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Kronecker产品的属性

通过 博士

克罗内克产品 具有 应用程序中经常利用的几个属性。

目录

初赛

接下来,让 A,  $ B $ ,  $ C $  $ D $ 表示维度可以是任意的矩阵,除非这些矩阵需要 要相乘或相加,在这种情况下,我们要求 根据需要适合加法或乘法。

请记住,Kronecker产品是 块矩阵: [eq1] 哪里 A 假定是 $ Kimes L $$ A_ {kl} $ 表示 $ left(k,l
权)$ -th 进入 A.

分配财产

分配财产 持有: [eq2]

证明

$ left(k,l
权)$ -th 的块 [eq3][eq4] 以来 $ A_ {kl} C $ 是个 $ left(k,l
权)$ -th 的块 $ Aotimes C $$ B_ {kl} C $ 是个 $ left(k,l
权)$ -th 的块 $ Botimes C $, 以上平等对每个人都适用 k $ l $ , 主张是真实的。

它也适用于第二 因子: [eq5]

证明

$ left(k,l
权)$ -th 的块 [eq6][eq7] 以来 $ A_ {kl} B $ 是个 $ left(k,l
权)$ -th 的块 $澳元B $$ A_ {kl} C $ 是个 $ left(k,l
权)$ -th 的块 $ Aotimes C $, 以上平等对每个人都适用 k $ l $ , 主张是真实的。

标量相乘

$ lpha $ 标量。 然后, [eq8]

证明

我们 可以看到标量 $ lpha $ 作为一个 $ 1imes 1 $ 具有单个条目的矩阵。然后,Kronecker产品 $ lpha otimes B $ 有一个等于 $ lpha B $.

而且,如果  $ eta $ 是标量, 然后 [eq9]

证明

假设 A$ Kimes L $. 通过应用Kronecker产品的定义和 乘法 标量矩阵, 我们获得 [eq10]

关于标量乘法的更一般的规则 $ lpha $ $ eta $ 如下: [eq11]

证明

再次, 通过应用克罗内克积的定义和乘积的定义 标量矩阵,我们得到

[eq12]

零矩阵

显然,任何涉及零矩阵(即矩阵 条目均为零)给出一个零矩阵作为 结果: [eq13]

关联性

关联属性 持有: [eq14]

证明

A$ Kimes L $,  $ B $ $ Mimes N $ $ C $ $ Oimes P $. 让我们先研究一下 [eq15]. 产品 $ A_ {kl} B_ {mn} $ 是个 [eq16] 条目 的 $澳元B $. 结果,该产品 [eq17] 是 的 [eq18] 条目 的 [eq19]. 现在让我们研究 [eq20]. 产品 $ B_ {mn} C_ {op} $ 是个 [eq21] 条目 的 $ Botimes C $. 因此,该产品 [eq22] 是的条目 [eq20] 占据 位置[eq24] 从而, 产品 $ A_ {kl} B_ {mn} C_ {op} $ 在同一位置 [eq25] 和在 [eq20] 每一个 k,  $ l $ ,  $ m $ , n,  $ o $ p. 因此,[eq27]

混合产品

如果 A,  $ B $ ,  $ C $  $ D $ 这样的产品  $ AC $  $ BD $ 定义明确 然后 [eq28]

证明

假设 A$ Kimes L $ $ C $ $酸橙M $. [eq29] 哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们已经利用了 二乘法 可以执行块矩阵,就好像它们的块是标量一样;在步 $ rame {B} $ 我们已经使用了 定义 矩阵乘法 演绎 那 [eq30] 哪里 [eq31] 是个 $ left(k,m
权)$ -th 进入  $ AC $ .

一个常用的技巧是使用 身份矩阵 (和标量 1s)在混合产品中。对于 例, [eq32]

在这种情况下  $ B $ 是列向量,以上相等 变成 [eq33]

换位

换位操作为 如下: [eq34]

证明

A$ Kimes L $. 让我们应用转置块的规则 矩阵: [eq35]

计算Kronecker乘积的逆的规则很漂亮 简单: [eq36]

证明

我们需要对混合产品使用规则 并验证 [eq37] 满足的逆定义 $澳元B $: [eq38] 哪里 I 是身份矩阵。

块矩阵

假设矩阵 A 被划分为块 如下: [eq39] 然后, [eq40] 在 换句话说,矩阵的块 A 可以视为标量。

证明

它应该非常直观。假设 A$ Kimes L $, $ lpha $$ K_ {1} imes L_ {1} $,  $ eta $ $ K_ {1} imes L_ {2} $,  $伽马$ $ K_ {2} imes L_ {1} $,  $ delta $ $ K_ {2} imes L_ {2} $, $ K = K_ {1} + K_ {2} $$ L = L_ {1} + L_ {2} $. 然后我们 有 [eq41]

跟踪

如果 A $ B $ 是平方矩阵,那么 跟踪 满足 [eq42]

证明

记得 迹线是矩阵对角线项的总和。作为一个 结果,当矩阵被分割时,其轨迹也可以计算为 矩阵对角线块的迹线之和。而且, 迹线是同质的(从某种意义上说, 标量)。假设 A$ Kimes K $. 然后我们 有 [eq43]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "Kronecker产品的属性", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Kronecker-product-properties.

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