,一条乔丹链(其最大长度为 $
u $) 可能不足以涵盖整个广义本征空间。这就是原因 为什么先前的命题保证了广义的基础 本征空间可以通过合并多个约旦链来形成。

我们敦促读者仔细考虑广告的所有“特征” 广义本征空间:

当我们知道其中一些特征时,我们通常可以推断出其他特征 关于广义本征空间的有趣事实。

A 成为  4美金4美金 具有特征的矩阵 多项式 [eq43] 和 最小的 多项式 [eq44] 从而, A 具有特征值  $ lambda = 3 $ 具有代数多重性  $亩= 3 $ . 我们知道几何的多重性  $ lambda $ 必须小于 $3$ 因为否则在最小多项式中 $
u =2$ 线性因子 $ left(z-3
权)$ 将会 1 (如关于 一次分解 定理 )。换一种说法,  $ lambda $ 有缺陷。它的几何多样性可以是 1? 如果是这样,则任何两个特征向量都将线性相关。因此, 任何依据 [eq45] 将仅包含一个特征向量。结果,它将由一个 单个约旦链(因为两个或多个独立链终止于 线性独立的特征向量)。但是任何依据 [eq46] 由...组成  $亩= 3 $ 线性独立的广义特征向量。因此,长度 链需要等于 $3$. 这是不可能的,因为链的最大长度是 $
u =2$. 结果,几何的多重性  $ lambda $ 必须等于 $2$.

一次分解和约旦链

现在是时候再次访问 一次分解 定理 .

 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量和 A a  $ Kimes K $ 矩阵。

根据一次分解定理,向量空间  $ S $ 可以写成 直接和 的 广义的 本征空间: [eq47] 哪里 [eq48] 是...的独特特征值 A[eq49] 是出现在最小多项式中的严格正整数。

因此,  $ S $ 可以形成广义本征空间的底联合。反过来, 每个广义特征空间都有一个由约旦联合组成的基础 链(如上所述)。通过将这两个事实放在一起,我们得到 以下命题。

主张  $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量。让 A 是一个矩阵。然后,存在一个基础  $ S $ 由约旦的广义特征向量生成的约旦链形成 A.

重要的是要注意,该命题的基础至少包括 每个特征值一个约旦链,但可能需要一个以上的链 如前所述,跨越一些广义本征空间。所以总 基础中链的数量可能超过特征值的数量。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "乔丹链", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Jordan-chain.

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