如果向量空间的两个子空间是直接的,则称它们是互补的 sum给出整个向量空间。
让
成为 线性空间 和
和
的两个子空间
.
请记住,总和
是包含所有向量的子空间,可以将这些向量写成a的和
来自的向量
和另一个向量
:
此外,
据说是 直接和,并且
用表示
,
当且仅当满足以下等效条件之一时:
;
两个非零向量
和
是 线性独立
每当
和
;
唯一的选择方式
和
这样
是选择
;
对于任何
,
存在一对独特的情侣
和
这样
.
现在我们准备提供互补子空间的定义。
定义
让
是一个线性空间。让
和
是的两个子空间
.
据说是对
当且仅
如果
如上所述,互补性显然是对称的。如果
与...互补
,
然后
与...互补
我们可以简单地说
和
是互补的。
因此,当
和
是补码,有一种独特的方式可以“分解”向量
成一个组件
和另一个组件
,
哪里分解
是
让我们看一个简单的例子。
例
让
成为所有人的空间
列向量。让
成为空间 跨度 由
向量
那
是的
包含的所有标量倍数
.
让
是由
向量
没有
的非零向量
是的向量的标量倍数
.
因此,
和总和
是直接和。而且,任何
向量
能够
被写
如
哪里
和
.
从而,
哪一个
意思是
和
是互补的。
互补子空间不一定是唯一的。
例
让
,
和
与前面的示例相同。让
是由
向量
没有
的非零向量
是的向量的标量倍数
.
因此,
和总和
是直接和。而且,任何
向量
能够
被写
如
哪里
和
.
从而,
和
,
这表明没有唯一的互补子空间
.
以下命题通过以下方面描述了互补子空间: 他们的基地。
让我们从头开始证明“仅当”部分
从这个假设
和
是互补的。任何向量
可以唯一地写
如
哪里
和
.
而且,通过依据基础的唯一性,
哪里
标量
是独一无二的
同样,
从而
在以下方面具有独特的代表
:
我们
已经确定
跨度
.
我们仍然需要证明它是线性独立的,以便证明
这是基础。假设
那
以来
,
肯定是
那
和
以来
和
,
作为基,是线性独立的集合,上面的两个方程式暗示
和
从而,
集向量的唯一线性组合
给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个
意思是
是线性独立的。因此,
是基础
.
现在,我们可以从以下假设开始证明“如果”部分:
基地
的
和
的
,
工会
是基础
.
任意选择两个基地(由于我们拥有
假设
是有限的)。事实
是基础
暗示任何向量
可以唯一地写成
线性组合
以来
是基础
,
我们有
那
和
因此,
任何向量
可以唯一代表
如
哪里
和
.
从而,
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "互补子空间", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/complementary-subspace.