在Statlect上搜索概率和统计术语
统计列克特
指数 > 矩阵代数

真人在线斗地主值的代数和几何多重性

通过 马可·塔波加(Marco Taboga)博士

真人在线斗地主值的代数多重性是它出现的次数 作为真人在线斗地主多项式的根(即,其根的多项式 是矩阵的真人在线斗地主值)。

真人在线斗地主值的几何多重性是线性的维数 其相关真人在线斗地主向量的空间(即其真人在线斗地主空间)。

在本讲座中,我们对以下两个概念进行了严格的定义: 代数和几何多重性,我们证明了一些有用的事实 他们。

目录

代数多重性

让我们从定义开始。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。表示为 [eq1]K 可能重复 真人在线斗地主值A, 解决真人在线斗地主 方程[eq2]我们 说一个真人在线斗地主值 $ lambda _ {k} $ 具有代数多重性 [eq3] 当且仅当不多于且不少于 [eq4] 真人在线斗地主方程的解等于 $ lambda _ {k} $.

让我们看一些例子。

考虑一下 2元2元 矩阵 [eq5]的 真人在线斗地主多项式 是[eq6]的 多项式的根,即 [eq7][eq8]从而, A 有两个不同的真人在线斗地主值。他们的代数多重性是 [eq9]因为 他们不再重复。

定义 2元2元 矩阵 [eq10]它的 真人在线斗地主多项式 是[eq11]的 多项式的根,即 [eq7][eq13]从而, A 有一个重复的真人在线斗地主值,其代数多重性是 [eq14]

几何多重性

回想一下,每个真人在线斗地主值都与一个 线性空间 真人在线斗地主向量 叫 本征空间.

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ lambda _ {k} $ 成为...的真人在线斗地主值之一 A 并通过以下方式表示其相关的本征空间 $ E_ {k} $. 的 尺寸$ E_ {k} $ 称为真人在线斗地主值的几何多重性 $ lambda _ {k} $.

现在让我们举一些例子。

定义 考虑一下 2元2元 矩阵 [eq15]的 真人在线斗地主多项式 是[eq16]的 多项式的根 是[eq17]的 与相关的真人在线斗地主向量 $ lambda _ {1} = 2 $ 是向量 [eq18]那 解决 方程[eq19]要么[eq20]的 最后一个方程式暗示 那[eq21]因此, 的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {1} $ 的 形成[eq22]哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。因此,本征空间 $ lambda _ {1} $ 由...产生 a 单 向量[eq23]因此, 它具有维度 1. 结果,几何的多重性 $ lambda _ {1} $1.

考虑一下 2元2元 矩阵 [eq24]的 真人在线斗地主多项式 是[eq25]和 它的根源 是[eq13]从而, 有一个重复的真人在线斗地主值 ([eq27]) 的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量 [eq28]解决 的 方程[eq29]要么[eq30]的 方程满足 $ x_ {11} = 0 $ 和任何值 $ x_ {21} $. 结果,...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {1} $ 的 形成[eq31]哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。自从本征空间 $ lambda _ {1} $ 由单个 向量[eq32]它 有尺寸 1. 结果,几何的多重性 $ lambda _ {1} $ 是1,小于它的代数多重性,即2。

定义 2元2元 矩阵 [eq33]的 真人在线斗地主多项式 是[eq34]和 它的根源 是[eq35]从而, 有一个重复的真人在线斗地主值 ([eq36]) 的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量 [eq28]解决 的 方程[eq38]要么[eq39]的 等式满足任何值 $ x_ {11} $$ x_ {21} $. 结果,...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {1} $ 的 形成[eq40]哪里 $ x_ {11} $$ x_ {21} $ 是可以任意选择的标量。因此,本征空间 $ lambda _ {1} $ 是由两个 线性独立 向量[eq41]因此, 它具有维度 $2$. 结果,几何的多重性 $ lambda _ {2} $ 是2,等于其代数多重性。

从前面的示例中可以得出的结论是,代数和 真人在线斗地主值的几何多重性不一定重合。

代数与几何多重性之间的关系

以下命题陈述了多重性的重要性质。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ lambda _ {k} $ 成为...的真人在线斗地主值之一 A. 然后, $ lambda _ {k} $ 小于或等于其代数多重性。

证明

假设的几何多重性 $ lambda _ {k} $ 等于 $ r $, 这样有 $ r $ 线性独立真人在线斗地主向量 [eq42] 关联到 $ lambda _ {k} $. 任意选择 $ K-r $ 向量 [eq43], 都有维度 Kx1 这样 $ K $ 列向量 [eq44] 是线性独立的。定义 $ Kimes K $ 矩阵 [eq45]对于 任何 $ r $, 用...表示 $ b_ {r} $ 的向量 解决[eq46]哪一个 保证存在,因为 X 全职 (其列为 线性独立)。定义 [eq47] 矩阵[eq48]和 用...表示 $ C $ 其上层 [eq49] 封锁并 $ D $ 其较低 [eq50] 块:[eq51]表示 通过 [eq52]$ Kimes K $ 单位矩阵对于任何标量 $ lambda $, 我们有 那[eq53]以来 X 是全职的,因此其 行列式 是 非零,我们可以 写[eq54]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了有关 行列式 块矩阵。的真人在线斗地主值 A 解真人在线斗地主方程 [eq55]要么, 等效地, 方程[eq56]这个 等式有根 [eq57] 至少重复一次 $ r $ 次。因此,的代数多重性 $ lambda _ {k} $ 至少等于其几何多重性 $ r $. 它可以更大,如果 $ lambda _ {k} $ 也是 [eq58]

真人在线斗地主值有缺陷

当重复真人在线斗地主值的几何多重性严格小于时 它的代数多重性,则该真人在线斗地主值被称为 有缺陷的.

不重复的真人在线斗地主值具有关联的真人在线斗地主向量 不同于零。因此,其本征空间的维数等于1, 其几何多重性等于1且等于其代数 多样性。因此,不重复的真人在线斗地主值也是无缺陷的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

查找是否 矩阵[eq59]具有 任何有缺陷的真人在线斗地主值。

真人在线斗地主多项式 是[eq60]和 它的根源 是[eq61]从而, 没有重复的真人在线斗地主值,因此没有缺陷 真人在线斗地主值。

练习2

定义[eq62]

确定是否 A 具有任何有缺陷的真人在线斗地主值。

真人在线斗地主多项式 是[eq63]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 拉普拉斯 扩张 沿着第三排。多项式的根 是[eq64]从而, 有一个重复的真人在线斗地主值 ([eq65]) 的代数多重性等于2。其相关真人在线斗地主向量 [eq66]解决 的 方程[eq67]要么[eq68]的 等式满足任何值 $ x_ {22} $$ x_ {12} = x_ {32} = 0 $. 结果,...的本征空间 $ lambda _ {2} $ 是包含所有向量的线性空间 $ x_ {2} $ 的 形成[eq69]哪里 标量 $ x_ {22} $ 可以任意选择。因此,本征空间 $ lambda _ {2} $ 由单个 向量[eq70]从而, 它具有维度 1, 的几何多重性 $ lambda _ {2} $ 是1,它的代数多重性是2并且是有缺陷的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主值的代数和几何多重性", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/algebraic-and-geometric-multiplicity-of-eigenvalues.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。