的 克罗内克产品 具有 应用程序中经常利用的几个属性。
接下来,让
,
,
和
表示维度可以是任意的矩阵,除非这些矩阵需要
要相乘或相加,在这种情况下,我们要求
根据需要适合加法或乘法。
请记住,Kronecker产品是
块矩阵:
哪里
假定是
和
表示
-th
进入
.
分配财产
持有:
的
-th
的块
是
以来
是个
-th
的块
和
是个
-th
的块
,
以上平等对每个人都适用
和
,
主张是真实的。
它也适用于第二
因子:
的
-th
的块
是
以来
是个
-th
的块
和
是个
-th
的块
,
以上平等对每个人都适用
和
,
主张是真实的。
让
标量。
然后,
我们
可以看到标量
作为一个
具有单个条目的矩阵。然后,Kronecker产品
有一个等于
.
而且,如果
是标量,
然后
假设
是
.
通过应用Kronecker产品的定义和
乘法
标量矩阵, 我们获得
关于标量乘法的更一般的规则
和
如下:
再次, 通过应用克罗内克积的定义和乘积的定义 标量矩阵,我们得到
显然,任何涉及零矩阵(即矩阵
条目均为零)给出一个零矩阵作为
结果:
关联属性
持有:
让
是
,
是
和
是
.
让我们先研究一下
.
产品
是个
条目
的
.
结果,该产品
是
的
条目
的
.
现在让我们研究
.
产品
是个
条目
的
.
因此,该产品
是的条目
占据
位置
从而,
产品
在同一位置
和在
每一个
,
,
,
,
和
.
因此,
如果
,
,
和
这样的产品
和
定义明确
然后
假设
是
和
是
.
哪里:
在步
我们已经利用了
二乘法
可以执行块矩阵,就好像它们的块是标量一样;在步
我们已经使用了 定义
矩阵乘法 演绎
那
哪里
是个
-th
进入
.
一个常用的技巧是使用
身份矩阵 (和标量
1s)在混合产品中。对于
例,
在这种情况下
是列向量,以上相等
变成
换位操作为
如下:
让
是
.
让我们应用转置块的规则
矩阵:
计算Kronecker乘积的逆的规则很漂亮
简单:
我们需要对混合产品使用规则
并验证
满足的逆定义
:
哪里
是身份矩阵。
假设矩阵
被划分为块
如下:
然后,
在
换句话说,矩阵的块
可以视为标量。
它应该非常直观。假设
是
,
是
,
是
,
是
,
是
,
和
.
然后我们
有
如果
和
是平方矩阵,那么
跟踪 满足
记得
迹线是矩阵对角线项的总和。作为一个
结果,当矩阵被分割时,其轨迹也可以计算为
矩阵对角线块的迹线之和。而且,
迹线是同质的(从某种意义上说,
标量)。假设
是
.
然后我们
有
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "Kronecker产品的属性", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Kronecker-product-properties.