基础变更

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

基础的改变是一种允许我们表达向量的技术 关于不同于“旧”的“新基础”进行协调 基础”，最初用于计算坐标。

座标

假设一个有限维的 向量空间 拥有 基础 .

然后，任何向量 可以写成 基础：哪里 标量系数 是唯一确定的。

请记住 向量是 叫做 坐标向量 的 关于基础 .

基础变化矩阵

假设我们有第二个基础 . 由 尺寸 定理, 和 有相同的号码 向量。

我们要问的第一个问题是：当我们协调时会发生什么 从使用切换 作为使用的基础 ? 特别是，我们如何变换坐标向量 成向量 关于新基础的坐标？

答案由以下命题提供。

从先前的证明中得出的主要结论是， 基础变化矩阵 是原始基础的向量的坐标 关于新基础 :

正如下一个命题所证明的，基矩阵的变化是 可逆的。

让我们举一个例子。

对线性算子矩阵的影响

记住向量空间上的线性算子 是一个功能 这样 那对于 任何两个向量 和任何两个标量 和 .

给定基础 对于 , 的 线性矩阵 算子 关于 是广场 矩阵 这样 那对于 任何向量 （另请参阅有关 线性图矩阵）。 换句话说，如果您将运算子的矩阵乘以座标 的向量 , 然后获得的坐标向量 .

当我们切换到新的基础时，运算符的矩阵会发生什么？的 下一个命题为这个问题提供了答案。

因此，基础变化矩阵可以轻松切换 从 线性算子相对于 旧基础 至 关于新基础的矩阵。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让我们考虑一下空间 在上面的示例中介绍了两个基础 和 . 在该示例中，我们显示了基础变化矩阵 是此外，让 是这样的线性算子 那找 矩阵 然后使用基础变化公式得出 从 .

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "基础变更", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/change-of-basis.