我们以前提供了 二 向量空间的定义:
非正式定义:向量是有限的数字数组,并且一组这样的集合 当且仅当数组相对于闭合是被称为向量空间 服用 线性的 组合;
形式上的定义:向量空间是配备两个运算的集合, 称为向量加法和标量乘法,它们满足 公理。
我们还解释了,更简单的非正式定义是完美的 与更正式的定义兼容,作为一组数字数组 满足向量空间的所有属性,前提是向量加法 和标量乘法以通常的方式定义,并且集合是 关于线性组合是封闭的。
现在,我们引入一个新概念,即坐标矢量,它使 两个定义几乎相等:如果我们正在处理抽象向量 空间,但是它的尺寸是有限的,我们能够为 空间,那么我们可以将每个向量写为基础的线性组合;如 结果,我们可以将向量表示为数组,称为坐标 向量,其中包含线性组合的系数。一旦我们有了 获得这个简单的表示,我们可以应用矩阵的一般规则 坐标向量的代数,即使我们正在处理抽象 向量空间。这不仅非常方便,而且模糊了差异 在定义向量和向量空间的两种方法之间(至少对于 有限维情况)。
现在我们准备给出坐标矢量的定义。
定义
让
是一个有限维的线性空间。让
作为...的基础
.
对于任何
,
采取独特的一套
标量
这样
那
然后,
的
向量
是
叫做 坐标向量 的
关于基础
.
请注意,标量的唯一性
由
的独特性
根据基础的表述.
例
让
是向量空间,
它的基础。假设一个向量
可以写成基础的线性组合为
如下:
然后,
的坐标向量
关于
是
例
考虑空间
二阶
多项式
哪里
系数
和论点
是标量。正如我们已经在关于
线性空间,
是向量空间,前提是多项式及其相加
标量乘法以通常的方式执行。考虑一下
多项式
这些
三个多项式构成基础
对于
因为他们是 线性地
独立 (它们的任何组合都不等于零
)
它们可以线性组合以获得任何
的形式
以上:
的
的坐标向量
关于我们刚刚发现的基础
是
两个向量的加法可以通过执行通常的 操作 向量加法 上 它们各自的坐标矢量。
主张
让
成为线性空间
的基础
.
让
.
然后,
关于基础等于的坐标向量之和
和
在相同的基础上,
是的
假设用
基础
是所以
坐标向量
是
通过
向量加法和标量的交换和分布性质
在抽象向量空间中相乘,我们有
那
从而,
的坐标向量
是
向量与标量的乘积可以通过执行 通常的操作 乘法 由标量 在其坐标向量上。
主张
让
成为线性空间
的基础
.
让
然后让
标量。然后,
关于基础等于
和的坐标向量
,
那
是的
假设用
基础
是所以
坐标向量
是
通过
标量乘法的结合和分布性质。
抽象矢量空间,我们有
那
从而,
的坐标向量
是
当元素处于线性空间时
是数字的一维数组(向量,从最简单的意义上讲
项),则它们与它们相对于
标准基础。例如,让
成为所有人的空间
列向量。让
作为其规范基础,
是一个向量,其所有条目
,
除了
-th
等于
:
采取
任何
然后,
相对于基础,其坐标向量相同
,
那
是的
因为
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是所有三阶多项式的向量空间。执行加法
二
多项式
和
通过
使用它们相对于
基础
检查一下
通过将两个多项式相加得出的结果是相同的
直。
根据基础的表述
是
从而,
两个坐标向量
是
其
和
是
所以
那
这个
与我们通过加法获得的结果相同
直:
让
成为所有人的空间
向量。考虑依据
哪里
找
的坐标向量
与
尊重给定的基础。
我们有
那因此,
的坐标向量
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "座标向量", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/coordinate-vector.