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线性图的组成

通过 博士

两个或更多线性图的组合(也称为线性函数或 线性变换)具有两者所享有的相同线性特性 正在组成地图。此外,复合变换的矩阵为 等于 的乘积 矩阵 的两个原始地图。

目录

初赛

记住,转变 $ f:S
ightarrow T $ (哪里  $ S $  $ T $ 是向量空间)被称为 线性图 当且仅 如果 [eq1] 对于 任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $.

我们还需要记住,两个功能的组合 $ f:S
ightarrow T $$ g:T
ightarrow U $ 是一个新功能 [eq2] 定义的 通过 [eq3] 对于 任何 $罪S $.

假设 $ S = T = U = U {211d} $, [eq4][eq5]. 然后, [eq6]

成分保持线性

函数组成的第一个重要属性是它保留 线性。

主张 $ S $ ,  $ T $  美元 是 三 线性空间 。 让 $ f:S
ightarrow T $$ g:T
ightarrow U $ 是两个功能。如果  $ f $  $ g $ 是线性图,然后是复合变换 [eq7] 是线性图。

证明

选择任意两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 然后, [eq8] 哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实  $ f $ 是线性的在步 $ rame {B} $ 我们已经使用了  $ g $ . 从而, $ gcirc f $ 是线性的。

 $ S $ ,  $ T $  美元 分别是 $ 3imes 1 $, $ 2imes 1 $$ 3imes 1 $ 具有真实条目的列向量。定义地图 $ f:S
ightarrow T $[eq9] 哪里 F 是一个 2元3元 矩阵,因此,对于每个 $罪S $, 产品  $ Fs $ 是一个 $ 2imes 1 $ 属于的向量  $ T $ . 同时定义地图 $ g:T
ightarrow U $[eq10] 哪里  $ G $ 是一个 3美金2美金 矩阵,因此,对于每个  $锡T $ , 产品  $ Gt $ 是一个 $ 3imes 1 $ 属于的向量  美元 . 在上一讲中,我们证明了 矩阵乘法定义线性 地图 在列向量的空间上。作为结果,  $ f $  $ g $ 是线性图。因此,根据先前的命题, 功能 $ gcirc f $ 是线性的。线性保持也可以通过直接计算 组成[eq11] 哪里 我们可以看到 3美金3美金 矩阵  $ GF $ 定义线性变换 [eq12].

组成矩阵

记住,给定两个线性空间  $ S $  $ T $ , 分别具有两个 基地  $ B $  $ C $ , 每个线性图 $ f:S
ightarrow T $ 与矩阵相关 [eq13] 这样,对于任何 $罪S $,[eq14] 哪里 [eq15] 是个 坐标向量 $ s $ 关于基础  $ B $ [eq16] 是的坐标向量 $ fleft(s
权)$ 关于基础  $ C $ . 矩阵 [eq17] 叫做 的矩阵 线性图 关于基础  $ B $  $ C $ .

下一个命题表明两个线性图的组成是 等同于将两个矩阵相乘。

主张 $ S $ ,  $ T $  美元 是 具有底线的三个线性空间  $ B $ ,  $ C $  $ D $ 分别。让 $ f:S
ightarrow T $$ g:T
ightarrow U $ 是两个线性图。表示为 [eq18] 的矩阵  $ f $ 关于  $ B $  $ C $ . 表示为 [eq19] 的矩阵  $ g $ 关于  $ C $  $ D $ . 然后,复合功能 $ gcirc f $ 是这样的唯一线性图 那 [eq20]

证明

采取任何 $罪S $. 然后,  $ f $ 地图  $ s $ 成向量 [eq21] 给出其坐标 通过 [eq22] 哪里 矩阵 [eq23] 保证存在并且是唯一的(请参阅 线性图矩阵 )。 现在,拿 $ fleft(s
权)$ 并通过映射  $ g $ 成向量 [eq24] 有 座标[eq25] 哪里 矩阵 [eq26] 保证存在并且是唯一的。通过将(1)代入(2),我们 获得 [eq27] 以来 这对任何人都是如此 $罪S $, 我们有独特的矩阵 产品[eq28] 是 线性图的矩阵 [eq29].

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

 $ S $ ,  $ T $  美元 分别是线性空间 跨度 根据基地 [eq30]

$ f:S
ightarrow T $ 是这样的线性图 那 [eq31]$ g:T
ightarrow U $ 是这样的线性图 那 [eq32]

查找矩阵 [eq23], [eq26][eq35].

变换后的坐标向量 基础要素  $ B $ 关于  $ C $ [eq36][eq37][eq38] 这些 坐标向量是变换矩阵的列: [eq39] 的 基础的变换元素的坐标向量  $ C $ 关于  $ D $ [eq40][eq41] 从而, 我们 有 [eq42][eq43]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性图的组成", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/composition-of-linear-maps.

这本书

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