座标向量

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

我们以前提供了 二 向量空间的定义:

• 非正式定义：向量是有限的数字数组，并且一组这样的集合 当且仅当数组相对于闭合是被称为向量空间 服用 线性的 组合;

• 形式上的定义：向量空间是配备两个运算的集合， 称为向量加法和标量乘法，它们满足 公理。

我们还解释了，更简单的非正式定义是完美的 与更正式的定义兼容，作为一组数字数组 满足向量空间的所有属性，前提是向量加法 和标量乘法以通常的方式定义，并且集合是 关于线性组合是封闭的。

现在，我们引入一个新概念，即坐标矢量，它使 两个定义几乎相等：如果我们正在处理抽象向量 空间，但是它的尺寸是有限的，我们能够为 空间，那么我们可以将每个向量写为基础的线性组合；如 结果，我们可以将向量表示为数组，称为坐标 向量，其中包含线性组合的系数。一旦我们有了 获得这个简单的表示，我们可以应用矩阵的一般规则 坐标向量的代数，即使我们正在处理抽象 向量空间。这不仅非常方便，而且模糊了差异 在定义向量和向量空间的两种方法之间（至少对于 有限维情况）。

定义

现在我们准备给出坐标矢量的定义。

请注意，标量的唯一性 由 的独特性 根据基础的表述.

坐标向量相加

两个向量的加法可以通过执行通常的 操作 向量加法 上 它们各自的坐标矢量。

坐标向量的标量乘法

向量与标量的乘积可以通过执行 通常的操作 乘法 由标量 在其坐标向量上。

数值数组是相对于 the canonical 基础

当元素处于线性空间时 是数字的一维数组（向量，从最简单的意义上讲 项），则它们与它们相对于 标准基础。例如，让 成为所有人的空间 列向量。让 作为其规范基础， 是一个向量，其所有条目 , 除了 -th 等于 : 采取 任何 然后， 相对于基础，其坐标向量相同 , 那 是的因为

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 是所有三阶多项式的向量空间。执行加法 二 多项式和通过 使用它们相对于 基础检查一下 通过将两个多项式相加得出的结果是相同的 直。

练习2

让 成为所有人的空间 向量。考虑依据 哪里找 的坐标向量 与 尊重给定的基础。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "座标向量", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

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