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约旦形式

通过 博士

如果1)它的对角线项等于 其特征值; 2)它的超角项是零或一; 3)全部 其其他条目为零。

我们将证明任何矩阵都等于Jordan中的矩阵 形成。

为了理解本讲座,我们应该熟悉这些概念 在讲座中介绍 广义的 特征向量 约旦 链条.

目录

超角项

正如我们已经说过的,约旦形式的矩阵的唯一非零条目 位于其对角线和对角线上。后者是 位于主对角线正上方的一组条目。

定义[eq1]所有 的条目 $ J $ 为零,除了在对角线上的那些等于 1.

佐敦街区

我们首先以约旦形式定义矩阵的基本构建块, 叫做乔丹街区。

定义 A $ dimes d $ 矩阵 $ J_ {d,lambda} $ 据说是乔丹的尺寸 $ d $ 和特征值 $ lambda $ 如果它的对角线项都等于 $ lambda $ 它的超斜角项都等于 1.

因此,乔丹块完全由其尺寸和 特征值。

如果尺寸是 $d=3$ 而特征值是 $ lambda = 2 $, 然后[eq2]

乔丹尺寸图 $d=1$ 是一个标量,也就是说, [eq3].

请注意,乔丹街区是 上 三角形的 的 上三角矩阵的对角线项等于 特征值。这就是为什么 $ lambda $ 被称为 特征值 的 佐敦街区 $ J_ {d,lambda} $.

乔丹街区和乔丹链

现在,我们提出有关约旦街区的第一个有用事实。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ lambda $ 是...的特征值 A. 让 x 是...的广义特征向量 A 与特征值相关 $ lambda $. 让 $ d $ 是这样的最小整数 那[eq4][eq5]是 的 $ Kimes d $ 矩阵,其列是由生成的约旦链的向量 x. 然后,[eq6]哪里 $ J_ {d,lambda} $ 是约旦的尺寸 $ d $ 和特征值 $ lambda $.

证明

我们 有[eq7]哪里 $ e_ {1},ldots e_ {d} $ 是...的向量 标准 基础 的空间 $角钱1 $ 向量,我们已经反复使用 乘法规则 块矩阵. 因此,[eq8]

特征值零的Jordan块的幂

$ J_ {d,0} $ 是零特征值的Jordan块。当我们乘以a $ dimes d $ 矩阵 $ M $ 通过 $ J_ {d,0} $, 我们得到一个矩阵,其:

下一个示例应阐明这种情况的原因。

[eq9][eq10]如 通常我们可以看到 $ MJ_ {3,0} $ 作为列的线性组合 $ M $ 取自 $ J_ {3,0} $. 因此,产品的第一列 $ MJ_ {3,0} $[eq11]的 第二个 是[eq12]和 第三个 是[eq13]如 a 后果,[eq14]

现在写 [eq15]哪里, 和以前一样, [eq16] 是空间的标准基础的向量 $角钱1 $ 向量。

然后,我们可以使用刚刚说明的结果来推导 约旦 块:[eq17]

最后一个方程 ($ J_ {d,0} ^ {d} = 0 $) 将在下面重复使用。

矩阵的直接和

接下来,我们将对矩阵使用直接和符号, 这些讲义中尚未使用过。

如果 A$ B $ 是两个矩阵,那么 $ Aoplus B $ 将表示块对角矩阵 A$ B $ 作为它的对角线 块:[eq18]

请注意,尽管表示法相同,但直接和的概念 矩阵不同于 直接 和 子空间。

考虑约旦街区 $ J_ {2,lambda _ {1}} $$ J_ {2,lambda _ {2}} $. 然后,他们的直接和 是[eq19]

乔丹形式的定义

现在,我们提供约旦形式的简单定义。

定义 矩阵 $ J $ 当且仅当它可以被写为直接和时才被称为约旦形式 约旦 块:[eq20]哪里 [eq21] 是约旦街区 $ j = 1,ldots,m $.

这是一个例子。

[eq22], [eq23], [eq24] 被乔丹块 [eq25]然后,[eq26]是 约旦形式的矩阵。

每个矩阵都类似于约旦形式的矩阵

由于前面几节中介绍的结果,我们可以轻松得出 本次演讲的主要结果。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后,存在一个 $ Kimes K $ 可逆矩阵 $ P $ 这样 那[eq27]哪里 $ J $ 是约旦形式的矩阵。

证明

[eq28] 是...的独特特征值 A. 对于每个特征值 $ lambda _ {j} $, 选择一个 基础 $ B_ {j} $ 通用的约旦链 本征空间[eq29]的 存在基础 $ B_ {j} $ 每个广义本征空间的约旦链 讲座 乔丹链。注意 每个基础可以包含多个链。表示为 $ nleft(j
权)$ 约旦链条的数量 $ B_ {j} $[eq30] 他们的长度。表示为 $ P_ {j,k} $ 矩阵,其列是向量的向量 k-th 乔丹链 $ B_ {j} $. 定义 块 矩阵[eq31]然后,[eq32]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了有关Jordan块和Jordan链的结果 先前。我们现在可以 定义[eq33]我们 有[eq34]哪里[eq35]是 约旦形式的矩阵,是Jordan块的直接和。自从 广义本征空间形成一个直接和,其基数的并集是 线性独立 组。 因此, $ P $ 是线性独立的 $ P $ 可逆的。因此,我们可以 改写 方程[eq36]那 我们刚刚得出 如 [eq37]

请注意, 基础变化矩阵 $ P $ 在证明中建立的是的广义特征向量 A 形成空间的基础 Kx1 向量。

矩阵 $ J $ 以约旦形式,是上三角矩阵的直接和,本身就是一个 上三角矩阵。因此,其对角线元素等于其对角线元素 特征值。反过来,由于 A$ J $ 类似,它们具有相同的 特征值。因此,在执行相似度转换后, 转换 A 成矩阵 $ J $ 以约旦形式,我们可以读取的特征值 A 在...的主对角线上 $ J $.

变更基数矩阵

在前面的命题中,我们表明了一个矩阵 $ P $ 特征向量的向量可以用作基础变化矩阵 转变 A 变成相似的矩阵 $ J $ 约旦形式。

更重要的是:所有可转换的基础改变矩阵 A 成矩阵 $ J $ 约旦形式的矩阵是广义特征向量的矩阵。

主张A$ P $$ Kimes K $ 矩阵。让 $ P $ 是可逆的。让 [eq37]如果 $ J $ 是约旦形式,则 $ P $ 是的广义特征向量 A.

证明

根据定义 $ J $, 我们 有[eq39]$ P_ {ullet j} $ 成为 $ j $-th 的列 $ P $. 然后,[eq40]二 可能的情况:1) [eq41], 哪里 $ lambda $ 是的特征值 $ J $$ e_ {j} $ 是个 $ j $-th 标准基础的向量; 2) [eq42]. 在第一 案件,[eq43]哪一个 暗示 $ P_ {ullet j} $ 是...的特征向量 A. 在第二 案件,[eq44]要么[eq45]如果 $ P_ {ullet j-1} $ 是一个特征向量 然后[eq46]$ P_ {ullet j} $ 是广义特征向量。如果不是,那么我们是第2种情况。通过递归 应用相同的推理,我们得出结论: $ P_ {ullet j} $ 是广义特征向量。

注意, 琐碎地[eq47]

因此, I, 是标准基础的向量,是a的广义特征向量 约旦形式的矩阵。

最小多项式

最小多项式 的 约旦形式的矩阵很容易按以下方式导出。

主张$ J $ 是约旦形式的矩阵,其特征值分别为 [eq48]. 对于每个 $ lambda _ {j} $, 让 $ v_ {j} $ 是约旦最大区块的尺寸 $ J $ 具有特征值 $ lambda _ {j} $. 然后,的最小多项式 $ J $[eq49]

证明

我们首先证明 p 是一个 poly灭多项式 对于 $ J $. 和以前一样 那[eq35]所以 那[eq51]对于 $ l = 1,ldots,m $. 而且,我们 有[eq52][eq53]在 事实上,每个 块[eq54]是 通过先前在Jordan块的幂上得出的结果等于零 特征值为零因此,所有的对角线块 [eq55] 对应于约旦街区 $ J $ 具有特征值 $ lambda _ {l} $ 等于零。结果, 矩阵[eq56]是 对角线块的乘积,其中至少一个为零。因此, [eq57]不 只要 p 消灭了它,但它也一元。假设 p 不是最小多项式。然后,存在一个ni灭多项式 $ q $ 程度低于 p 并划分 p. 假设 那[eq58]哪里 [eq59] 对于 $ j = 1,ldots,m $ 并且有一个索引 $ l $ 这样 [eq60]. 不失一般性,我们可以假设 $ l = m $ (否则,我们可以更改因子的顺序)。因此,有一个对角线 的块 [eq61], 等于 [eq62], 不同于零(因为如上所述,我们需要提高一个 [eq63] 特征值零的Jordan块至少到 $
u _{m}$-th 获得零矩阵的幂)。的所有块 [eq64], ..., [eq65] 对应于所述非零块的对角线上具有非零条目。 因此[eq66]哪一个 与以下假设相矛盾 $ q $ 是一个ni灭的多项式。因此, p 是最小多项式。

由于相似的矩阵具有相同的最小多项式,我们可以得出 矩阵的最小多项式 A 首先找到一个矩阵 $ J $ 约旦形式类似于 A 然后使用上述命题找到最小多项式。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

找到最小多项式 的[eq67]

约旦街区 $ J $[eq68]因此, 的最小多项式 $ J $[eq69]

练习2

找到最小多项式 的[eq70]

约旦街区 $ J $[eq71]因此, 的最小多项式 $ J $[eq72]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "约旦形式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Jordan-form.

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