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舒尔分解

通过 博士

对于任何给定的真人在线斗地主,Schur分解(或因式分解)允许 找到另一个与给定真人在线斗地主相似的上三角真人在线斗地主。 此外,相似变换中使用的基础变化真人在线斗地主为 酉。

换句话说,Schur分解表明每个真人在线斗地主都是统一的 类似于上三角真人在线斗地主。

目录

初赛

让我们修改一些对于理解Schur必不可少的概念 分解。

我们说两个平方真人在线斗地主 A$ T $ 类似 当且仅当在 存在一个 可逆的 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ Q $ 这样 那[eq1]

真人在线斗地主 $ Q $ 参与相似度转换的过程称为 基础变化真人在线斗地主.

两个相似的真人在线斗地主具有相同的秩,迹线,行列式和特征值。 而且, 代数的 和几何多重性 它们的特征值一致。

我们说一个方阵 $ Q $ 当且仅当其 列有单位 规范 和是 正交的 彼此,在 这种情况下 $ Q $ 有财产 那[eq2]哪里 $ Q ^ {st} $ 表示 共轭 转置$ Q $.

什么时候 $ Q $ 是单一的,上面的相似变换 变成[eq3]和 我们说 A$ T $ 完全相似。

证明中使用的家用真人在线斗地主

在证明任何方阵 A 完全类似于上三角真人在线斗地主 $ T $ 我们将反复使用所谓的 户主真人在线斗地主.

家用真人在线斗地主是现代线性中最强大的工具之一 代数因此,我们建议详细研究它们。但是,这是一个 我们需要了解的摘要以了解Schur的证明 分解:

分解

现在我们准备提出Schur分解。

主张A 成为正方形 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。然后, A 完全类似于 上 三角形的 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ T $, 那 是的[eq7]哪里 $ Q $ 是一个 $ Kimes K $ ary真人在线斗地主

证明

$ lambda _ {1} $ 是...的任何特征值 A$ x_ {1} $ 其之一 关联的 特征向量 (因此, $x_{1}
eq 0$)。 我们可以找到一个Householder真人在线斗地主 $ R_ {1} $ 这样 那[eq8]哪里 $c_{1}
eq 0$. 此外,[eq9]划分 $ R_ {1} $ 从而形成一个 块真人在线斗地主[eq10]哪里 $ s_ {1} $ 是的第一列 $ R_ {1} $$ T_ {1} $ 包含所有其他列。以来 $ s_ {1} = R_ {1} e_ {1} $, 我们 有[eq11]通过 使用 规则 块真人在线斗地主的乘法,我们 获得[eq12]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 $ x_ {1} $ 是...的特征向量 A. 我们可以 写[eq13]哪里 0 是一个 [eq14] 零向量 $ st $ 是一个 [eq15] 可能为非零条目的向量(等于的第一行 $ R_ {1} AT_ {1} $), 和 $ A_ {2} $ 是一个 [eq16] 真人在线斗地主(包含的所有行 $ R_ {1} AT_ {1} $ 除了第一个)。这是三角化的第一步 处理。现在让我们开始第二步。让 $ lambda _ {2} $ 是...的任何特征值 $ A_ {2} $$ x_ {2} $ 其相关的特征向量之一。我们构造一个Householder真人在线斗地主 $ R_ {2} $ 这样 那[eq17]哪里 $c_{2}
eq 0$. 注意 $ e_ {1} $ 现在比上一步短:它的第一个条目是1,所有 其他条目为0,但0的数量减少一个单位。成为 严格,我们应该更改表示法,但对于 清楚起见。和以前一样,对称 平等[eq18]持有 并且,与我们上面展示的类似, 有[eq19]我们 创建一个新的 块真人在线斗地主[eq20]的 真人在线斗地主 $ R_ {2} $, 作为Householder真人在线斗地主,是单一的。第一栏 $ Q_ {2} $ 具有单位范数,并且与所有其他列正交。从而, $ Q_ {2} $ 是单一的。我们现在可以计算 产品[eq21]哪里 我们用表示可能为非零条目的各种新向量 $ st $. 这结束了三角化过程的第二步。历届 步骤是第二个步骤的直接修改。我们一直在做 户主转型,直到我们 获得[eq22]以来 unit真人在线斗地主的乘积是ary, 真人在线斗地主[eq23]是 酉。 此外,[eq24]因为 产品涉及的所有真人在线斗地主均来自Householders真人在线斗地主 (这是Hermitian),可以通过添加零和 不受共轭转座的影响。 因此,[eq25]哪里 $ T $ 是上方的上三角真人在线斗地主(带有条目 [eq26] 在主对角线上)。

独特性

Schur分解不是唯一的。从中可以很容易看出 上面的构造证明中使用的算法:在每个步骤中,我们选择一个 特征值任意;结果,有不同的可能 的特征值的顺序 A 在...的主对角线上 $ T $.

一般而言,如果 [eq25]是 的舒尔分解 A, 我们可以取任何unit真人在线斗地主 $ P $ 这样 那[eq28]是 上三角形,并用它来构造另一个Schur 分解[eq29]

特征值

三角真人在线斗地主具有其对角线项等于 它的特征值此外,两个相似的真人在线斗地主具有相同的特征值。 因此,舒尔分解 [eq30]允许 读取...的特征值 A 在...的主对角线上 $ T $, 这是上三角形并且类似于 A.

与对角化的比较

我们应该将此处得出的结果与讲座中介绍的结果进行比较 上 真人在线斗地主 对角化,我们已经证明,如果 A 没有缺陷的特征值,则类似于具有 的特征值 A 在主对角线上

以下是异同:

两种分解中的每一种都有自己的优势。结果,他们 在不同情况下很有用。

下面是一个简单的示例。

定义[eq31]然后, 的舒尔分解 A[eq30]哪里[eq33][eq34]$ T $ 我们可以读取的特征值 A, 哪个是 $ lambda _ {1} = 1 $$ lambda _ {2} = 2 $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "舒尔分解", 列克特ures 上 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-decomposition.

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