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循环子空间

通过 博士

在线性代数中,周期是获得的线性独立向量的字符串 通过将运算符的递增能力应用于单个矢量;循环的 子空间是循环所跨越的子空间。

在本讲座中,我们重点讨论由以下项获得的循环和循环子空间 应用幂等运算符。

目录

幂等算子

$ S $ 是向量空间。

请记住 线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 据说是 无能 的 指数 k 当且仅 如果[eq1]对于 任何 $罪S $[eq2]对于 至少一个向量 $罪S $.

显然,[eq3][eq4] 哪里 $ QTR {rm} {null} $ 表示 空空间 操作员的 $子集$ 表示严格包含。

定义

这是周期的正式定义。

定义$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 幂等线性运算符。让 $罪S $ 是一个非零向量。让 $ l $ 是最大的非负整数,使得 [eq5]. 然后, 组[eq6]是 称为由产生的循环 $ s $. 向量 $ s $ 被称为循环的初始向量。子空间 跨度 按周期, 是的[eq7]是 称为由 x.

注意 [eq8] 而且周期有 $ l $ 元素。循环的元素数称为长度 周期。

另请注意,假设 $ f $ 无能保证 $ l $ 存在(因为 $ l $ 最多等于指数 k$ f $)。 因此,周期是明确定义的。

接下来,我们称为从幂等运算符获得的循环 $ f $ 一个 $ f $-周期 如果我们要强调特定的运算符 $ f $ 用来获取周期。

找到一个零向量就足够了

我们如何找到这样的最大整数 [eq9]?

换句话说,我们如何确定一个周期的长度?

答案很简单:我们从 $ s $ 我们计算出越来越大的能力: $ fleft(s
权)$, [eq10], ....第一次获得零向量,我们停止。实际上,如果 [eq11]然后[eq12]对于 任何整数 $ jgeq 0 $.

换句话说,一旦我们遇到第一个零向量,便知道它 将跟随所有零向量。这也意味着一个循环包含 没有零向量(在下一节中正式证明)。

我们还可以更改定义,说周期的长度 $ l $ 是最小的非负整数,使得 [eq13].

$ S $ 成为 $ 3imes 1 $ 向量。考虑以下项定义的幂等映射 [eq14]哪里 [eq15]的 映射是幂等的 因为[eq16]考虑 向量 [eq17]然后, 我们 有[eq18]从而, 长度循环 $2$ 由...产生 $ s_ {1} $[eq19]现在, 考虑另一个向量 [eq20]然后, 我们 有[eq21]从而, 长度循环 $3$ 由...产生 $ s_ {2} $[eq22]

一个循环的所有向量都不为零

作为练习,我们建议尝试严格证明以下简单 结果(在阅读证明之前)。

主张 一个循环的所有向量都不为零。

证明

证明是矛盾的。假设 [eq23] 对于 $ jleq l $ (哪里 $ l $ 是周期的长度)。 然后,[eq24]以来 任何线性运算符都会将零向量映射到自身。这与 假设周期有长度 $ l $ (因此 [eq25])。

周期是线性独立的集合

第一个重要结果涉及循环的线性独立性。

主张$ S $ 是向量空间 $ f:S
ightarrow S $ 一个幂等线性运算符 $罪S $ 非零向量和 $ Cleft(s)
权)$ 长度的循环 $ l $ 由...产生 $ s $. 然后, $ Cleft(s)
权)$ 是一个 线性独立 组。

证明

由于周期的长度是 $ l $, 然后 [eq26][eq27]对于 任何整数 $ jgeq 0 $. 假设存在标量 [eq28] 这样 那[eq29]通过 申请 $ f ^ {l-1} $ 在等式两边,我们得到 [eq30]哪一个 暗示 $ a_ {0} = 0 $ (以来 [eq31])。 因此,等式 变成[eq32]通过 申请 $ f ^ {l-2} $ 在等式两边,我们 获得[eq33]哪一个 暗示 $ a_ {1} = 0 $. 因此,等式 变成[eq34]我们 以这种方式进行,直到我们证明 [eq35], 证明 [eq36]是 线性独立的集合。

自行车桌

当一起使用多个循环时,使用起来通常很方便 所谓的循环画面。

假设我们有三个不同的向量 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $$ s_ {3} $, 产生三个周期 [eq37]有 长度 $4$, $2$1 分别。

包含三个循环的所有向量的线性组合 是[eq38]哪里 系数的第一个下标用于索引三个不同的 周期,第二个用于索引幂等幂 操作员。

循环表是包含线性所有求和的表 组合[eq39]哪里 每个循环都写在不同的行上,总是从最左边开始 柱。

当我们申请 $ f ^ {j} $ 到表格的所有元素,第一个中的所有元素 $ j $ 左侧的列等于零。

例如,如果我们申请 $ f $ 关于画面的元素,我们得到 [eq40]

但是,根据周期长度的定义(另请参见 上一节),我们有 [eq41]

因此,画面 变成[eq42]要么, 只是,[eq43]

如果我们改为申请 $ f ^ {2} $ 到原始画面,我们 得到[eq44]

循环的并集

关于线性独立性的另一个有用的结果如下。

主张$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 幂等线性运算符。让 [eq45] 是非零向量,生成周期 [eq46] 长度 [eq47]. 如果 组[eq48]是 线性独立,那么 组[eq49]是 线性独立。

证明

假设存在标量 $ a_ {mu lambda} $ ($ mu = 1,ldots,m $[eq50]) 这样 那[eq51]注意 (1)中的线性组合包括集合的所有向量 $ C $. 在循环表格中安排线性组合的所有求和。假设 有 $ l $ 表格中的列(这意味着最长链的长度为 等于 $ l $)。 然后,我们申请 $ f ^ {l-1} $ 方程(1)和表格的所有元素,这样我们就剩下 一个非零列。根据假定的线性独立性,所有标量 该列中的值必须等于零,并且该列可以从 原始画面。因此,我们有了一个新的画面 $l-1$ 列(最右边的一列已删除)。然后,我们迭代地应用 [eq52]. 在每次迭代中,我们获得线性组合的一些系数 为零,我们可以删除另一列。最后,我们获得了所有 线性组合的系数为零,这意味着该集合 $ C $ 是线性独立的。

在下一个示例中将充分展示证明中概述的迭代。

让我们继续上面循环部分中显示的相同示例 画面。我们需要证明 [eq53]暗示 线性组合的所有系数都等于零, 规定 [eq54], [eq55][eq56] 是线性独立的。起始画面 是[eq57]的 最长周期的长度是 $l=4$. 因此,首先,我们应用 $ f ^ {l-1} = f ^ {3} $ 给所有被告结果,我们 获得[eq58]要么[eq59]哪一个 暗示 $ a_ {1,0} = 0 $ (因为 [eq60])。 因此,我们可以删除最后一列和表格 变成[eq61]我们 现在申请 $ f ^ {l-2} = f ^ {2} $ 给所有被告结果,我们 获得[eq62]要么[eq63]哪一个 暗示 $ a_ {1,1} = 0 $. 我们可以放另一个 柱:[eq64]通过 申请 $ f ^ {l-3} = f ^ {1} $, 我们 得到[eq65]哪一个 暗示 $ a_ {1,2} = a_ {2,0} = 0 $ 通过假定的线性独立性。决赛桌 是[eq66]我们 保持不变(或相同,我们应用身份运算符 $ f ^ {l-4} = f ^ {0} $)。 从而,[eq67]哪一个 暗示 [eq68] 通过假定的线性独立性。这是最后一步,证明了 周期的并集是

非重叠工会

当两个或多个周期的并集形成一个线性独立的集合时,我们称 它是周期的不重叠联合。

定义$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 幂等线性运算符。让 [eq69] 是非零向量,生成周期 [eq70]. 的 组[eq71]是 当且仅当它是线性的时,称为循环的非重叠并集 独立。

下一个命题是循环理论如此重要的关键原因 重要。

主张$ S $ 是一个有限维向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 幂等线性运算符。然后,存在一个不重叠的 $ f $-周期 这是一个 基础 对于 $ S $.

证明

证明是通过对 尺寸$ S $, 等于其任何一个基数的元素数。对于 [eq72], $ f $ 是零映射(如 幂等矩阵)。因此,我们 可以选择任何非零 $罪S $, 和 $ s $ 既是 $ S $ 和一个长度为1的循环(因为 [eq73]), 它琐碎地构成了非重叠循环的并集。现在,假设 该命题适用于所有维度的空间 $n-1$ 或更少。让我们考虑一个空间 $ S $ 这样 [eq74]. 有两种可能的情况:1) $ QTR {rm} {null} f = S $; 2) [eq75]. 情况1) $ f $ 是零运算符(将每个向量映射到零)和任何基数 $ B $$ S $ 是周期的非重叠联合,因为 [eq76] 对于任何 $罪S $, 这样任何 $ bin B $ 本身构成一个循环。在情况2)中, $ f $$ QTR {rm} {range} f $ 是一个幂等运算符(请记住, 范围是不变的;从而, 限制 [eq77] 确实是运营商)。此外, [eq78] 因为无能运算符不能具有 全职。作为结果, 有一个不重叠的 [eq79]-周期 跨越 $ QTR {rm} {range} f $. 假设联盟 是[eq80]哪里 [eq81]. 根据定义 $ QTR {rm} {range} f $, 存在向量 [eq82] 这样 那[eq83]我们 可以使用向量 [eq84] 延长周期并定义新的周期并集 [eq85]哪一个 与之前关于线性独立性的命题不重叠 循环的并集。假设周期的长度 [eq86][eq87]. 向量 [eq88]是 线性独立,属于 $ QTR {rm} {null} f $ (作为各自周期中的最终向量)。如果它们不构成一个 基础 $ QTR {rm} {null} f $, 我们可以找到线性独立 向量[eq89]归属 至 $ QTR {rm} {null} f $ 完成基础。此外, [eq90] 对于 [eq91]. 结果,新发现的向量自身形成了 长度 1. 它们还与找到的循环的最终向量线性独立 先前。 因此,[eq92]是 不重叠循环的并集。属于的向量数 $ C $[eq93]通过 的 秩为零定理. 因此, $ C $ 包含 [eq94] 属于的线性独立向量 $ S $. 作为结果, $ C $ 是基础 $ S $.

最小多项式和矩阵索引再次

现在我们知道了周期,我们可以进一步磨练对周期的理解 最小多项式。

请记住 最小的 多项式 幂等矩阵 A 指数 k[eq95]哪里 k 是矩阵的幂指数,以及之后的最小幂 的力量的零空间 A 停止成长。

现在,我们可以提供另一个特征。

主张$ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 指数幂等矩阵 k. 然后, k 是由幂等运算符定义的最长周期的长度 通过 A.

证明

以来 $ A ^ {k} = 0 $, 没有周期可以超过 k. 但是,必须至少有一个周期的长度 k. 为了证明这一点,相反地假设所有循环的长度都小于 k. 那一定是 $ A ^ {k-1} s = 0 $ 对于任何 $ s $. 但这意味着 A 不能是指数的幂 k.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 幂等线性运算符。

假设四个不同的向量 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, $ s_ {3} $$ s_ {4} $ 产生四个周期 [eq96]有 长度 $4$, $2$, $2$1 分别。

考虑属于四个循环的所有向量的线性组合 (其中一般求和的系数 [eq97]$ a_ {mu .lambda} $)。

使用循环表表示线性组合。发生了什么 申请时的画面 $ f $ 线性组合?

涉及所有 四个周期的向量 是[eq98]书面 在周期表中,组合 是[eq99]通过 申请 $ f $ 对于表格的所有元素,我们得到 [eq100]通过 考虑到表格中各个周期的长度,我们 获得 [eq101]因此, 画面 变成[eq102]要么, 通过修剪零 柱,[eq103]

练习2

$ S $ 成为 $ 3imes 1 $ 向量。考虑以下项定义的幂等映射 [eq104]哪里 [eq105]找 产生的周期长度 通过[eq106]

循环的第一个向量是 $ s $ 本身。第二个向量 是[eq107]的 第三矢量 是[eq108]的 下一页 是[eq109]因此, 周期的长度是 $3$.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "循环子空间", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/cyclic-subspace.

这本书

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