舒尔分解

通过马可·塔波加（Marco Taboga）博士

对于任何给定的真人在线斗地主，Schur分解（或因式分解）允许找到另一个与给定真人在线斗地主相似的上三角真人在线斗地主。此外，相似变换中使用的基础变化真人在线斗地主为酉。

换句话说，Schur分解表明每个真人在线斗地主都是统一的类似于上三角真人在线斗地主。

初赛
证明中使用的家用真人在线斗地主
分解
独特性
特征值
与对角化的比较
例

初赛

让我们修改一些对于理解Schur必不可少的概念分解。

我们说两个平方真人在线斗地主和是类似当且仅当在存在一个可逆的真人在线斗地主这样那

真人在线斗地主参与相似度转换的过程称为基础变化真人在线斗地主.

两个相似的真人在线斗地主具有相同的秩，迹线，行列式和特征值。而且，代数的和几何多重性它们的特征值一致。

我们说一个方阵是酉当且仅当其列有单位规范和是正交的彼此，在这种情况下有财产那哪里 $Q ^ {st}$ 表示共轭转置的 .

什么时候是单一的，上面的相似变换变成和我们说和完全相似。

证明中使用的家用真人在线斗地主

在证明任何方阵完全类似于上三角真人在线斗地主我们将反复使用所谓的户主真人在线斗地主.

家用真人在线斗地主是现代线性中最强大的工具之一代数因此，我们建议详细研究它们。但是，这是一个我们需要了解的摘要以了解Schur的证明分解：

如果是一个列向量和是个单位真人在线斗地主，然后真人在线斗地主是称为住户真人在线斗地主 ( 是的规范和 $v ^ {st}$ 其共轭转置）;
户主真人在线斗地主是单一的 $R = R ^ {st} = R ^ {-1}$ ;
对于任何向量 , 我们有当且仅当 ;
对于任何非零向量 , 有一个Householder真人在线斗地主这样那哪里是一个非零的标量， $e_ {1}$ 是规范基础的第一个向量（即向量，其第一个条目等于1，所有其他条目等于 0).

分解

现在我们准备提出Schur分解。

主张让成为正方形真人在线斗地主。然后，完全类似于上三角形的真人在线斗地主 , 那是的哪里是一个 ary真人在线斗地主

证明

让 $lambda _ {1}$ 是...的任何特征值和 $x_ {1}$ 其之一关联的特征向量（因此， $x_{1} eq 0$ ）。我们可以找到一个Householder真人在线斗地主 $R_ {1}$ 这样那哪里 $c_{1} eq 0$ . 此外，划分 $R_ {1}$ 从而形成一个块真人在线斗地主哪里 $s_ {1}$ 是的第一列 $R_ {1}$ 和 $T_ {1}$ 包含所有其他列。以来 $s_ {1} = R_ {1} e_ {1}$ , 我们有 [eq11] 通过使用规则块真人在线斗地主的乘法，我们获得 [eq12] 哪里在步我们使用了这样一个事实 $x_ {1}$ 是...的特征向量 . 我们可以写 [eq13] 哪里是一个零向量是一个可能为非零条目的向量（等于的第一行 $R_ {1} AT_ {1}$ ），和 $A_ {2}$ 是一个真人在线斗地主（包含的所有行 $R_ {1} AT_ {1}$ 除了第一个）。这是三角化的第一步处理。现在让我们开始第二步。让 $lambda _ {2}$ 是...的任何特征值 $A_ {2}$ 和 $x_ {2}$ 其相关的特征向量之一。我们构造一个Householder真人在线斗地主 $R_ {2}$ 这样那哪里 $c_{2} eq 0$ . 注意 $e_ {1}$ 现在比上一步短：它的第一个条目是1，所有其他条目为0，但0的数量减少一个单位。成为严格，我们应该更改表示法，但对于清楚起见。和以前一样，对称平等持有并且，与我们上面展示的类似，有 [eq19] 我们创建一个新的块真人在线斗地主 [eq20] 的真人在线斗地主 $R_ {2}$ , 作为Householder真人在线斗地主，是单一的。第一栏 $Q_ {2}$ 具有单位范数，并且与所有其他列正交。从而， $Q_ {2}$ 是单一的。我们现在可以计算产品 [eq21] 哪里我们用表示可能为非零条目的各种新向量 . 这结束了三角化过程的第二步。历届步骤是第二个步骤的直接修改。我们一直在做户主转型，直到我们获得 [eq22] 以来 unit真人在线斗地主的乘积是ary，真人在线斗地主是酉。此外， [eq24] 因为产品涉及的所有真人在线斗地主均来自Householders真人在线斗地主（这是Hermitian），可以通过添加零和不受共轭转座的影响。因此，哪里是上方的上三角真人在线斗地主（带有条目在主对角线上）。

独特性

Schur分解不是唯一的。从中可以很容易看出上面的构造证明中使用的算法：在每个步骤中，我们选择一个特征值任意;结果，有不同的可能的特征值的顺序在...的主对角线上 .

一般而言，如果是的舒尔分解 , 我们可以取任何unit真人在线斗地主这样那是上三角形，并用它来构造另一个Schur 分解

特征值

三角真人在线斗地主具有其对角线项等于它的特征值此外，两个相似的真人在线斗地主具有相同的特征值。因此，舒尔分解允许读取...的特征值在...的主对角线上 , 这是上三角形并且类似于 .

与对角化的比较

我们应该将此处得出的结果与讲座中介绍的结果进行比较上真人在线斗地主对角化，我们已经证明，如果没有缺陷的特征值，则类似于具有的特征值在主对角线上

以下是异同：

所有真人在线斗地主都有Schur分解，但只有那些没有缺陷的真人在线斗地主特征值是对角线的；
在舒尔分解中，我们可以从上方读取特征值三角真人在线斗地主，而在真人在线斗地主对角化中，我们从（更简单的）对角真人在线斗地主；
在舒尔（Schur）分解中，基础变化真人在线斗地主是unit，而在对角化它只需要是可逆的。

两种分解中的每一种都有自己的优势。结果，他们在不同情况下很有用。

例

下面是一个简单的示例。

例定义 [eq31] 然后，的舒尔分解是哪里 [eq33] 和 [eq34] 从我们可以读取的特征值 , 哪个是 $lambda _ {1} = 1$ 和 $lambda _ {2} = 2$ .

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "舒尔分解", 列克特ures 上真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/Schur-decomposition.

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