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真人在线斗地主值的代数和几何多重性

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

真人在线斗地主值的代数多重性是它出现的次数 作为真人在线斗地主多项式的根（即，其根的多项式 是矩阵的真人在线斗地主值）。

真人在线斗地主值的几何多重性是线性的维数 其相关真人在线斗地主向量的空间（即其真人在线斗地主空间）。

在本讲座中，我们对以下两个概念进行了严格的定义： 代数和几何多重性，我们证明了一些有用的事实 他们。

目录

目录

  1. 代数多重性

  2. 几何多重性

  3. 代数与几何多重性之间的关系

  4. 真人在线斗地主值有缺陷

  5. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

代数多重性

让我们从定义开始。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。表示为 [eq1] 的 K 可能重复 真人在线斗地主值 的 A, 解决真人在线斗地主 方程[eq2]我们 说一个真人在线斗地主值 $ lambda _ {k} $ 具有代数多重性 [eq3] 当且仅当不多于且不少于 [eq4] 真人在线斗地主方程的解等于 $ lambda _ {k} $.

让我们看一些例子。

例 考虑一下 2元2元 矩阵 [eq5]的 真人在线斗地主多项式 是[eq6]的 多项式的根，即 [eq7] 是[eq8]从而， A 有两个不同的真人在线斗地主值。他们的代数多重性是 [eq9]因为 他们不再重复。

例 定义 2元2元 矩阵 [eq10]它的 真人在线斗地主多项式 是[eq11]的 多项式的根，即 [eq7] 是[eq13]从而， A 有一个重复的真人在线斗地主值，其代数多重性是 [eq14]

几何多重性

回想一下，每个真人在线斗地主值都与一个 线性空间 真人在线斗地主向量 叫 本征空间.

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ lambda _ {k} $ 成为...的真人在线斗地主值之一 A 并通过以下方式表示其相关的本征空间 $ E_ {k} $. 的 尺寸 的 $ E_ {k} $ 称为真人在线斗地主值的几何多重性 $ lambda _ {k} $.

现在让我们举一些例子。

定义 考虑一下 2元2元 矩阵 [eq15]的 真人在线斗地主多项式 是[eq16]的 多项式的根 是[eq17]的 与相关的真人在线斗地主向量 $ lambda _ {1} = 2 $ 是向量 [eq18]那 解决 方程[eq19]要么[eq20]的 最后一个方程式暗示 那[eq21]因此， 的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {1} $ 的 形成[eq22]哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。因此，本征空间 $ lambda _ {1} $ 是 由...产生 a 单 向量[eq23]因此， 它具有维度 1. 结果，几何的多重性 $ lambda _ {1} $ 是 1.

例 考虑一下 2元2元 矩阵 [eq24]的 真人在线斗地主多项式 是[eq25]和 它的根源 是[eq13]从而， 有一个重复的真人在线斗地主值 ([eq27]) 的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量 [eq28]解决 的 方程[eq29]要么[eq30]的 方程满足 $ x_ {11} = 0 $ 和任何值 $ x_ {21} $. 结果，...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {1} $ 的 形成[eq31]哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。自从本征空间 $ lambda _ {1} $ 由单个 向量[eq32]它 有尺寸 1. 结果，几何的多重性 $ lambda _ {1} $ 是1，小于它的代数多重性，即2。

例 定义 2元2元 矩阵 [eq33]的 真人在线斗地主多项式 是[eq34]和 它的根源 是[eq35]从而， 有一个重复的真人在线斗地主值 ([eq36]) 的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量 [eq28]解决 的 方程[eq38]要么[eq39]的 等式满足任何值 $ x_ {11} $ 和 $ x_ {21} $. 结果，...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {1} $ 的 形成[eq40]哪里 $ x_ {11} $ 和 $ x_ {21} $ 是可以任意选择的标量。因此，本征空间 $ lambda _ {1} $ 是由两个 线性独立 向量[eq41]因此， 它具有维度 $2$. 结果，几何的多重性 $ lambda _ {2} $ 是2，等于其代数多重性。

从前面的示例中可以得出的结论是，代数和 真人在线斗地主值的几何多重性不一定重合。

代数与几何多重性之间的关系

以下命题陈述了多重性的重要性质。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ lambda _ {k} $ 成为...的真人在线斗地主值之一 A. 然后， $ lambda _ {k} $ 小于或等于其代数多重性。

证明

假设的几何多重性 $ lambda _ {k} $ 等于 $ r $, 这样有 $ r $ 线性独立真人在线斗地主向量 [eq42] 关联到 $ lambda _ {k} $. 任意选择 $ K-r $ 向量 [eq43], 都有维度 Kx1 这样 $ K $ 列向量 [eq44] 是线性独立的。定义 $ Kimes K $ 矩阵 [eq45]对于 任何 $ r $, 用...表示 $ b_ {r} $ 的向量 解决[eq46]哪一个 保证存在，因为 X 是 全职 （其列为 线性独立）。定义 [eq47] 矩阵[eq48]和 用...表示 $ C $ 其上层 [eq49] 封锁并 $ D $ 其较低 [eq50] 块：[eq51]表示 通过 [eq52] 的 $ Kimes K $ 单位矩阵对于任何标量 $ lambda $, 我们有 那[eq53]以来 X 是全职的，因此其 行列式 是 非零，我们可以 写[eq54]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了有关 行列式 块矩阵。的真人在线斗地主值 A 解真人在线斗地主方程 [eq55]要么， 等效地， 方程[eq56]这个 等式有根 [eq57] 至少重复一次 $ r $ 次。因此，的代数多重性 $ lambda _ {k} $ 至少等于其几何多重性 $ r $. 它可以更大，如果 $ lambda _ {k} $ 也是 [eq58]

真人在线斗地主值有缺陷

当重复真人在线斗地主值的几何多重性严格小于时 它的代数多重性，则该真人在线斗地主值被称为 有缺陷的.

不重复的真人在线斗地主值具有关联的真人在线斗地主向量 不同于零。因此，其本征空间的维数等于1， 其几何多重性等于1且等于其代数 多样性。因此，不重复的真人在线斗地主值也是无缺陷的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

查找是否 矩阵[eq59]具有 任何有缺陷的真人在线斗地主值。

解

真人在线斗地主多项式 是[eq60]和 它的根源 是[eq61]从而， 没有重复的真人在线斗地主值，因此没有缺陷 真人在线斗地主值。

练习2

定义[eq62]

确定是否 A 具有任何有缺陷的真人在线斗地主值。

解

真人在线斗地主多项式 是[eq63]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 拉普拉斯 扩张 沿着第三排。多项式的根 是[eq64]从而， 有一个重复的真人在线斗地主值 ([eq65]) 的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量 [eq66]解决 的 方程[eq67]要么[eq68]的 等式满足任何值 $ x_ {22} $ 和 $ x_ {12} = x_ {32} = 0 $. 结果，...的本征空间 $ lambda _ {2} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {2} $ 的 形成[eq69]哪里 标量 $ x_ {22} $ 可以任意选择。因此，本征空间 $ lambda _ {2} $ 由单个 向量[eq70]从而， 它具有维度 1, 的几何多重性 $ lambda _ {2} $ 是1，它的代数多重性是2并且是有缺陷的。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主值的代数和几何多重性", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/algebraic-and-geometric-multiplicity-of-eigenvalues.

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