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线性空间的基础

通过 博士

一套 线性独立 向量 构成给定的基础 线性空间 当且仅当能够获得属于线性空间的所有向量 如 线性组合 向量 属于基础。

目录

定义

让我们从基础的正式定义开始。

定义$ S $ 是一个线性空间。让 [eq1]n 线性独立向量。然后, [eq2] 据说是 基础 对于 $ S $ 当且仅当 $罪S $, 存在 n 标量 $ lpha _ {1} $, ...,$ lpha _ {n} $ 这样 那[eq3]

换句话说,如果有矢量 $罪S $ 可以表示为 [eq4], 那么这些向量是 $ S $ (前提是它们也是线性独立的)。

$ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是两个 $ 2imes 1 $ 列向量 定义为 如下。[eq5]这些 两个向量是线性独立的(请参阅 线性练习 独立)。我们将证明 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是集合的基础 $ S $ 在所有 $ 2imes 1 $ 实向量。现在,取一个向量 $罪S $ 并通过以下方式表示其两个条目 $ s_ {1} $$ s_ {2} $. 向量 $ s $ 可以写成 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 如果存在两个系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 这样 那[eq6]这个 可以写 如 [eq7]因此, 这两个系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 需要满足以下线性系统 方程式[eq8]从 第二个方程,我们 获得[eq9]通过 将其代入第一个方程式,我们 得到[eq10]要么[eq11]如 a 后果,[eq12]从而, 我们已经找到了两个可以表达的系数 $ s $ 作为...的线性组合 $ x_ {1} $$ x_ {2} $, 对于任何 $罪S $. 此外, $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是线性独立的。因此,它们是 $ S $.

代表依据的唯一性

一个重要的事实是向量在基础上的表示 是独特的。

主张 如果 [eq13] 是线性空间的基础 $ S $, 然后是向量的表示 $罪S $ 就基础而言是唯一的,即存在一个且只有一组 系数 [eq14] 这样 那[eq15]

证明

证明是矛盾的。假设在那里 是两组不同的系数 [eq16][eq17] 这样 那[eq18]如果 我们从第一个方程中减去第二个方程, 获得[eq19]以来 两组系数不同,至少存在一个 $ k $ 这样 那[eq20]从而, 存在一个线性组合 [eq21], 系数不全为零,结果向量为零。 但这意味着 [eq21] 不是线性独立的,这与我们的假设相矛盾 ([eq21] 是基础,因此它们是线性独立的)。

基替换定理

替换定理指出,在适当条件下,给定 base可以通过替换其向量之一来构建另一个基础。

主张[eq21] 成为线性空间的基础 $ S $. 让 $罪S $. 如果 $s
eq 0$, 然后可以通过替换向量之一来获得新的基础 [eq21]$ s $.

证明

因为 [eq21] 是基础 $ S $$罪S $, 存在 $ n $ 标量 $ lpha _ {1} $, ...,$ lpha _ {n} $ 这样 那[eq15]在 标量中的至少一个必须与零不同,因为否则我们 将有 $s=0$, 与我们的假设相反 $s
eq 0$. 不失一般性,我们可以假设 $lpha _{1}
eq 0$ (如果不是,我们可以在基础上对向量进行重新编号)。现在,考虑 通过替换从我们的基础上获得的一组向量 $ x_ {1} $$ s $:[eq28]如果 这组新的向量是线性独立的,并且跨越 $ S $, 这是一个基础,并证明了这一命题。首先,我们要证明 线性独立性。 假设[eq29]对于 一些标量 [eq30]. 通过更换 $ s $ 并以原始形式表示 获得[eq31]因为 [eq21] 是线性独立的,这意味着 那[eq33]但 我们知道 $lpha _{1}
eq 0$. 作为结果, [eq34] 暗示 $ eta _ {1} = 0 $. 通过其他方程式的替换,我们 获得[eq35]从而, 我们可以得出结论 [eq36]暗示 所有系数 [eq30] 等于零。根据线性独立性的定义,这意味着 那 [eq38] 是线性独立的。到此为止,我们的证明的第一部分。我们现在 需要证明 [eq39] 跨度 $ S $. 换句话说,我们需要证明 $锡S $, 我们可以找 n 系数 [eq40] 这样 那[eq41]因为 [eq21] 是基础,有系数 [eq43] 这样 [eq44]从 以前的结果,我们有 那[eq15]和, 作为结果, [eq46]从而, 我们可以 写[eq47]这个 表示所需的线性表示 [eq41]是 实现 与[eq49]如 结果, [eq39] 跨度 $ S $. 至此,证明的第二部分也是最后一部分。

通过阅读证明,我们注意到我们不能任意选择向量 被取代 $ s $: 只有一些向量 [eq21] 适合更换;特别是,我们只能替换那些 在唯一性中具有非零系数 表示[eq15]

基扩展定理

基本扩展定理(也称为Steinitz交换引理)说, 给定一组向量 跨度 a 线性空间(跨越集),以及另一组线性独立 向量(独立集),我们可以通过选择来形成空间的基础 跨越集中的一些向量,并将它们包括在独立集中。

主张[eq53] 是属于线性空间的一组线性独立向量 $ S $. 让 [eq54] 是跨越的有限向量 $ S $. 如果独立设置 [eq55] 不是基础 $ S $, 然后我们可以通过邻接 [eq56] 到独立设置。

证明

定义[eq57]对于 $ j = 1,ldots,m $, 如果 [eq58][eq59]除此以外, 定义 [eq60]在 后一种情况 $ S_ {j} $ 保持线性独立,因为它是通过线性邻接 独立集 $ S_ {j-1} $ 一个向量 $ y_ {j} $ 不能写成的向量的线性组合 $ S_ {j-1} $. 在此过程的最后,我们有一组线性独立的向量 $ S_ {m} $ 跨越 $ S $ 因为任何 $ y_ {j} $ 可以写成的向量的线性组合 $ S_ {m} $, 和任何 $罪S $ 可以写成向量的线性组合 [eq61]. 因此, $ S_ {m} $ 是基础 $ S $.

存在基础

基本扩展定理意味着每个有限维线性空间 有依据。这将在关于 线性尺寸 空间.

一个空间的所有基数都具有相同的基数

另一个重要的事实,也将在关于 线性尺寸 空间,是指空间的所有底数都具有相同数量的元素。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性空间的基础", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/basis-of-a-linear-space.

这本书

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