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共轭转置

通过 博士

它经常发生在矩阵代数中,我们需要转置并取 矩阵的复共轭。顺序应用的结果 这两个操作称为共轭转置(或Hermitian转置)。 数学文献中使用特殊符号来表示该双 操作。

目录

定义

矩阵的共轭转置 A 是矩阵 $ A ^ {st} $ 定义的 通过[eq1]哪里 $ op $ 表示转置,上划线表示复共轭。

请记住,矩阵的复共轭是通过取 每个条目的复共轭(请参阅 复杂矩阵)。

在定义中,我们使用了这样一个事实,即换位的顺序 和共轭的执行是无关紧要的:是否虚构的符号 的一部分 A 在将条目移动到其他位置之前或之后切换 更改最终结果。

定义矩阵 [eq2]它的 共轭 是[eq3]和 其共轭转置 是[eq4]

符号

文献中使用了几种不同的符号来代替 $ st $ 到目前为止我们使用的符号。

最常见的替代方法是 H 符号(用于 厄米(Hermitian):[eq5]

和 匕首:[eq6]

物产

共轭转座的特性是 转座和共轭的特性。因此,我们列出其中一些 没有证据。

对于任何两个矩阵 A$ B $ 这样下面的操作是定义明确的,并且可以标量 $ zin U {2102} $, 我们有

厄米矩阵

等于其共轭转置的矩阵称为Hermitian(或 自伴)。换一种说法, A 是且仅是埃尔米特 如果[eq12]

考虑矩阵 [eq13]然后 其共轭转置 是[eq14]如 结果 A 是埃尔米特人。

表示为 $ A_ {ij} $$ left(i,j
权)$-th 进入 A[eq15]$ left(i,j
权)$-th 进入 $ A ^ {st} $. 根据共轭转置的定义,我们 有[eq16]

因此, A 是且仅是埃尔米特 如果[eq17]对于 每一个 i$ j $, 这也意味着 A 必须是实数:它们的复数部分必须为零才能 满足[eq18]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

让向量 A 被定义 通过[eq19]

计算 产品[eq20]

的共轭转置 A[eq21]

和产品 是[eq22]

练习2

让矩阵 A 被定义 通过[eq23]

计算其共轭转置。

我们有 那[eq24]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "共轭转置", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/conjugate-transpose.

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