对于任何给定的真人在线斗地主,Schur分解(或因式分解)允许 找到另一个与给定真人在线斗地主相似的上三角真人在线斗地主。 此外,相似变换中使用的基础变化真人在线斗地主为 酉。
换句话说,Schur分解表明每个真人在线斗地主都是统一的 类似于上三角真人在线斗地主。
让我们修改一些对于理解Schur必不可少的概念 分解。
我们说两个平方真人在线斗地主
和
是 类似 当且仅当在
存在一个 可逆的
真人在线斗地主
这样
那
真人在线斗地主
参与相似度转换的过程称为
基础变化真人在线斗地主.
两个相似的真人在线斗地主具有相同的秩,迹线,行列式和特征值。 而且, 代数的 和几何多重性 它们的特征值一致。
我们说一个方阵
是 酉 当且仅当其
列有单位 规范 和是
正交的 彼此,在
这种情况下
有财产
那
哪里
表示 共轭
转置 的
.
什么时候
是单一的,上面的相似变换
变成
和
我们说
和
完全相似。
在证明任何方阵
完全类似于上三角真人在线斗地主
我们将反复使用所谓的
户主真人在线斗地主.
家用真人在线斗地主是现代线性中最强大的工具之一 代数因此,我们建议详细研究它们。但是,这是一个 我们需要了解的摘要以了解Schur的证明 分解:
如果
是一个
列向量和
是个
单位真人在线斗地主,然后
真人在线斗地主
是
称为住户真人在线斗地主
(
是的规范
和
其共轭转置);
户主真人在线斗地主
是单一的
;
对于任何
向量
,
我们有
当且仅当
;
对于任何非零
向量
,
有一个Householder真人在线斗地主
这样
那
哪里
是一个非零的标量,
是规范基础的第一个向量(即
向量,其第一个条目等于1,所有其他条目等于
0).
现在我们准备提出Schur分解。
主张
让
成为正方形
真人在线斗地主。然后,
完全类似于 上
三角形的
真人在线斗地主
,
那
是的
哪里
是一个
ary真人在线斗地主
让
是...的任何特征值
和
其之一 关联的
特征向量 (因此,
)。
我们可以找到一个Householder真人在线斗地主
这样
那
哪里
.
此外,
划分
从而形成一个
块真人在线斗地主
哪里
是的第一列
和
包含所有其他列。以来
,
我们
有
通过
使用 规则
块真人在线斗地主的乘法,我们
获得
哪里
在步
我们使用了这样一个事实
是...的特征向量
.
我们可以
写
哪里
是一个
零向量
是一个
可能为非零条目的向量(等于的第一行
),
和
是一个
真人在线斗地主(包含的所有行
除了第一个)。这是三角化的第一步
处理。现在让我们开始第二步。让
是...的任何特征值
和
其相关的特征向量之一。我们构造一个Householder真人在线斗地主
这样
那
哪里
.
注意
现在比上一步短:它的第一个条目是1,所有
其他条目为0,但0的数量减少一个单位。成为
严格,我们应该更改表示法,但对于
清楚起见。和以前一样,对称
平等
持有
并且,与我们上面展示的类似,
有
我们
创建一个新的
块真人在线斗地主
的
真人在线斗地主
,
作为Householder真人在线斗地主,是单一的。第一栏
具有单位范数,并且与所有其他列正交。从而,
是单一的。我们现在可以计算
产品
哪里
我们用表示可能为非零条目的各种新向量
.
这结束了三角化过程的第二步。历届
步骤是第二个步骤的直接修改。我们一直在做
户主转型,直到我们
获得
以来
unit真人在线斗地主的乘积是ary,
真人在线斗地主
是
酉。
此外,
因为
产品涉及的所有真人在线斗地主均来自Householders真人在线斗地主
(这是Hermitian),可以通过添加零和
不受共轭转座的影响。
因此,
哪里
是上方的上三角真人在线斗地主(带有条目
在主对角线上)。
Schur分解不是唯一的。从中可以很容易看出
上面的构造证明中使用的算法:在每个步骤中,我们选择一个
特征值任意;结果,有不同的可能
的特征值的顺序
在...的主对角线上
.
一般而言,如果
是
的舒尔分解
,
我们可以取任何unit真人在线斗地主
这样
那
是
上三角形,并用它来构造另一个Schur
分解
三角真人在线斗地主具有其对角线项等于
它的特征值此外,两个相似的真人在线斗地主具有相同的特征值。
因此,舒尔分解
允许
读取...的特征值
在...的主对角线上
,
这是上三角形并且类似于
.
我们应该将此处得出的结果与讲座中介绍的结果进行比较
上 真人在线斗地主
对角化,我们已经证明,如果
没有缺陷的特征值,则类似于具有
的特征值
在主对角线上
以下是异同:
所有真人在线斗地主都有Schur分解,但只有那些没有缺陷的真人在线斗地主 特征值是对角线的;
在舒尔分解中,我们可以从上方读取特征值 三角真人在线斗地主,而在真人在线斗地主对角化中,我们从 (更简单的)对角真人在线斗地主;
在舒尔(Schur)分解中,基础变化真人在线斗地主是unit,而在 对角化它只需要是可逆的。
两种分解中的每一种都有自己的优势。结果,他们 在不同情况下很有用。
下面是一个简单的示例。
例
定义然后,
的舒尔分解
是
哪里
和
从
我们可以读取的特征值
,
哪个是
和
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "舒尔分解", 列克特ures 上 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-decomposition.