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特征多真人在线斗地主

通过 博士

方阵的特征多真人在线斗地主是具有 矩阵的特征值作为其根。

我们已经在中引入了特征多真人在线斗地主 讲座 特征值。在这里，我们将更详细地研究其属性。

目录

目录

  1. 定义

  2. 度

  3. 不变

  4. 跟踪

  5. 代数基本定理

  6. 解决的练习

    1. 练习1

定义

这是一个定义。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。的特征多真人在线斗地主 A 是个 多真人在线斗地主[eq1]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵.

这是一个简单的例子。

例 定义 2元2元 矩阵[eq2]然后[eq3]因此， 的特征多真人在线斗地主 A 是[eq4]

度

特征多真人在线斗地主为 一元 （即 其最高功率的系数为 1) 它的度等于矩阵的维数

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。的特征多真人在线斗地主 A 是度数的单项多真人在线斗地主 K.

证明

这个命题可以通过使用 的定义 行列式[eq5]哪里 $ P $ 是所有的集合 排列 第一个 K 自然数。从而， $ cleft（z 权）$ 是的多真人在线斗地主之和 形成[eq6]的 具有最高程度的这种形式的多真人在线斗地主是所有 因素 [eq7] 是...的对角线元素 $ zI-A $. 它对应于排列 $ pi _ {0} $ 在其中 K 自然数按升序排序。的平价 $ pi _ {0} $ 是偶数，其符号是 [eq8]因为 它不包含任何反转（请参见有关 排列的迹象）。 因此，具有最高程度的求和 是[eq9]哪一个 有学位 K 并且是一元的。所有其他被要求数的度小于 K. 因此， $ c $ 有学位 K 并且是一元的。

不变

作为度数的单项多真人在线斗地主 K, 可以写特征多真人在线斗地主 如 [eq10]

因此，[eq11]哪里 最后的平等是 的属性 行列式.

跟踪

我们还有以下内容 属性：[eq12]哪里 [eq13] 是个 跟踪 的 A. 这个事实的证明可以在本文结尾的解决练习中找到 演讲。

代数基本定理

根据代数的基本定理，一个单价多真人在线斗地主 K 可以将系数复杂的因素分解为 K 线性因子（修订 讲座 多真人在线斗地主 如果您感到困惑）。结果，特征 可以写多真人在线斗地主 如 [eq14]哪里 [eq15] 是...的根源 $ cleft（z 权）$, 也就是说，这样的价值观 那[eq16]

换句话说，特征多真人在线斗地主的根是特征值 的 A.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

证明上述主张 那[eq12]

解

我们已经在上面看到了 特征多真人在线斗地主 $ cleft（z 权）$ 是一个总和 多真人在线斗地主：[eq18]哪里 $ pi $ 是第一个的排列 K 自然数。我们已经看到只有一个求和 包含一个 $ z ^ {K} $ 项，对应于排列，使得 [eq19]. 这也是唯一包含 $ z ^ {K-1} $ 这个词是因为，一旦我们将两个数字的顺序求反 排列，两个对角项从乘积中退出 [eq20]因此， 我们只需要找到 $ z ^ {K-1} $ 在产品中 [eq21]通过 扩展产品，我们可以看到所有 $ z ^ {K-1} $ 术语的形式 [eq22]和 有 K 这样的条款 $ j = 1，ldots，K $）。 因此， [eq23]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "特征多真人在线斗地主", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/characteristic-polynomial.

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