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增强矩阵

通过 博士

扩充矩阵是将两个或多个列合并的结果 具有相同行数的矩阵。

在线性代数中使用增强矩阵

目录

定义

一个简单的定义如下。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ a $ Kimes M $ 矩阵。然后,扩充矩阵 [eq1]是 的 [eq2] 通过附加的列获得的矩阵 $ B $ 在那些人的右边 A.

请注意,两个矩阵的编号必须相同 K 行。

当我们写增强矩阵的项时,一条垂直线用于 从视觉上分离列的 A 从那些 $ B $, 如下一个示例所示。

[eq3]然后, 扩充矩阵 [eq4][eq5]

线性方程组的扩充矩阵

考虑一个线性系统 K 中的方程 $ L $ 未知数 [eq6]代表 如 [eq7]哪里 A 是个 $ Kimes L $ 系数矩阵 x 是个 $酸橙1 $ 未知向量和 $ b $ 是个 Kx1 常数向量。

系统的增强矩阵为 [eq8]

三分之二方程组 未知数[eq9]能够 以矩阵形式表示 如 [eq7]哪里[eq11]的 系统的扩充矩阵 是[eq12]

跟踪基本行操作

正如我们所解释的 先前, 有 两种执行基本行操作的方式:

  1. 直接在线性系统上执行操作;

  2. 在单位矩阵上执行该操作,然后将系统乘以 获得的转换矩阵。

如果有几个基本操作,我们从身份开始 矩阵并依次执行所有操作。完成后,我们 将原始系统乘以由此获得的矩阵。这个程序 等效于直接在系统上执行操作序列。

通过执行序列,我们可以清楚地同时看到两个过程 扩充后所需操作的数量 矩阵[eq13]哪里 I 是单位矩阵。

考虑两个方程组中的两个 未知数[eq14]我们 有 [eq15]让 我们执行两行操作。在第一个操作中,我们减去 $3$ 从第二个方程乘以第一个方程,我们 获得[eq16]在 第二个运算,我们将第二个方程式乘以 $-1$:[eq17]从 扩充矩阵,我们可以看到转换后的系统 是[eq18]和 单位矩阵已转换为 矩阵[eq19]我们 可以轻松地验证原始系统是否预先乘以 $ R $ 等于新 系统:[eq20]

多个系统上的同时行操作

增强矩阵可用于同时执行基本行 对多个方程组进行运算,前提是所有系统 具有相同的系数矩阵 A.

假设您有两个系统具有相同的系数矩阵 A 但是两个不同的常数向量 $ b_ {1} $$ b_ {2} $:[eq21]

在增强型对象上执行基本行操作 矩阵[eq22]是 与分别对两个增强对象执行操作相同 矩阵[eq23][eq24]

要了解为什么会这样,请用 $ R $ 通过对单位矩阵执行运算而获得的矩阵。然后, 可以通过将两个系统预乘以在两个系统上执行该操作 $ R $:[eq25]

显然,我们可以使用较大的增强型来计算相同的数量 矩阵:[eq26]

考虑两个方程组中的两个 未知数[eq27]一起 一秒钟 系统:[eq28]我们 有 [eq29]减去 第一行 第二:[eq30]划分 第二排 $2$:[eq31]减去 第二行 第一:[eq32]从而, 第一个系统有 成为[eq33]和 其解决方案 是[eq34]的 第二系统有 成为[eq35]和 其解决方案 是[eq36]

在上一个示例中,我们将 A 进入身份矩阵并 $ b_ {1} $$ b_ {2} $ 进入两个系统的解决方案。这是一个普遍的结果: 系数矩阵已转换为单位矩阵,然后 常数向量已转换为线性解 系统。实际上,如果扩充矩阵已经转换 进入[eq37]然后 第一个系统 是[eq38]和 第二系统 是[eq39]

使用增强矩阵导出逆矩阵

给定一个 全职 $ Kimes K $ 矩阵 A, 它的逆 $ A ^ {-1} $ 满足 方程[eq40]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

结果,找到逆的问题 $ A ^ {-1} $ 等于找到解决方案 K 的系统 K 中的方程 K 未知数:[eq41]哪里, 在里面 k-th 方程,未知向量 [eq42] 是个 k-th 的列 $ A ^ {-1} $ 和常数向量 $ I_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 I.

这些 K 系统具有相同的系数矩阵。因此,我们可以使用该技术 如上一节所述,也就是说,我们可以使用增强型 矩阵[eq43] 同时执行基本行操作并解决系统问题。

扩充矩阵可以简单地写成 如 [eq44]以来 [eq45]K 的列 I.

如果我们变换系数矩阵 A 通过基本的行操作进入身份矩阵,然后将 I 被转化为解决方案 K 方程组(如上一段所述),以及 扩充矩阵 变成[eq46]

定义 矩阵[eq47]组 增强 矩阵[eq48]划分 第二排 $2$:[eq49]减去 第二行 第一:[eq50]然后, 与之相反 A[eq51]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "增强矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/augmented-matrix.

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