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克罗内克产品

通过 博士

Kronecker产品是一种将两个矩阵转换为一个矩阵的运算。 较大的矩阵,其中包含 两个矩阵。它具有一些经常用于解决的属性 线性代数及其应用中的难题。

目录

定义

我们从定义开始。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ 一个 $ Mimes N $ 矩阵。然后,Kronecker产品之间 A$ B $ 是个 [eq1] 块 矩阵[eq2]哪里 $ A_ {kl} $ 表示 $ left(k,l
权)$-th 进入 A.

换句话说,Kronecker产品 $澳元B $ 是一个块矩阵,其 $ left(k,l
权)$-th 块等于 $ left(k,l
权)$-th 进入 A 乘以矩阵 $ B $.

注意,不同于普通 两个之间的乘积 矩阵,无论Kronecker产品的尺寸如何 这两个矩阵 A$ B $.

例子

尽管该概念相对简单,但通常有益于了解 Kronecker产品的几个示例。

定义 [eq3][eq4]然后, [eq5]

定义 [eq6][eq7]然后, [eq8]

考虑两个 行 向量[eq9][eq10]其 Kronecker产品是 [eq11]

考虑行向量 [eq12]和 一列 向量[eq13]然后, 我们有 [eq14]

I 成为 2元2元 单位矩阵$ B $ 任何矩阵。那么,他们的Kronecker产品就是块 矩阵[eq15]

a 标量 $ B $ 任何矩阵。然后,计算其Kronecker乘积与乘积相同 $ B $ 由 标量:[eq16]

A 是任何矩阵和 $ b $ 标量。 然后,[eq17]哪里 我们已经使用了 乘法 标量矩阵.

Kronecker产品不是可交换的

Kronecker乘积不是可交换的,即 一般[eq18]

只需提供一个反例即可。

定义矩阵 [eq19][eq20]然后, 我们有 [eq21][eq22]

物产

Kronecker产品的许多特性将在以下讲座中讨论: 的 的属性 克罗内克产品.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

[eq23][eq24]

计算 $澳元B $.

我们 有[eq25]

练习2

[eq26][eq27]

计算 $澳元B $.

我们 有[eq28]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "克罗内克产品", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Kronecker-product.

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