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互补子空间

通过 博士

如果向量空间的两个子空间是直接的,则称它们是互补的 sum给出整个向量空间。

目录

初赛

 $ S $ 成为 线性空间$ S_ {1} $$ S_ {2} $ 的两个子空间  $ S $ .

请记住,总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 是包含所有向量的子空间,可以将这些向量写成a的和 来自的向量 $ S_ {1} $ 和另一个向量 $ S_ {2} $:[eq1]

此外, $ S_ {1} + S_ {2} $ 据说是 直接和,并且 用表示 $ S_ {1} oplus S_ {2} $, 当且仅当满足以下等效条件之一时:

定义

现在我们准备提供互补子空间的定义。

定义 $ S $ 是一个线性空间。让 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是的两个子空间  $ S $ . $ S_ {1} $ 据说是对 $ S_ {2} $ 当且仅 如果 [eq4]

如上所述,互补性显然是对称的。如果 $ S_ {1} $ 与...互补 $ S_ {2} $, 然后 $ S_ {2} $ 与...互补 $ S_ {1} $ 我们可以简单地说 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是互补的。

因此,当 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是补码,有一种独特的方式可以“分解”向量 $罪S $ 成一个组件 S $ {s}美元 和另一个组件 S_ {2} $中的$ s_ {2}, 哪里分解 是 [eq5]

让我们看一个简单的例子。

 $ S $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 列向量。让 $ S_ {1} $ 成为空间 跨度 由 向量[eq6] 那 是的 $ S_ {1} $ 包含的所有标量倍数 $ e_ {1} $. 让 $ S_ {2} $ 是由 向量[eq7] 没有 的非零向量 $ S_ {2} $ 是的向量的标量倍数 $ S_ {1} $. 因此, [eq8] 和总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 是直接和。而且,任何 向量[eq9] 能够 被写 如 [eq10]哪里 [eq11][eq12]. 从而, [eq13]哪一个 意思是 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是互补的。

互补子空间不一定是唯一的

互补子空间不一定是唯一的。

 $ S $ , $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 与前面的示例相同。让 $ S_ {3} $ 是由 向量[eq14] 没有 的非零向量 $ S_ {3} $ 是的向量的标量倍数 $ S_ {1} $. 因此, [eq15] 和总和 $ S_ {1} + S_ {3} $ 是直接和。而且,任何 向量[eq16] 能够 被写 如 [eq17]哪里 [eq18][eq19]. 从而, [eq20]$S_{2}
eq S_{3}$, 这表明没有唯一的互补子空间 $ S_ {1} $.

根据碱基进行表征

以下命题通过以下方面描述了互补子空间: 他们的基地。

主张 $ S $ 成为 有限维的 线性空间。让 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是的两个子空间  $ S $ . 然后, $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是互补的,当且仅当,对于任何 基础 [eq21]$ S_ {1} $ 和任何依据 [eq22]$ S_ {2} $, 他们的工会 $杯C $ 是基础  $ S $ .

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这个假设 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是互补的。任何向量 $罪S $ 可以唯一地写 如 [eq23]哪里 S_ {1} $中的$ s_ {1}S_ {2} $中的$ s_ {2}. 而且,通过依据基础的唯一性, [eq24]哪里 标量 [eq25] 是独一无二的 同样,[eq26] 从而  $ s $ 在以下方面具有独特的代表 $杯C $:[eq27] 我们 已经确定 $杯C $ 跨度  $ S $ . 我们仍然需要证明它是线性独立的,以便证明 这是基础。假设 那 [eq28] 以来 [eq29], 肯定是 那 [eq30][eq31] 以来  $ B $  $ C $ , 作为基,是线性独立的集合,上面的两个方程式暗示 [eq32][eq33] 从而, 集向量的唯一线性组合 $杯C $ 给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个 意思是 $杯C $ 是线性独立的。因此, $杯C $ 是基础  $ S $ . 现在,我们可以从以下假设开始证明“如果”部分: 基地 [eq34]$ S_ {1} $[eq35]$ S_ {2} $, 工会 $杯C $ 是基础  $ S $ . 任意选择两个基地(由于我们拥有 假设  $ S $ 是有限的)。事实 $杯C $ 是基础  $ S $ 暗示任何向量 $罪S $ 可以唯一地写成 线性组合 [eq36] 以来  $ B $ 是基础 $ S_ {1} $, 我们有 那 [eq37][eq38]因此, 任何向量 $罪S $ 可以唯一代表 如 [eq39]哪里 S_ {1} $中的$ s_ {1}S_ {2} $中的$ s_ {2}. 从而, [eq29].

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "互补子空间", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/complementary-subspace.

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