舒尔补语 块 真人在线斗地主 是其块的功能,可以派生出几个有用的 块真人在线斗地主本身的求逆和分解的公式。
让我们从定义开始。
注意,该定义未指定尺寸
及其街区。我们需要指定的唯一必要事项是
和
必须是正方形真人在线斗地主。其他所有内容均来自后者的要求。
实际上,假设
是
和
是
.
然后,
一定是
和
一定是
.
结果,该产品
定义明确,尺寸为
.
同样,产品
定义明确,尺寸为
.
Schur补码在块真人在线斗地主求逆中起关键作用。
主张
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
这样
它阻止
和
是平方真人在线斗地主。如果
及其舒尔补语
是可逆的
是可逆的
和
证明命题的严格方法是
繁殖
通过
使用 的规则
块真人在线斗地主的乘法 并显示结果是
单位真人在线斗地主 。 但是,我们
采取一种方法来说明
已经得出。假设
存在并将其划分为块
如下:
哪里
具有与...相同的尺寸
,
和
具有与...相同的尺寸
.
根据逆的定义,
应该
满足
要么
哪里
与...具有相同的尺寸
,
和
与...具有相同的尺寸
.
这相当于说四个方块
应该满足四个
方程式
如果
是可逆的,我们可以变换第一个方程
进入
然后
我们将等式(5)代入(3)并
得到
要么
从而,
舒尔补语
已经出现了。让我们来写
明确地:
如果
舒尔补语
是可逆的,那么我们
有
从而,
我们发现了
-th
的块
.
现在我们可以将等式(6)插入(5)并获得另一个块
:
的
下一步是将等式(2)转换为
如下:
然后,
我们将等式(7)插入
(4):
从
后面的等式,我们又得到一个
:
我们
现在可以将等式(8)代入(7)并恢复
:
Schur补语有一个类似的命题
.
您可以尝试将其证明为练习,然后使用下面的证明进行检查
您的解决方案。
主张
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
这样
它阻止
和
是平方真人在线斗地主。如果
及其舒尔补语
是可逆的
是可逆的
和
和以前一样,假设
存在并将其划分为
块:
哪里
具有与...相同的尺寸
,
和
具有与...相同的尺寸
.
根据逆的定义,
应该
满足
要么
哪里
与...具有相同的尺寸
,
和
与...具有相同的尺寸
.
因此,这四个街区
需要满足
方程式
以来
是可逆的,那么等式(4)可以写成
如
通过
将方程式(5)插入(2),我们
获得
要么
通过
使用适当的符号表示
,
我们可以
写
以来
舒尔补语
是可逆的,我们可以求解后一个方程,并得到第一个解
一块
:
然后
我们将等式(6)代入(5)并获得
:
我们
现在操纵方程式
(3):
和
将(7)代入
(1):
从而,
我们又得到了一个
:
最后,
最后一块
通过将等式(8)插入
(7):
Schur补码通常用于将块真人在线斗地主分解为 简单块真人在线斗地主的乘积。
主张
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
这样
它阻止
和
是平方真人在线斗地主。如果
是可逆的
然后
哪里
是身份真人在线斗地主,
是零真人在线斗地主。
请记住,舒尔的补充
在
是
因此,
三种真人在线斗地主的乘积
是
主张
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
这样
它阻止
和
是平方真人在线斗地主。如果
是可逆的
然后
哪里
是身份真人在线斗地主,
是零真人在线斗地主。
请记住,舒尔的补充
在
是
因此,
三种真人在线斗地主的乘积
是
当Schur补码是可逆的时,它们可以用来导出有用的 块真人在线斗地主逆的因式分解。
主张
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
这样
它阻止
和
是平方真人在线斗地主。如果
它的舒尔补码是可逆的
然后
哪里
是身份真人在线斗地主,
是零真人在线斗地主。
如果我们乘以
分解成上面通过分解的三个真人在线斗地主
在这里提出,我们得到
因为
主张
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
这样
它阻止
和
是平方真人在线斗地主。如果
它的舒尔补码是可逆的
然后
哪里
是身份真人在线斗地主,
是零真人在线斗地主。
如果我们乘以
分解成上面通过分解的三个真人在线斗地主
在这里提出,我们得到
因为
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
成为一个障碍
真人在线斗地主
假设
和
是可逆的
和
为零。倒置
通过使用舒尔补语
.
的舒尔补语
是
和
它的逆
是
因此,
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "舒尔补语", 列克特 ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-complement.