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舒尔补语

通过 博士

舒尔补语 块 真人在线斗地主 是其块的功能,可以派生出几个有用的 块真人在线斗地主本身的求逆和分解的公式。

目录

定义

让我们从定义开始。

定义  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq1] 这样 它阻止 A $ B $ 方阵 。 如果 A 可逆的 ,舒尔 的补充 A $ M $ [eq2] 如果  $ D $ 是可逆的,  $ D $  $ M $ [eq3]

注意,该定义未指定尺寸  $ M $ 及其街区。我们需要指定的唯一必要事项是 A $ B $ 必须是正方形真人在线斗地主。其他所有内容均来自后者的要求。

实际上,假设 A$ K_ {A}美元K_ {A} $ $ D $ $ K_ {D}美元K_ {D} $. 然后,  $ B $ 一定是 $ K_ {A}美元K_ {D} $ $ C $ 一定是 $ K_ {D}美元K_ {A} $. 结果,该产品  $ CA ^ {-1} B $ 定义明确,尺寸为 $ K_ {D}美元K_ {D} $. 同样,产品  $ BD ^ {-1} C $ 定义明确,尺寸为 $ K_ {A}美元K_ {A} $.

在块真人在线斗地主求逆中的作用

Schur补码在块真人在线斗地主求逆中起关键作用。

主张  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq4] 这样 它阻止 A $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 A 及其舒尔补语  $ M / A $ 是可逆的  $ M $ 是可逆的 和 [eq5]

证明

证明命题的严格方法是 繁殖  $ M $ 通过  $ M ^ {-1} $ 使用 的规则 块真人在线斗地主的乘法 并显示结果是 单位真人在线斗地主 。 但是,我们 采取一种方法来说明  $ M ^ {-1} $ 已经得出。假设  $ M ^ {-1} $ 存在并将其划分为块 如下: [eq6] 哪里  $ lpha $ 具有与...相同的尺寸 A, 和  $ D $ 具有与...相同的尺寸  $ delta $ . 根据逆的定义,  $ M ^ {-1} $ 应该 满足 [eq7] 要么 [eq8] 哪里  $ I_ {A} $ 与...具有相同的尺寸 A, 和  $ I_ {D} $ 与...具有相同的尺寸  $ D $ . 这相当于说四个方块 [eq9] 应该满足四个 方程式 [eq10] 如果 A 是可逆的,我们可以变换第一个方程 进入 [eq11] 然后 我们将等式(5)代入(3)并 得到 [eq12] 要么 [eq13] 从而, 舒尔补语 A 已经出现了。让我们来写 明确地: [eq14] 如果 舒尔补语 A 是可逆的,那么我们 有 [eq15] 从而, 我们发现了 $ left(2,1
权)$ -th 的块  $ M ^ {-1} $ . 现在我们可以将等式(6)插入(5)并获得另一个块  $ M ^ {-1} $ :[eq16] 的 下一步是将等式(2)转换为 如下: [eq17] 然后, 我们将等式(7)插入 (4):[eq18] 从 后面的等式,我们又得到一个  $ M ^ {-1} $ :[eq19] 我们 现在可以将等式(8)代入(7)并恢复  $ M ^ {-1} $ :[eq20]

Schur补语有一个类似的命题  $ D $ . 您可以尝试将其证明为练习,然后使用下面的证明进行检查 您的解决方案。

主张  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq21] 这样 它阻止 A $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果  $ D $ 及其舒尔补语  $ D / A $ 是可逆的  $ M $ 是可逆的 和 [eq22]

证明

和以前一样,假设  $ M ^ {-1} $ 存在并将其划分为 块: [eq23] 哪里  $ lpha $ 具有与...相同的尺寸 A, 和  $ D $ 具有与...相同的尺寸  $ delta $ . 根据逆的定义,  $ M ^ {-1} $ 应该 满足 [eq7] 要么 [eq8] 哪里  $ I_ {A} $ 与...具有相同的尺寸 A, 和  $ I_ {D} $ 与...具有相同的尺寸  $ D $ . 因此,这四个街区 [eq26] 需要满足 方程式 [eq10] 以来  $ D $ 是可逆的,那么等式(4)可以写成 如 [eq28] 通过 将方程式(5)插入(2),我们 获得 [eq29] 要么 [eq30] 通过 使用适当的符号表示  $ D $ , 我们可以 写 [eq31] 以来 舒尔补语  $ D $ 是可逆的,我们可以求解后一个方程,并得到第一个解 一块  $ M ^ {-1} $ :[eq32] 然后 我们将等式(6)代入(5)并获得  $ M ^ {-1} $ :[eq33] 我们 现在操纵方程式 (3):[eq34] 和 将(7)代入 (1):[eq35] 从而, 我们又得到了一个  $ M ^ {-1} $ :[eq36] 最后, 最后一块  $ M ^ {-1} $ 通过将等式(8)插入 (7):[eq37]

块真人在线斗地主的因式分解

Schur补码通常用于将块真人在线斗地主分解为 简单块真人在线斗地主的乘积。

主张  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 A 是可逆的 然后 [eq39] 哪里 I 是身份真人在线斗地主, 0 是零真人在线斗地主。

证明

请记住,舒尔的补充 A $ M $ [eq40] 因此, 三种真人在线斗地主的乘积 是 [eq41]

主张  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果  $ D $ 是可逆的 然后 [eq43] 哪里 I 是身份真人在线斗地主, 0 是零真人在线斗地主。

证明

请记住,舒尔的补充  $ D $  $ M $ [eq44] 因此, 三种真人在线斗地主的乘积 是 [eq45]

块真人在线斗地主逆的因式分解

当Schur补码是可逆的时,它们可以用来导出有用的 块真人在线斗地主逆的因式分解。

主张  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 A 它的舒尔补码是可逆的 然后 [eq47] 哪里 I 是身份真人在线斗地主, 0 是零真人在线斗地主。

证明

如果我们乘以  $ M $ 分解成上面通过分解的三个真人在线斗地主  $ M ^ {-1} $ 在这里提出,我们得到 因为 [eq48]

主张  $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果  $ D $ 它的舒尔补码是可逆的 然后 [eq50] 哪里 I 是身份真人在线斗地主, 0 是零真人在线斗地主。

证明

如果我们乘以  $ M $ 分解成上面通过分解的三个真人在线斗地主  $ M ^ {-1} $ 在这里提出,我们得到 因为 [eq51]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq52]

假设 A $ D $ 是可逆的  $ B $  $ C $ 为零。倒置  $ M $ 通过使用舒尔补语 A.

的舒尔补语 A[eq53] 和 它的逆 是 [eq54] 因此, [eq55]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "舒尔补语", 列克特 ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-complement.

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