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舒尔补语

通过 博士

舒尔补语 块 真人在线斗地主 是其块的功能，可以派生出几个有用的 块真人在线斗地主本身的求逆和分解的公式。

目录

目录

  1. 定义

  2. 在块真人在线斗地主求逆中的作用

  3. 块真人在线斗地主的因式分解

  4. 块真人在线斗地主逆的因式分解

  5. 解决的练习

    1. 练习1

定义

让我们从定义开始。

定义 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq1] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是 方阵 。 如果 A 是 可逆的 ，舒尔 的补充 A 在 $ M $ 是 [eq2] 如果 $ D $ 是可逆的， $ D $ 在 $ M $ 是 [eq3]

注意，该定义未指定尺寸 $ M $ 及其街区。我们需要指定的唯一必要事项是 A 和 $ B $ 必须是正方形真人在线斗地主。其他所有内容均来自后者的要求。

实际上，假设 A 是 $ K_ {A}美元K_ {A} $ 和 $ D $ 是 $ K_ {D}美元K_ {D} $. 然后， $ B $ 一定是 $ K_ {A}美元K_ {D} $ 和 $ C $ 一定是 $ K_ {D}美元K_ {A} $. 结果，该产品 $ CA ^ {-1} B $ 定义明确，尺寸为 $ K_ {D}美元K_ {D} $. 同样，产品 $ BD ^ {-1} C $ 定义明确，尺寸为 $ K_ {A}美元K_ {A} $.

在块真人在线斗地主求逆中的作用

Schur补码在块真人在线斗地主求逆中起关键作用。

主张 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq4] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 A 及其舒尔补语 $ M / A $ 是可逆的 $ M $ 是可逆的 和 [eq5]

证明

证明命题的严格方法是 繁殖 $ M $ 通过 $ M ^ {-1} $ 使用 的规则 块真人在线斗地主的乘法 并显示结果是 单位真人在线斗地主 。 但是，我们 采取一种方法来说明 $ M ^ {-1} $ 已经得出。假设 $ M ^ {-1} $ 存在并将其划分为块 如下： [eq6] 哪里 $ lpha $ 具有与...相同的尺寸 A, 和 $ D $ 具有与...相同的尺寸 $ delta $ . 根据逆的定义， $ M ^ {-1} $ 应该 满足 [eq7] 要么 [eq8] 哪里 $ I_ {A} $ 与...具有相同的尺寸 A, 和 $ I_ {D} $ 与...具有相同的尺寸 $ D $ . 这相当于说四个方块 [eq9] 应该满足四个 方程式 [eq10] 如果 A 是可逆的，我们可以变换第一个方程 进入 [eq11] 然后 我们将等式（5）代入（3）并 得到 [eq12] 要么 [eq13] 从而， 舒尔补语 A 已经出现了。让我们来写 明确地： [eq14] 如果 舒尔补语 A 是可逆的，那么我们 有 [eq15] 从而， 我们发现了 $ left（2,1 权）$ -th 的块 $ M ^ {-1} $ . 现在我们可以将等式（6）插入（5）并获得另一个块 $ M ^ {-1} $ :[eq16] 的 下一步是将等式（2）转换为 如下： [eq17] 然后， 我们将等式（7）插入 (4):[eq18] 从 后面的等式，我们又得到一个 $ M ^ {-1} $ :[eq19] 我们 现在可以将等式（8）代入（7）并恢复 $ M ^ {-1} $ :[eq20]

Schur补语有一个类似的命题 $ D $ . 您可以尝试将其证明为练习，然后使用下面的证明进行检查 您的解决方案。

主张 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq21] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 $ D $ 及其舒尔补语 $ D / A $ 是可逆的 $ M $ 是可逆的 和 [eq22]

证明

和以前一样，假设 $ M ^ {-1} $ 存在并将其划分为 块： [eq23] 哪里 $ lpha $ 具有与...相同的尺寸 A, 和 $ D $ 具有与...相同的尺寸 $ delta $ . 根据逆的定义， $ M ^ {-1} $ 应该 满足 [eq7] 要么 [eq8] 哪里 $ I_ {A} $ 与...具有相同的尺寸 A, 和 $ I_ {D} $ 与...具有相同的尺寸 $ D $ . 因此，这四个街区 [eq26] 需要满足 方程式 [eq10] 以来 $ D $ 是可逆的，那么等式（4）可以写成 如 [eq28] 通过 将方程式（5）插入（2），我们 获得 [eq29] 要么 [eq30] 通过 使用适当的符号表示 $ D $ , 我们可以 写 [eq31] 以来 舒尔补语 $ D $ 是可逆的，我们可以求解后一个方程，并得到第一个解 一块 $ M ^ {-1} $ :[eq32] 然后 我们将等式（6）代入（5）并获得 $ M ^ {-1} $ :[eq33] 我们 现在操纵方程式 (3):[eq34] 和 将（7）代入 (1):[eq35] 从而， 我们又得到了一个 $ M ^ {-1} $ :[eq36] 最后， 最后一块 $ M ^ {-1} $ 通过将等式（8）插入 (7):[eq37]

块真人在线斗地主的因式分解

Schur补码通常用于将块真人在线斗地主分解为 简单块真人在线斗地主的乘积。

主张 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 A 是可逆的 然后 [eq39] 哪里 I 是身份真人在线斗地主， 0 是零真人在线斗地主。

证明

请记住，舒尔的补充 A 在 $ M $ 是 [eq40] 因此， 三种真人在线斗地主的乘积 是 [eq41]

主张 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 $ D $ 是可逆的 然后 [eq43] 哪里 I 是身份真人在线斗地主， 0 是零真人在线斗地主。

证明

请记住，舒尔的补充 $ D $ 在 $ M $ 是 [eq44] 因此， 三种真人在线斗地主的乘积 是 [eq45]

块真人在线斗地主逆的因式分解

当Schur补码是可逆的时，它们可以用来导出有用的 块真人在线斗地主逆的因式分解。

主张 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 A 它的舒尔补码是可逆的 然后 [eq47] 哪里 I 是身份真人在线斗地主， 0 是零真人在线斗地主。

证明

如果我们乘以 $ M $ 分解成上面通过分解的三个真人在线斗地主 $ M ^ {-1} $ 在这里提出，我们得到 因为 [eq48]

主张 让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq38] 这样 它阻止 A 和 $ B $ 是平方真人在线斗地主。如果 $ D $ 它的舒尔补码是可逆的 然后 [eq50] 哪里 I 是身份真人在线斗地主， 0 是零真人在线斗地主。

证明

如果我们乘以 $ M $ 分解成上面通过分解的三个真人在线斗地主 $ M ^ {-1} $ 在这里提出，我们得到 因为 [eq51]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 $ M $ 成为一个障碍 真人在线斗地主 [eq52]

假设 A 和 $ D $ 是可逆的 $ B $ 和 $ C $ 为零。倒置 $ M $ 通过使用舒尔补语 A.

解

的舒尔补语 A 是 [eq53] 和 它的逆 是 [eq54] 因此， [eq55]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "舒尔补语", 列克特 ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-complement.

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