复数向量和矩阵

通过 马可·塔波加（Marco Taboga） 博士

至此，我们在线性代数研究中取得了进展 曾经指定我们的条目是否 向量和矩阵 是 实数或复数。尽管这样介绍了示例和练习 远涉及实数矩阵（即具有实数项的矩阵）， 在先前的讲座中发现的定义，命题和结果是 适用于无需修改复杂矩阵（即其矩阵 条目是复数）。实际上，如果您修改这些讲座，您将 意识到无处，尤其是在没有证据的情况下，有必要假设 矩阵或向量为实数。唯一的警告是，当我们处理 复杂矩阵，我们在取时也需要使用复杂标量 线性组合.

在本讲座中，我们将修订关于复杂性的一些基本事实 数字。然后，我们展示复杂矩阵的一些基本属性，并提供 一些有用的定义。

复数

复数 是可以写的数字 如 哪里 和 是实数，称为复数的实部和虚部 分别， 和 是 称为虚单位。

因此，当我们处理复数时，我们会利用关键的“技巧” 再次是

虚数可以找到没有实数的方程的解 解决方案。例如， 方程 具有 没有真正的解决方案，但是它有两个假想的 解决方案

实数是虚数为零的复数。后者是 通常被省略，也就是说，而不是写 我们只是写 .

复合共轭物

一个重要的概念是 复合共轭 。 给定一个 复杂 数 它的 共轭，用 , 是

结果，双重共轭留下了数字 不变：

复数的代数

复数的代数与实数的代数相似。 鉴于两个复杂 数字 我们 有以下规则：

1. 加成：

2. 减法：

3. 乘法：

4. 师：

共轭的分布特性

请注意，共轭是在 加成： 和 下 乘法：

复数的模数

复数的模数（或绝对值） 被定义为 如

在这里，我们只考虑正根。

显然，模量始终是实数。

复杂矩阵

复数矩阵（和向量）是条目为复数的矩阵。

矩阵的复共轭

给定一个 矩阵 , 其复杂的共轭物 是这样的矩阵 那 是个 -th 进入 等于的复共轭 -th 进入 , 对于任何 和 .

共轭的分布特性

保持复数共轭的分布特性 也适用于矩阵的共轭。

实矩阵的共轭

一个琐碎但有用的属性是取矩阵的共轭 仅具有真实条目不会更改矩阵。换句话说，如果 只有真实的条目， 然后

这是因为实数可以看作是复数 虚部为零的数字。但是共轭所做的只是改变 复数虚部的符号。因此，实数 等于其共轭。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义两个 向量 计算 以下模数：

练习2

定义 和 计算

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "复数向量和矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/complex-vectors-and-matrices.