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指数 > 矩阵代数

座标向量

通过 博士

我们以前提供了 二 向量空间的定义:

我们还解释了,更简单的非正式定义是完美的 与更正式的定义兼容,作为一组数字数组 满足向量空间的所有属性,前提是向量加法 和标量乘法以通常的方式定义,并且集合是 关于线性组合是封闭的。

现在,我们引入一个新概念,即坐标矢量,它使 两个定义几乎相等:如果我们正在处理抽象向量 空间,但是它的尺寸是有限的,我们能够为 空间,那么我们可以将每个向量写为基础的线性组合;如 结果,我们可以将向量表示为数组,称为坐标 向量,其中包含线性组合的系数。一旦我们有了 获得这个简单的表示,我们可以应用矩阵的一般规则 坐标向量的代数,即使我们正在处理抽象 向量空间。这不仅非常方便,而且模糊了差异 在定义向量和向量空间的两种方法之间(至少对于 有限维情况)。

目录

定义

现在我们准备给出坐标矢量的定义。

定义$ S $ 是一个有限维的线性空间。让 [eq1] 作为...的基础 $ S $. 对于任何 $罪S $, 采取独特的一套 n 标量 [eq2] 这样 那[eq3]然后, 的 Kx1 向量[eq4]是 叫做 坐标向量$ s $ 关于基础 $ B $.

请注意,标量的唯一性 [eq5] 的独特性 根据基础的表述.

$ S $ 是向量空间, [eq6] 它的基础。假设一个向量 $罪S $ 可以写成基础的线性组合为 如下:[eq7]然后, 的坐标向量 $ s $ 关于 $ B $[eq8]

考虑空间 $ P $ 二阶 多项式[eq9]哪里 系数 $ p_ {0},p_ {1},p_ {2} $ 和论点 $ z $ 是标量。正如我们已经在关于 线性空间, $ P $ 是向量空间,前提是多项式及其相加 标量乘法以通常的方式执行。考虑一下 多项式[eq10]这些 三个多项式构成基础 [eq11] 对于 $ P $ 因为他们是 线性地 独立 (它们的任何组合都不等于零 $ z $) 它们可以线性组合以获得任何 $ pleft(z
权)$ 的形式 以上:[eq12]的 的坐标向量 $ pleft(z
权)$ 关于我们刚刚发现的基础 是[eq13]

坐标向量相加

两个向量的加法可以通过执行通常的 操作 向量加法 上 它们各自的坐标矢量。

主张$ S $ 成为线性空间 [eq14] 的基础 $ S $. 让 $ s,锡S $. 然后, $ s + t $ 关于基础等于的坐标向量之和 $ s $$ t $ 在相同的基础上, 是的[eq15]

证明

假设用 基础 是[eq16]所以 坐标向量 是[eq17]通过 向量加法和标量的交换和分布性质 在抽象向量空间中相乘,我们有 那[eq18]从而, 的坐标向量 $ s + t $[eq19]

坐标向量的标量乘法

向量与标量的乘积可以通过执行 通常的操作 乘法 由标量 在其坐标向量上。

主张$ S $ 成为线性空间 [eq14] 的基础 $ S $. 让 $罪S $ 然后让 $ lpha $ 标量。然后, $ lpha s $ 关于基础等于 $ lpha $ 和的坐标向量 $ s $, 那 是的[eq21]

证明

假设用 基础 是[eq3]所以 坐标向量 是[eq23]通过 标量乘法的结合和分布性质。 抽象矢量空间,我们有 那[eq24]从而, 的坐标向量 $ lpha s $[eq25]

数值数组是相对于 the canonical 基础

当元素处于线性空间时 $ S $ 是数字的一维数组(向量,从最简单的意义上讲 项),则它们与它们相对于 标准基础。例如,让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。让 [eq26] 作为其规范基础, $ e_ {k} $ 是一个向量,其所有条目 0, 除了 k-th 等于 1: [eq27]采取 任何 [eq28]然后, $ s $ 相对于基础,其坐标向量相同 [eq29], 那 是的[eq30]因为 [eq31]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ P $ 是所有三阶多项式的向量空间。执行加法 二 多项式[eq32][eq33]通过 使用它们相对于 基础[eq34]检查一下 通过将两个多项式相加得出的结果是相同的 直。

根据基础的表述 [eq35][eq36]从而, 两个坐标向量 是[eq37]其 和 是[eq38]所以 那[eq39]这个 与我们通过加法获得的结果相同 直:[eq40]

练习2

$ S $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 向量。考虑依据 [eq41] 哪里[eq42]找 的坐标向量 [eq43]与 尊重给定的基础。

我们有 那[eq44]因此, 的坐标向量 $ s $[eq45]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "座标向量", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

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