基础的改变是一种允许我们表达向量的技术 关于不同于“旧”的“新基础”进行协调 基础”,最初用于计算坐标。
然后,任何向量
可以写成
基础:
哪里
标量系数
是唯一确定的。
请记住
向量
是
叫做 坐标向量
的
关于基础
.
例
让
是向量空间,
的基础
.
考虑一下
向量
它的
坐标向量
是
假设我们有第二个基础
.
由 尺寸
定理,
和
有相同的号码
向量。
我们要问的第一个问题是:当我们协调时会发生什么
从使用切换
作为使用的基础
?
特别是,我们如何变换坐标向量
成向量
关于新基础的坐标?
答案由以下命题提供。
主张
让
是向量空间。让
和
是两个基地
.
然后,存在一个
矩阵,用
并称为基础变化矩阵,这样,对于任何
,
哪里
和
表示的坐标向量
关于
和
分别。
让
是
的表示
就......而言
.
由 附加规则
坐标向量的标量乘法, 我们有
那
哪里
是
元素的坐标向量
关于
.
毗邻这些
向量以形成一个
矩阵
以来
我们
可以写方程式(1)
如
因为
产品
等于的列的线性组合
,
取自
(请参阅有关
矩阵
产品和线性组合)。注意
不依赖于特定的选择
,
因为它仅取决于两个基础
和
.
从先前的证明中得出的主要结论是,
基础变化矩阵
是原始基础的向量的坐标
关于新基础
:
正如下一个命题所证明的,基矩阵的变化是 可逆的。
主张
让
是向量空间。让
和
是两个基地
.
然后,基础变化矩阵
是 可逆的 及其逆
等于
,
那
是的
对于任何
,
我们有
那
和
通过
结合这两个方程,我们
获得
这个
可以对每个人都适用
除非
哪里
是个
单位矩阵。后者
结果暗示
是...的逆
.
让我们举一个例子。
例
考虑空间
在所有
向量和两个基
与
和
与
我们
有
从而,
元素的坐标向量
关于
是
因此,
当我们从
至
,
基础变化矩阵
是
对于
举个例子
向量
以来
的
的坐标
关于
是
它的
相对于
由于基础的改变,可以很容易地计算出
矩阵:
我们
可以轻松检查这是
正确:
记住向量空间上的线性算子
是一个功能
这样
那
对于
任何两个向量
和任何两个标量
和
.
给定基础
对于
,
的 线性矩阵
算子 关于
是广场
矩阵
这样
那
对于
任何向量
(另请参阅有关
线性图矩阵)。
换句话说,如果您将运算子的矩阵乘以座标
的向量
,
然后获得的坐标向量
.
当我们切换到新的基础时,运算符的矩阵会发生什么?的 下一个命题为这个问题提供了答案。
主张
让
是一个线性空间。让
和
是两个基地
.
让
成为线性算子。表示为
和
线性算子相对于
和
分别。然后,
要么,
等效地,
哪里
和
是允许从以下位置切换的基础变化矩阵
至
反之亦然。
让
.
我们可以使用基础变化矩阵
改变
座标
和
因此,
的矩阵表示
算子
能够
被写
如
要么
从而,
的
矩阵
是
的矩阵
关于
(这是唯一的)。其他
话,
以来
我们
也能
写
因此,基础变化矩阵可以轻松切换 从 线性算子相对于 旧基础 至 关于新基础的矩阵。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让我们考虑一下空间
在上面的示例中介绍了两个基础
和
.
在该示例中,我们显示了基础变化矩阵
是
此外,
让
是这样的线性算子
那
找
矩阵
然后使用基础变化公式得出
从
.
线性算子的矩阵
尊重基础
是
的
基础变更公式
给
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "基础变更", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/change-of-basis.