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SCUR补充

经过 ,博士学位

schur补充了一个 block matrix 是其块的功能,允许派生几种有用的功能 用于反转的公式和块矩阵本身的分解。

目录

定义

让我们从定义开始。

定义 Let  $ m $ be a block matrix[eq1] 这样的 that its blocks A and  $ b $ are square matrices 。 如果 A is invertible ,斯科尔 complement of A in  $ m $ is[eq2] 如果  $ d $ 是可逆的,schur补充  $ d $ in  $ m $ is[eq3]

请注意,定义未指定尺寸  $ m $ 及其块。我们需要指定的唯一必要的事情是 A and  $ b $ 必须是方形矩阵。其他一切都从后一种要求中遵循。

事实上,假设这一点 A is $ k_ {a} imes k_ {a} $ and  $ d $ is $ k_ {d} imes k_ {d} $. Then,  $ b $ must be $ k_ {a} imes k_ {d} $ and  $ C $ must be $ k_ {d} imes k_ {a} $. 因此,产品  $ ca ^ { -  1} b $ 定义明确,其维度是 $ k_ {d} imes k_ {d} $. 同样,产品  $ bd ^ { -  1} c $ 定义明确,其维度是 $ k_ {a} imes k_ {a} $.

在块矩阵反转中的作用

SCHUR补充在块矩阵的反转中发挥着关键作用。

主张 Let  $ m $ be a block matrix[eq4] 这样的 that its blocks A and  $ b $ 是方形矩阵。如果 A 它的schur补充  $ m / a $ are invertible, then  $ m $ is invertible and[eq5]

证明

证明这个命题的严格方法是 to multiply  $ m $ by  $ m ^ { -  1} $ using the rule for the 块矩阵的乘法 并表明结果是 identity matrix 。 但是,我们 采取一种方法,展示了块的公式  $ m ^ { -  1} $ 被派生。假设  $ m ^ { -  1} $ 存在并将其分组为块 follows:[eq6] 在哪里  $ lpha $ 具有相同的维度 A, and  $ d $ 具有相同的维度  $ delta $ . 通过反向的定义,  $ m ^ { -  1} $ should satisfy[eq7] 或者 [eq8] 在哪里  $ i_ {a} $ 是具有相同的维度 A, and  $ i_ {d} $ 是具有相同的维度  $ d $ . 这相当于说四个街区 [eq9] 应该满足四个 equations[eq10] 如果 A 是可逆的,我们可以改变第一个等式 into[eq11] 然后 我们将公式(5)替换为(3)和 get[eq12] 或者 [eq13] 因此, schur补充 A 已经出现了。让我们写它 explicitly:[eq14] 如果 schur补充 A 是可逆的,然后我们 have[eq15] 因此, we have found the $ left(2,1
Ight)$ - block of  $ m ^ { -  1} $ . 我们现在可以将公式(6)插入(5)并获得另一个块  $ m ^ { -  1} $ :[eq16] 这 下一步是将等式(2)变换为 follows:[eq17] 然后, 我们将公式(7)插入 (4):[eq18] 从 后一程,我们获得了一个块  $ m ^ { -  1} $ :[eq19] 我们 现在可以将公式(8)替换为(7)并恢复最后一个块  $ m ^ { -  1} $ :[eq20]

Schur补充有一种类似的主张  $ d $ . 您可以尝试将其证明作为锻炼,然后使用下面的证明来检查 your solution.

主张 Let  $ m $ be a block matrix[eq21] 这样的 that its blocks A and  $ b $ 是方形矩阵。如果  $ d $ 它的schur补充  $ d / a $ are invertible, then  $ m $ is invertible and[eq22]

证明

如前所述,假设这一点  $ m ^ { -  1} $ 存在并将其分成 blocks:[eq23] 在哪里  $ lpha $ 具有相同的维度 A, and  $ d $ 具有相同的维度  $ delta $ . 通过反向的定义,  $ m ^ { -  1} $ should satisfy[eq7] 或者 [eq8] 在哪里  $ i_ {a} $ 是具有相同的维度 A, and  $ i_ {d} $ 是具有相同的维度  $ d $ . 因此,四个街区 [eq26] need to satisfy the equations[eq10] 自从  $ d $ 是可逆的,然后可以写入等式(4) as[eq28] 经过 将方程式(5)插入(2),我们 obtain[eq29] 或者 [eq30] 经过 使用适当的施用法进行舒科补充  $ d $ , we can write[eq31] 自从 schur补充  $ d $ 是可逆的,我们可以解决后者方程并获得第一个解决方案 a block of  $ m ^ { -  1} $ :[eq32] 然后 我们将公式(6)替换为(5)并获得另一个块  $ m ^ { -  1} $ :[eq33] 我们 现在操纵方程式 (3):[eq34] 和 substitute (7) into (1):[eq35] 因此, 我们派生了一个块  $ m ^ { -  1} $ :[eq36] 最后, the last block of  $ m ^ { -  1} $ 通过将方程式(8)插入 (7):[eq37]

块矩阵的分解

SCHUR补充通常用于将块矩阵分解成一个 更简单的块矩阵的产品。

主张 Let  $ m $ be a block matrix[eq38] 这样的 that its blocks A and  $ b $ 是方形矩阵。如果 A is invertible, then[eq39] 在哪里 I 是身份矩阵和 0 是零的矩阵。

证明

请记住,SCUR补充 A in  $ m $ is[eq40] 所以, 三种矩阵的产物 is[eq41]

主张 Let  $ m $ be a block matrix[eq38] 这样的 that its blocks A and  $ b $ 是方形矩阵。如果  $ d $ is invertible, then[eq43] 在哪里 I 是身份矩阵和 0 是零的矩阵。

证明

请记住,SCUR补充  $ d $ in  $ m $ is[eq44] 所以, 三种矩阵的产物 is[eq45]

分解块矩阵的逆

当SCUR补充是可逆的时,它们可以用来导出有用的 块矩阵逆的因子。

主张 Let  $ m $ be a block matrix[eq38] 这样的 that its blocks A and  $ b $ 是方形矩阵。如果 A 它的Schur补充是可逆的, then[eq47] 在哪里 I 是身份矩阵和 0 是零的矩阵。

证明

如果我们乘以分解  $ m $ 进入以上衍生的三种矩阵  $ m ^ { -  1} $ 在这里提出,我们获得了 because[eq48]

主张 Let  $ m $ be a block matrix[eq38] 这样的 that its blocks A and  $ b $ 是方形矩阵。如果  $ d $ 它的Schur补充是可逆的, then[eq50] 在哪里 I 是身份矩阵和 0 是零的矩阵。

证明

如果我们乘以分解  $ m $ 进入以上衍生的三种矩阵  $ m ^ { -  1} $ 在这里提出,我们获得了 because[eq51]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let  $ m $ be a block matrix[eq52]

Suppose that A and  $ d $ are invertible and  $ b $ and  $ C $ are zero. Invert  $ m $ 通过使用SCHUR补充 A.

解决方案

schur补充 A is[eq53] 和 its inverse is[eq54] 所以, [eq55]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "SCUR补充", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-complement.

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