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块矩阵的行列式

通过 博士

如果可以轻松处理线性代数中的许多证明,则可以大大简化 与 行列式 块矩阵,即细分为块的矩阵 自己矩阵。

目录

块矩阵的审查

A 块矩阵 (也被称为 分区矩阵)是 类 [eq1] 哪里 A,  $ B $ ,  $ C $  $ D $ 是称为块的矩阵,例如:

理想情况下,通过将矩阵切割两次来获得块矩阵: 垂直和水平。四个结果块中的每一个都是一个块。

矩阵 [eq2] 能够 被写成一个块 矩阵 [eq3] 哪里 [eq4]

的 矩阵 [eq5] 能够 被写成一个块 矩阵 [eq3] 哪里 [eq7]

关于块矩阵的一个重要事实是 他们的乘法 可以像它们的标量一样执行,通过使用标准 规则 矩阵 乘法 :[eq8]

唯一需要注意的是,乘法中涉及的所有块(例如,  $ AE $ ,  $ BG $ ,  $ CE $ ) 必须是一致的。例如, A 和的行数 E 必须重合。

具有恒等块的块对角矩阵的行列式

第一个结果涉及 形成 [eq9] 要么 [eq10] 哪里 I 表示一个 单位矩阵 , 0 是一个矩阵,其所有项均为零, A 是一个正方形矩阵。

非对角线块都等于零的块矩阵称为 块对角线,因为它们的结构类似于 对角矩阵.

不仅上面的两个矩阵是块对角线,而且它们的对角线之一 块是一个单位矩阵。我们会打电话给他们 块对角线 具有身份块的矩阵.

以下命题成立。

主张  $伽马$ 是具有上面定义的标识块的两个块对角矩阵之一。 然后, [eq11]

证明

我们首先确定案例的结果 在 哪一个 [eq12]I $ 1imes 1 $ , 那是, $I=1$. 假设 A $ Kimes K $ . 然后  $伽马$ [eq13]. 我们使用的定义 行列式 [eq14] 哪里  $ P $ 是第一个的所有排列的集合 $K+1$ 自然数。术语 [eq15] 与0不同,尤其是仅在以下情况下等于1 [eq16]. 此外, 的迹象 排列 在其中 [eq16] 仅由 [eq18] 因为 [eq19] 不能确定任何反演。因此,我们 有 [eq20] 哪里  $ Q $ 是第一个的所有排列的集合 K 自然数。情况下的结果 I 不是  $ 1imes 1 $ 被递归证明。例如,如果 I 2元2元 , 我们 有 [eq21] 和 类似地,适用于更大的尺寸。第二种情况的证明 哪一个 [eq10] 是 与刚刚提供的类似。

块三角形矩阵的行列式

块上三角矩阵是 形成 [eq23] 哪里 A $ D $ 是平方矩阵。

主张  $伽马$ 是上面定义的块上三角矩阵。 然后, [eq24]

证明

假设 A $ Kimes K $  $ D $  $石灰L $ , 以便  $ B $  $ Kimes L $ 0 $石灰K $ . 在下文中,我们将用 [eq25] a  $ Kimes K $ 单位矩阵和 [eq26] 一个  $石灰K $ 零矩阵。注意 那 [eq27] 从而, [eq28] 哪里: 在步  $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实,即平方矩阵乘积的行列式为 等于其决定因素的乘积;在步  $ rame {B} $ 我们将结果用于块对角矩阵的行列式 先前证明的身份块和事实 那 [eq29] 因为 我们正在处理一个三角形矩阵,其中所有对角线项都相等 至1; 在步  $ rame {C} $ 我们使用了一个事实,即恒等矩阵的行列式等于 1.

块下三角矩阵是 形成 [eq30] 哪里 A $ D $ 是平方矩阵。

主张  $伽马$ 是上面定义的块下三角矩阵。 然后, [eq31]

证明

假设 A $ Kimes K $  $ D $  $石灰L $ , 以便  $ C $  $石灰K $ 0 $ Kimes L $ . 在下文中,我们将用 [eq32] a  $ Kimes K $ 单位矩阵和 [eq26] 一个  $石灰K $ 零矩阵。注意 那 [eq34] 从而, 与之前类似 证明, [eq35]

一般情况

现在,我们可以使用上面的结果证明一般情况。

主张  $伽马$ 成为 形成 [eq36] 哪里 A $ D $ 是平方矩阵。如果 A 可逆的 , 然后 [eq37]

证明

正如在讲座中所证明的 舒尔补语 如果 A 是可逆的,矩阵  $伽马$ 可以分解 如 [eq38] 根据 根据关于块三角矩阵行列式的上述结果,我们 有 [eq39] 因此, [eq40]

主张  $伽马$ 如上。 如果  $ D $ 是可逆的 然后 [eq41]

证明

正如关于舒尔的演讲所证明的 补充,如果  $ D $ 是可逆的,矩阵  $伽马$ 可以分解 如 [eq42] 根据 根据关于块三角矩阵行列式的上述结果,我们 有 [eq43] 因此, [eq44]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

使用块矩阵行列式上的规则来计算行列式 矩阵的 [eq45]

矩阵较低 三角形: [eq46] 哪里 [eq47] 因此 [eq48]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "块矩阵的行列式", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/determinant-of-block-matrix.

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