真人在线斗地主值的代数多重性是它出现的次数 作为真人在线斗地主多项式的根(即,其根的多项式 是矩阵的真人在线斗地主值)。
真人在线斗地主值的几何多重性是线性的维数 其相关真人在线斗地主向量的空间(即其真人在线斗地主空间)。
在本讲座中,我们对以下两个概念进行了严格的定义: 代数和几何多重性,我们证明了一些有用的事实 他们。
让我们从定义开始。
定义
让
成为
矩阵。表示为
的
可能重复
真人在线斗地主值 的
,
解决真人在线斗地主
方程
我们
说一个真人在线斗地主值
具有代数多重性
当且仅当不多于且不少于
真人在线斗地主方程的解等于
.
让我们看一些例子。
例
考虑一下
矩阵
的
真人在线斗地主多项式
是
的
多项式的根,即
是
从而,
有两个不同的真人在线斗地主值。他们的代数多重性是
因为
他们不再重复。
例
定义
矩阵
它的
真人在线斗地主多项式
是
的
多项式的根,即
是
从而,
有一个重复的真人在线斗地主值,其代数多重性是
回想一下,每个真人在线斗地主值都与一个 线性空间 真人在线斗地主向量 叫 本征空间.
定义
让
成为
矩阵。让
成为...的真人在线斗地主值之一
并通过以下方式表示其相关的本征空间
.
的 尺寸 的
称为真人在线斗地主值的几何多重性
.
现在让我们举一些例子。
定义
考虑一下
矩阵
的
真人在线斗地主多项式
是
的
多项式的根
是
的
与相关的真人在线斗地主向量
是向量
那
解决
方程
要么
的
最后一个方程式暗示
那
因此,
的本征空间
是包含所有向量的线性空间
的
形成
哪里
可以是任何标量。因此,本征空间
是 由...产生 a
单
向量
因此,
它具有维度
.
结果,几何的多重性
是
.
例
考虑一下
矩阵
的
真人在线斗地主多项式
是
和
它的根源
是
从而,
有一个重复的真人在线斗地主值
(
)
的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量
解决
的
方程
要么
的
方程满足
和任何值
.
结果,...的本征空间
是包含所有向量的线性空间
的
形成
哪里
可以是任何标量。自从本征空间
由单个
向量
它
有尺寸
.
结果,几何的多重性
是1,小于它的代数多重性,即2。
例
定义
矩阵
的
真人在线斗地主多项式
是
和
它的根源
是
从而,
有一个重复的真人在线斗地主值
(
)
的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量
解决
的
方程
要么
的
等式满足任何值
和
.
结果,...的本征空间
是包含所有向量的线性空间
的
形成
哪里
和
是可以任意选择的标量。因此,本征空间
是由两个
线性独立
向量
因此,
它具有维度
.
结果,几何的多重性
是2,等于其代数多重性。
从前面的示例中可以得出的结论是,代数和 真人在线斗地主值的几何多重性不一定重合。
以下命题陈述了多重性的重要性质。
主张
让
成为
矩阵。让
成为...的真人在线斗地主值之一
.
然后,
小于或等于其代数多重性。
假设的几何多重性
等于
,
这样有
线性独立真人在线斗地主向量
关联到
.
任意选择
向量
,
都有维度
这样
列向量
是线性独立的。定义
矩阵
对于
任何
,
用...表示
的向量
解决
哪一个
保证存在,因为
是 全职 (其列为
线性独立)。定义
矩阵
和
用...表示
其上层
封锁并
其较低
块:
表示
通过
的
单位矩阵对于任何标量
,
我们有
那
以来
是全职的,因此其
行列式 是
非零,我们可以
写
哪里
在步
我们已经使用了有关
行列式
块矩阵。的真人在线斗地主值
解真人在线斗地主方程
要么,
等效地,
方程
这个
等式有根
至少重复一次
次。因此,的代数多重性
至少等于其几何多重性
.
它可以更大,如果
也是
当重复真人在线斗地主值的几何多重性严格小于时 它的代数多重性,则该真人在线斗地主值被称为 有缺陷的.
不重复的真人在线斗地主值具有关联的真人在线斗地主向量 不同于零。因此,其本征空间的维数等于1, 其几何多重性等于1且等于其代数 多样性。因此,不重复的真人在线斗地主值也是无缺陷的。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
查找是否
矩阵具有
任何有缺陷的真人在线斗地主值。
真人在线斗地主多项式
是和
它的根源
是
从而,
没有重复的真人在线斗地主值,因此没有缺陷
真人在线斗地主值。
定义
确定是否
具有任何有缺陷的真人在线斗地主值。
真人在线斗地主多项式
是哪里
在步
我们已经使用了
拉普拉斯
扩张 沿着第三排。多项式的根
是
从而,
有一个重复的真人在线斗地主值
(
)
的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量
解决
的
方程
要么
的
等式满足任何值
和
.
结果,...的本征空间
是包含所有向量的线性空间
的
形成
哪里
标量
可以任意选择。因此,本征空间
由单个
向量
从而,
它具有维度
,
的几何多重性
是1,它的代数多重性是2并且是有缺陷的。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主值的代数和几何多重性", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/algebraic-and-geometric-multiplicity-of-eigenvalues.