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复数向量和矩阵

通过 博士

至此,我们在线性代数研究中取得了进展 曾经指定我们的条目是否 向量和矩阵 是 实数或复数。尽管这样介绍了示例和练习 远涉及实数矩阵(即具有实数项的矩阵), 在先前的讲座中发现的定义,命题和结果是 适用于无需修改复杂矩阵(即其矩阵 条目是复数)。实际上,如果您修改这些讲座,您将 意识到无处,尤其是在没有证据的情况下,有必要假设 矩阵或向量为实数。唯一的警告是,当我们处理 复杂矩阵,我们在取时也需要使用复杂标量 线性组合.

在本讲座中,我们将修订关于复杂性的一些基本事实 数字。然后,我们展示复杂矩阵的一些基本属性,并提供 一些有用的定义。

目录

复数

复数  $ z $ 是可以写的数字 如 [eq1] 哪里 a $ b $ 是实数,称为复数的实部和虚部 分别, 和 [eq2] 是 称为虚单位。

因此,当我们处理复数时,我们会利用关键的“技巧” 再次是 [eq3]

虚数可以找到没有实数的方程的解 解决方案。例如, 方程 [eq4] 具有 没有真正的解决方案,但是它有两个假想的 解决方案 [eq5]

实数是虚数为零的复数。后者是 通常被省略,也就是说,而不是写  $ a + 0点b $ 我们只是写  $ a $ .

复合共轭物

一个重要的概念是 复合共轭 。 给定一个 复杂 数 [eq6] 它的 共轭,用  $ overline {z} $ , 是 [eq7]

结果,双重共轭留下了数字 不变: [eq8]

复数的代数

复数的代数与实数的代数相似。 鉴于两个复杂 数字 [eq9] 我们 有以下规则:

  1. 加成: [eq10]

  2. 减法: [eq11]

  3. 乘法: [eq12]

  4. 师: [eq13]

共轭的分布特性

请注意,共轭是在 加成: [eq14] 和 下 乘法:[eq15]

复数的模数

复数的模数(或绝对值)  $ z = a + ib $ 被定义为 如 [eq16]

在这里,我们只考虑正根。

显然,模量始终是实数。

复杂矩阵

复数矩阵(和向量)是条目为复数的矩阵。

矩阵的复共轭

给定一个  $ Kimes L $ 矩阵 A, 其复杂的共轭物  $ overline {A} $ 是这样的矩阵 [eq17] 那 是个 $ left(k,l
权)$ -th 进入  $ overline {A} $ 等于的复共轭 $ left(k,l
权)$ -th 进入 A, 对于任何  $ kleq K $  $ lleq L $ .

定义矩阵 [eq18] 然后 其复杂的共轭物 是 [eq19]

共轭的分布特性

保持复数共轭的分布特性 也适用于矩阵的共轭。

主张 如果 A $ B $ 是两个  $ Kimes L $ 矩阵 然后 [eq20]

证明

我们有 [eq21] 对于 任何 k $ l $ , 由复数共轭下的分布特性 加成。

主张 如果 A $ Kimes L $ 矩阵和  $ B $ 是一个  $酸橙M $ 矩阵, 然后 [eq22]

证明

我们有 [eq23] 对于 任何 k $ m $ , 由复数共轭下的分布特性 加法和乘法。

主张 如果 A 是一个  $ Kimes L $ 矩阵和  $ lpha $ 是标量, 然后 [eq24]

证明

我们 有 [eq25] 对于 任何 k $ l $ , 根据...的定义 乘法 标量矩阵 并通过 乘法下复数的共轭。

实矩阵的共轭

一个琐碎但有用的属性是取矩阵的共轭 仅具有真实条目不会更改矩阵。换句话说,如果 A 只有真实的条目, 然后 [eq26]

这是因为实数可以看作是复数 虚部为零的数字。但是共轭所做的只是改变 复数虚部的符号。因此,实数 等于其共轭。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义两个 向量 [eq27] 计算 以下模数: [eq28]

的产品 $ A ^ {intercal} $ $ B $ [eq29] 和 它的模量 是 [eq30]

练习2

定义 [eq31][eq32] 计算 [eq33]

首先,我们可以替代  $ z $ 进入 A:[eq34] 的 的复共轭 A[eq35] 的 我们需要计算的产品 是 [eq36]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "复数向量和矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/complex-vectors-and-matrices.

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