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矩阵的行列式

通过 博士

a的行列式 广场 矩阵 是一个数字,提供了有关 矩阵。

不幸的是,它的定义不是很直观。它源自 旨在满足特定条件的抽象原则 数学需求。因此,在给出行列式定义之前,我们 解释什么是数学上的需要。

目录

了解线性变换如何改变体积

考虑一下 线性空间  $ S $ 在所有 $ 2imes 1 $ 实向量。该空间可以表示为笛卡尔平面。一个向量  $罪S $ 可以表示为平面中的一个点 x- 和  $ y $ -坐标 是第一个和第二个条目  $ s $ 分别。

$ T_ {1}个子集S $ 是一组向量,使得笛卡尔平面中的对应点 形成一个面积可以测量并等于的区域 $ lpha _ {1} $.

现在,拿一个 2元2元 矩阵 A 并定义 组 [eq1]

换句话说,我们使用平方矩阵 A 对集合中的所有向量进行线性变换  $ T_ {1} $ . 产生的线性变换在新集中  $ T_ {2} $ .

在笛卡尔空间中,  $ T_ {2} $ 形成一个面积等于 $ lpha _ {2} $.

我们问以下问题:我们可以得出面积吗 $ lpha _ {2} $$ lpha _ {1} $A?

事实证明,有一个数字,称为 A 并由 [eq2], 那 满足 [eq3] 那 是,当我们将原始区域的面积乘以行列式时, 获得转换区域的面积。

重要的是,数量仅取决于 A 而不是  $ T_ {1} $ 及其面积。线性变换定义为 A 转换 任何 新区域中的区域是 [eq4] 乘以原始区域的面积。

当我们添加一维并考虑空间时  $ S $ $ 3imes 1 $ 实向量,我们做出了明显的改变:我们不再处于笛卡尔坐标系中 平面,但在三维空间中;矩阵 A 用于执行线性变换的是 3美金3美金 矩阵;行列式是比例因子,可用来计算 线性变换区域的体积。

K尺寸 空格(用于 $K>3$ ), 体积概念和线性变换都有概括 由定义 $ Kimes K $ 矩阵,但行列式继续扮演相同的角色:它起着 音量的比例因子。

签名卷

我们已经讨论了体积以及如何通过线性变换缩放比例, 但是我们省略了一个重要的细节:在讨论行列式时,我们处理 带符号的卷,即可以为正或为负的卷, 取决于其体积正在变化的区域的空间方向 测量。因此,行列式也可以是正数或负数, 取决于线性变换是保留还是逆转 形状的方向。

由于可能很难直观地了解签名的概念 体积,我们将通过以下图表进行说明。

六个图解说明了线性变换的决定因素如何帮助理解变换如何改变形状的有符号体积

左上角的笛卡尔平面代表原始线性 空间。一组要点  $ T_ {1} $ 以蓝色表示(圆形箭头)。其他五个平面代表集合 点数  $ T_ {2} $ 通过将不同的线性变换应用于  $ T_ {1} $ 用不同的矩阵 A:

可以执行更多的线性变换,例如,通过组合 上图中所示的基本转换。但是,原理 保持不变:如果线性变换与矩阵相关 A 不会更改圆形箭头的方向,然后 [eq5]; 如果它改变方向,那么 [eq6] 如果箭头变平(丢失一维),则 [eq7].

公理化的方法

在下一节中,我们将提供行列式的定义 实际上提供了一种从的元素计算行列式的方法 A. 这个定义是由数学家得出的,他们采取了以下措施 脚步:

  1. 他们发现了一些简单的特性,这些特性可以满足 线性变换的区域(例如,如果线性变换使 矩形的上下边缘并保留其左边缘和右边缘 不变,则矩形的面积加倍;结果, 线性变换的比例因子必须为 $2$ );

  2. 他们将这些属性作为行列式应满足的公理;

  3. 他们证明存在满足公理的数并且是唯一的。

  4. 他们找到了一个计算公式,可以用作其定义。

有关这种公理方法的更多详细信息,您可以参考 通过治疗 施耐德与巴克 (1989)。

行列式的定义

现在,我们准备提供行列式的正式定义。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让  $ P $ 是第一个的所有可能排列的集合 K 自然数 [eq8] 的 行列式 A, 表示为 [eq9][eq10], 是 [eq11]

为了完全理解此定义,您需要熟悉 的概念 排列 排列的迹象.

排列  $ pi $ 是的订购 $ 1,ldots,K $. 排列的元素由表示 [eq12]. 号码 [eq13] 或者是 1 要么 $-1$ 取决于排列的奇偶性(偶数或奇数)。

产品 [eq14] 是 过度 K 矩阵条目 A. 每行 $ k = 1,ldots,K $, 我们选择位于列中的条目 [eq15]. 请注意,只有一个选定的条目 [eq16] 在每一列和每一行中。

总和 $ sum_ {pi in P} $ 超过设定  $ P $ 所有可能的排列  $ pi $ .

2x2矩阵的行列式

让我们将定义应用于 2元2元 矩阵 A.

前两个自然数的集合有两个可能的排列 数字: [eq17]

中没有反转  $ pi _ {1} $ , 所以它的平价是偶数 和 [eq18]

在其中有一个反转 $ pi _ {2} $ , 所以它的奇偶性很奇怪 和 [eq19]

建立了这些事实之后,我们可以计算出 A:[eq20]

定义 矩阵 [eq21] 它的 行列式 是 [eq22]

3x3矩阵的行列式

现在让我们解决一下 3美金3美金 矩阵 A.

前三个自然数的集合有六个可能的排列 数字。我们在下面报告它们,以及反演次数和 他们的标志(派生他们作为练习-修改关于 如果发现任何排列的符号 困难):[eq23]

因此,[eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

找出 矩阵 [eq25]

我们可以将公式应用于 一个的决定因素 2元2元 找到矩阵 以上 [eq26]

练习2

用于执行反射的矩阵位于面板的左下方 上图是 [eq27] 证明 那 [eq28].

我们有 [eq29]

参考文献

Schneider,H.和Barker,G.P.(1989) 矩阵和 线性代数,多佛尔出版物。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵的行列式", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/determinant-of-a-matrix.

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