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拉普拉斯展开式,未成年人,辅助因子和伴随

通过 博士

拉普拉斯展开式是可以表达 矩阵的行列式 作为较小矩阵行列式的线性组合,称为次要。 Laplace扩展还允许编写 矩阵的逆 就......而言 其签署的未成年人,称为辅因子。后者通常收集在 矩阵称为伴随矩阵。

目录

未成年人

让我们从定义未成年人开始。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵(与 $ Kgeq 2 $)。 表示为 $ A_ {ij} $ 进入 A 在路口 i-th 行和 $ j $-th 柱。未成年人 $ A_ {ij} $ 是从获得的子矩阵的行列式 A 通过删除其 i-th 行及其 $ j $-th 柱。

现在我们用一个例子来说明定义。

定义 3美金3美金 矩阵 [eq1]采取 入口 $ A_ {11} = 4 $. 通过删除第一行和第一列获得的子矩阵 是[eq2]从而, 未成年人 $ A_ {11} $[eq3]的 未成年人 $ A_ {23} $[eq4]

辅助因子

辅因子是未成年人,其体征可能根据 各个矩阵条目的位置。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵(与 $ Kgeq 2 $)。 表示为 $ M_ {ij} $ 条目的未成年人 $ A_ {ij} $. 的辅因子 $ A_ {ij} $[eq5]

例如,符号的模式会发生变化 [eq6]4美金4美金 矩阵 是[eq7]

考虑一下 3美金3美金 矩阵 [eq8]采取 入口 $ A_ {23} = 0 $. 未成年人 $ A_ {23} $[eq9]和 它的辅因子 是[eq10]

扩张

我们现在准备介绍Laplace扩展。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵(与 $ Kgeq 2 $)。 表示为 $ C_ {ij} $ 条目的辅因子 $ A_ {ij} $. 然后,对于任何行 i, 接下来的行扩展 持有:[eq11]同样, 对于任何列 $ j $, 接下来的列扩展 持有:[eq12]

证明

让我们从证明行开始 扩张[eq13]表示 通过 $ A_ {i ullet} $i-th 排 A. 我们可以 写[eq14]哪里 $ e_ {j} $ 是个 $ j $-th 的标准基础向量 $ U {211d} ^ {K} $, 那是一个向量 $ j $-th 条目等于1,所有其他条目等于0。现在,用 $ A ^ {ij} $ 从获得的矩阵 A 通过替换其 i-th 与 $ e_ {j} $:[eq15]我们 可以写 i-th 排 A 作为一个 线性组合 如 如下:[eq16]以来 的 行列式在 每一行, 我们有 那[eq17]现在, 矩阵 $ A ^ {ij} $ 可以转化为 矩阵[eq18]通过 表演 i 行互换和 $ j $ 列互换。结果, 的属性 基本矩阵的行列式, 我们有 那[eq19]此外, 根据行列式的定义,我们有 那[eq20]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 换位不 改变行列式;在步 $ rame {B} $ 我们已经利用了这样一个事实,即第一列的唯一非零条目 $ B ^ {ij} $ 是第一个,所以 [eq21] 对所有人 [eq22][eq23] 对于 [eq24]; 在步 $ rame {C} $ $ M_ {ij} $ 是...的未成年人 $ A_ {ij} $, 并且,通过观察 $ B ^ {ij} $ 上面的内容很明显,在排除了第一行和第一列之后 $ B ^ {ij} $ 从其行列式的计算中,我们正在计算一个 从 A 通过删除其 i-th 行及其 $ j $-th 柱。从而, [eq25]哪里 $ C_ {ij} $ 是...的辅因子 $ A_ {ij} $. 列扩展的证明是类似的。

换句话说,行列式可以通过将 任意选择的行(列)乘以它们各自的辅助因子。

定义 矩阵[eq26]我们 可以使用第一列的拉普拉斯展开来计算其 行列式:[eq27]

定义 矩阵[eq28]我们 可以使用第三行的拉普拉斯展开来计算其 行列式:[eq29]

沿错误的行或列扩展

一个有趣而有用的事实是,尽管拉普拉斯扩张 给[eq30]我们 有[eq31]什么时候 $k
eq i$. 换句话说,如果我们将row的元素相乘 i 与另一行的辅因子 k 然后将它们加起来,结果为零。

证明

定义矩阵 $ B $ 其行都等于的对应行 A, 除了 k-th 等于 i-th 排 A. 从而, $ B $ 有两个相同的行,因此,它是 单数 和它 行列式为零. 表示为 $ K_ {ij} $ 的辅因子 $ B_ {ij} $. 然后, [eq32]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们已经利用了 i-th 排 A 等于 i-th 排 $ B $; 在步 $ rame {B} $ 我们已经利用了一个事实,尽管 k-th 排 A 有别于 k-th 排 $ B $, 我们有 $ C_ {kj} = K_ {kj} $ 因为排 k 形成用于计算这些辅助因子的子矩阵时,将取消。

同样的结果适用于 列:[eq33]什么时候 $k
eq i$. 该证明与前一个类似。

辅因子矩阵

现在,我们定义辅因子矩阵(或辅因子矩阵)。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。表示为 $ C_ {ij} $ 的辅因子 $ A_ {ij} $ (以上定义)。然后, $ Kimes K $ 矩阵 $ C $ 这样 $ left(i,j
权)$-th 项等于 $ C_ {ij} $ 每一个 i$ j $ 称为的辅因子矩阵 A.

伴随矩阵

伴随矩阵(或伴随矩阵)是以下矩阵的转置 辅助因子。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $ C $ 它的辅助因子矩阵。的伴随矩阵 A, 表示为 [eq34], 是[eq35]

伴随,行列式和逆

以下命题是拉普拉斯扩张的直接结果。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 [eq36] 它的伴随。 然后,[eq37]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

定义[eq38]通过 矩阵乘法的定义 $ left(i,j
权)$-th 进入 $ R $[eq39]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了这样的事实,即伴随是辅因子的转置 矩阵。什么时候 $ i = j $, 步骤表达 $ rame {A} $ 是拉普拉斯(Laplace)的扩张 A 因此等于 [eq40]. 什么时候 $i
eq j$ 它是沿错误行的扩展,因此等于 0. 从而,[eq41]什么时候 [eq42]我们 有 [eq43]哪一个 是列扩展。因此,根据先前使用的相同论点,我们有 那[eq44]

前一个命题的结果如下。

主张A 成为 $ Kimes K $ 可逆的 矩阵和 [eq45] 它的伴随。 然后[eq46]

证明

以来 A 是可逆的 [eq47]. 然后,我们可以重写 结果[eq48][eq49]从而, 根据逆矩阵的定义, 矩阵[eq50]是 与之相反 A.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义矩阵

[eq51]计算 的决定因素 A 通过沿其第三列使用Laplace扩展。

扩张 是[eq52]

练习2

定义[eq53]计算 的伴随 A, 用它来推导 A, 并验证由此获得的矩阵确实是 A.

的决定因素 A[eq54]从而, A 是可逆的。请注意,通过删除一行和一行获得的子矩阵 的列 A$ 1imes 1 $. 因此,未成年人的矩阵 A[eq55]和 辅因子矩阵 是[eq56]的 通过转置矩阵可得到伴随 辅助因子:[eq57]的 可以计算逆 如 [eq58]让 我们乘以 A 为了检查它确实是 逆:[eq59]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "拉普拉斯展开式,未成年人,辅助因子和伴随", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Laplace-expansion-minors-cofactors-adjoints.

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