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指数 > Matrix algebra

共轭翻转

经过 ,博士学位

它经常发生在矩阵代数中,我们需要转过来并带走 复合缀合物的基质。顺序应用的结果 这两种操作称为缀合物转置(或密尔尼亚横发)。 数学文献中使用特殊符号来表示这种双倍 operation.

目录

定义

缀合物转置矩阵 A is the matrix $ a ^ {st} $ defined by[eq1]在哪里 $ op $ 表示转座,过线表示复合缀合。

请记住,通过采取矩阵的复杂缀合物 每个条目的复杂共轭(参见讲座 complex matrices)。

在定义中,我们使用了换置的命令的事实 进行缀合和缀合是无关紧要的:是否虚构的标志 part of an entry of A 在将条目移动到不同位置之前或之后切换 改变最终结果。

例子 Define the matrix [eq2]它的 conjugate is[eq3]和 它的共轭翻出来 is[eq4]

符号

文学中使用了几种不同的符号作为替代品 $ st $ 我们迄今为止使用的符号。

最常见的替代方案是 H symbol (for Hermitian):[eq5]

and the dagger:[eq6]

特性

共轭转子的性质是立即后果的 转置和缀合的性质。因此,我们列出了一些 without proofs.

For any two matrices A and $ b $ 这样的操作是明确定义的和任何标量 $ zin u {2102} $, we have that

艾米特矩阵

等于其缀合物转置的矩阵被称为隐士(或 自伴侣)。换句话说, A 是赫米特人,如果只是 if[eq12]

例子 Consider the matrix [eq13]然后 它的共轭翻出来 is[eq14]作为 a consequence A is Hermitian.

Denote by $ a_ {ij} $ the $ left(i,j
Ight)$ - entry of A and by [eq15] the $ left(i,j
Ight)$ - entry of $ a ^ {st} $. 通过缀合物的定义转移,我们 have[eq16]

Therefore, A 是赫米特人,如果只是 if[eq17]为了 every i and $ j $, 这也意味着对角线条目 A 必须是真实的:他们的复杂部分必须为零,以便 satisfy[eq18]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let the vector A be defined by[eq19]

Compute the product[eq20]

解决方案

共轭转换 A is[eq21]

and the product is[eq22]

练习2

Let the matrix A be defined by[eq23]

计算其共轭转发。

解决方案

我们有 that[eq24]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "共轭翻转", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/conjugate-transpose.

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