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基础变更

通过 博士

基础的改变是一种允许我们表达向量的技术 关于不同于“旧”的“新基础”进行协调 基础”,最初用于计算坐标。

目录

座标

假设一个有限维的 向量空间 $ S $ 拥有 基础 [eq1].

然后,任何向量 $罪S $ 可以写成 基础:[eq2]哪里 标量系数 [eq3] 是唯一确定的。

请记住 Kx1 向量[eq4]是 叫做 坐标向量$ s $ 关于基础 $ B $.

$ S $ 是向量空间, [eq5] 的基础 $ S $. 考虑一下 向量[eq6]它的 坐标向量 是[eq7]

基础变化矩阵

假设我们有第二个基础 [eq8]. 由 尺寸 定理, $ B $$ C $ 有相同的号码 K 向量。

我们要问的第一个问题是:当我们协调时会发生什么 从使用切换 $ B $ 作为使用的基础 $ C $? 特别是,我们如何变换坐标向量 [eq9] 成向量 [eq10] 关于新基础的坐标?

答案由以下命题提供。

主张$ S $ 是向量空间。让 [eq11][eq12] 是两个基地 $ S $. 然后,存在一个 $ Kimes K $ 矩阵,用 $ S_ {B
ightarrow C} $ 并称为基础变化矩阵,这样,对于任何 $罪S $,[eq13]哪里 [eq14][eq15] 表示的坐标向量 $ s $ 关于 $ B $$ C $ 分别。

证明

[eq16]是 的表示 $ s $ 就......而言 $ B $. 由 附加规则 坐标向量的标量乘法, 我们有 那[eq17]哪里 [eq18]Kx1 元素的坐标向量 $ B $ 关于 $ C $. 毗邻这些 K 向量以形成一个 $ Kimes K $ 矩阵[eq19]以来[eq20]我们 可以写方程式(1) 如 [eq21]因为 产品 [eq22] 等于的列的线性组合 $ S_ {B
ightarrow C} $, 取自 [eq14] (请参阅有关 矩阵 产品和线性组合)。注意 $ S_ {B
ightarrow C} $ 不依赖于特定的选择 $ s $, 因为它仅取决于两个基础 $ B $$ C $.

从先前的证明中得出的主要结论是, 基础变化矩阵 $ S_ {B
ightarrow C} $ 是原始基础的向量的坐标 $ B $ 关于新基础 $ C $:[eq24]

正如下一个命题所证明的,基矩阵的变化是 可逆的。

主张$ S $ 是向量空间。让 [eq11][eq12] 是两个基地 $ S $. 然后,基础变化矩阵 $ S_ {B
ightarrow C} $ 可逆的 及其逆 等于 $ S_ {C
ightarrow B} $, 那 是的[eq27]

证明

对于任何 $罪S $, 我们有 那[eq21][eq29]通过 结合这两个方程,我们 获得[eq30]这个 可以对每个人都适用 $罪S $ 除非 [eq31]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵。后者 结果暗示 $ S_ {C
ightarrow B} $ 是...的逆 $ S_ {B
ightarrow C} $.

让我们举一个例子。

考虑空间 $ S $ 在所有 $ 2imes 1 $ 向量和两个基 [eq32][eq33][eq34][eq35]我们 有[eq36]从而, 元素的坐标向量 $ B $ 关于 $ C $[eq37]因此, 当我们从 $ B $$ C $, 基础变化矩阵 是[eq38]对于 举个例子 向量[eq39]以来[eq40]的 的坐标 $ s $ 关于 $ B $[eq41]它的 相对于 $ C $ 由于基础的改变,可以很容易地计算出 矩阵:[eq42]我们 可以轻松检查这是 正确:[eq43]

对线性算子矩阵的影响

记住向量空间上的线性算子 $ S $ 是一个功能 $ f:S
ightarrow S $ 这样 那[eq44]对于 任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $.

给定基础 [eq45] 对于 $ S $, 的 线性矩阵 算子 关于 $ B $ 是广场 $ Kimes K $ 矩阵 [eq46] 这样 那[eq47]对于 任何向量 $罪S $ (另请参阅有关 线性图矩阵)。 换句话说,如果您将运算子的矩阵乘以座标 的向量 $ s $, 然后获得的坐标向量 $ fleft(s
权)$.

当我们切换到新的基础时,运算符的矩阵会发生什么?的 下一个命题为这个问题提供了答案。

主张$ S $ 是一个线性空间。让 [eq48][eq12] 是两个基地 $ S $. 让 $ f:S
ightarrow S $ 成为线性算子。表示为 [eq50][eq51] 线性算子相对于 $ B $$ C $ 分别。然后, [eq52]要么, 等效地,[eq53]哪里 $ S_ {B
ightarrow C} $$ S_ {C
ightarrow B} $ 是允许从以下位置切换的基础变化矩阵 $ B $$ C $ 反之亦然。

证明

$罪S $. 我们可以使用基础变化矩阵 $ S_ {C
ightarrow B} $ 改变 座标[eq29][eq55]因此, 的矩阵表示 算子[eq47]能够 被写 如 [eq57]要么[eq58]从而, 的 矩阵[eq59]是 的矩阵 $ f $ 关于 $ C $ (这是唯一的)。其他 话,[eq60]以来 [eq61]我们 也能 写[eq53]

因此,基础变化矩阵可以轻松切换 线性算子相对于 旧基础 关于新基础的矩阵。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

让我们考虑一下空间 $ S $ 在上面的示例中介绍了两个基础 [eq63][eq34]. 在该示例中,我们显示了基础变化矩阵 是[eq65]此外,[eq66]$ f $ 是这样的线性算子 那[eq67]找 矩阵 [eq68] 然后使用基础变化公式得出 [eq51][eq68].

线性算子的矩阵 尊重基础 $ B $[eq71]的 基础变更公式 给[eq72]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "基础变更", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/change-of-basis.

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