至此,我们在线性代数研究中取得了进展 曾经指定我们的条目是否 向量和矩阵 是 实数或复数。尽管这样介绍了示例和练习 远涉及实数矩阵(即具有实数项的矩阵), 在先前的讲座中发现的定义,命题和结果是 适用于无需修改复杂矩阵(即其矩阵 条目是复数)。实际上,如果您修改这些讲座,您将 意识到无处,尤其是在没有证据的情况下,有必要假设 矩阵或向量为实数。唯一的警告是,当我们处理 复杂矩阵,我们在取时也需要使用复杂标量 线性组合.
在本讲座中,我们将修订关于复杂性的一些基本事实 数字。然后,我们展示复杂矩阵的一些基本属性,并提供 一些有用的定义。
复数
是可以写的数字
如
哪里
和
是实数,称为复数的实部和虚部
分别,
和
是
称为虚单位。
因此,当我们处理复数时,我们会利用关键的“技巧”
再次是
虚数可以找到没有实数的方程的解
解决方案。例如,
方程 具有
没有真正的解决方案,但是它有两个假想的
解决方案
实数是虚数为零的复数。后者是
通常被省略,也就是说,而不是写
我们只是写
.
一个重要的概念是 复合共轭 。 给定一个
复杂
数 它的
共轭,用
,
是
结果,双重共轭留下了数字
不变:
复数的代数与实数的代数相似。
鉴于两个复杂
数字 我们
有以下规则:
加成:
减法:
乘法:
师:
请注意,共轭是在
加成: 和
下
乘法:
复数的模数(或绝对值)
被定义为
如
在这里,我们只考虑正根。
显然,模量始终是实数。
复数矩阵(和向量)是条目为复数的矩阵。
给定一个
矩阵
,
其复杂的共轭物
是这样的矩阵
那
是个
-th
进入
等于的复共轭
-th
进入
,
对于任何
和
.
例
定义矩阵
然后
其复杂的共轭物
是
保持复数共轭的分布特性 也适用于矩阵的共轭。
主张
如果
和
是两个
矩阵
然后
我们有
对于
任何
和
,
由复数共轭下的分布特性
加成。
主张
如果
是
矩阵和
是一个
矩阵,
然后
我们有
对于
任何
和
,
由复数共轭下的分布特性
加法和乘法。
主张
如果
是一个
矩阵和
是标量,
然后
我们
有 对于
任何
和
,
根据...的定义
乘法
标量矩阵 并通过
乘法下复数的共轭。
一个琐碎但有用的属性是取矩阵的共轭
仅具有真实条目不会更改矩阵。换句话说,如果
只有真实的条目,
然后
这是因为实数可以看作是复数 虚部为零的数字。但是共轭所做的只是改变 复数虚部的符号。因此,实数 等于其共轭。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义两个
向量 计算
以下模数:
的产品
和
是
和
它的模量
是
定义
和
计算
首先,我们可以替代
进入
:
的
的复共轭
是
的
我们需要计算的产品
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "复数向量和矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/complex-vectors-and-matrices.