在Statlect上搜索概率和统计术语
统计 列克特
指数 > 矩阵代数

行列式的性质

通过 博士

在本讲座中,我们推导了 行列式.

为了完全理解本讲座,您需要记住主要内容 在关于 决定因素 基本矩阵.

目录

三角矩阵的行列式

第一个结果涉及 三角矩阵.

主张 $ T $ 成为 $ Kimes K $ 三角矩阵(上或下)。然后,  $ T $ 等于对角线的乘积 条目:[eq1]

证明

 $ T $ 是较低的三角形。表示为  $ P $ 全部的集合 排列 的 首先 K 自然数。让 $ pi _ {0},以P $ 是其中的排列 K 数字按升序排序。的平价 $ pi _ {0} $ 是偶数,其符号是 [eq2]因为 它不包含任何反转(请参见有关 排列的迹象 )。 然后,  $ T $ [eq3] 哪里 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实,即所有排列  $ pi $ 除了 $ pi _ {0} $ 的 产品[eq4]涉及 在主对角线上方至少有一个等于零的条目。后者 事实可以通过矛盾证明。假设该产品仅涉及 主对角线上或下方的元素,以及其下方的至少一个元素 (除此以外 $ pi = pi _ {0} $ )。 然后, [eq5] 对于 所有 $ k = 1,ldots,K $, 但是不平等至少必须严格限制一个 k. 不平等是严格的 $ k_ {0} $. 然后,我们有 [eq6] 对于 $ k = 1,ldots,k_ {0} $. 换句话说,排列  $ pi $ 必须包含 $ k_ {0} $ 小于或等于的不同自然数 $ k_ {0} -1 $, 这显然是不可能的。这通过矛盾结束了证明。因此,我们 证明了下三角矩阵的命题。鞋帮的证明 三角矩阵几乎相同(我们只需要反转 最后一步)。

上述命题的推论如下。

主张I 豆角,扁豆 单位矩阵. 然后, [eq7]

证明

单位矩阵是对角线的。因此, 它是三角形,其行列式等于对角线的乘积 条目。后者都等于 1. 结果,决定因素 I 等于 1.

换位不会改变行列式

下一个命题陈述了 行列式。

主张A 是一个正方形矩阵,并通过以下方式表示其转置 $ A ^ {op} $. 然后, [eq8]

证明

表示为  $ P $ 第一个的所有排列的集合 K 自然数。对于任何排列 $ pi  在  P $, 存在逆排列 $ pi ^ {-1} $ 这样 那 [eq9] 对于 $ k = 1,ldots,K $. 如果  $ pi $ 通过执行以下序列获得 换位 , 然后 $ pi ^ {-1} $ 通过以相反的顺序执行相反的换位可以获得。从而, 换位的数量是相同的,因此,我们有 [eq10] 通过 使用反置换的概念, $ A ^ {op} $ 可以很容易地计算为 如下:[eq11] 哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 的定义 转置;在步 $ rame {B} $ 我们已经设定 [eq12] 结果, [eq13].

行或列为零的矩阵的行列式 is zero

以下属性虽然很直观,但通常用于证明其他 行列式的性质。

主张A 是一个正方形矩阵。如果 A 具有零行(即,其条目都等于零的行)或零 柱, 然后 [eq14]

证明

可以通过使用 的定义 行列式[eq15] 对于 每个排列  $ pi $ , 我们有 那 [eq16]因为 产品每行(列)包含一个条目,但其中一行 (列)仅包含零。 因此,[eq17]

奇异矩阵的行列式为零

我们现在要说明的最重要属性之一 行列式。

主张A 是一个正方形矩阵。然后 A 可逆的 当且仅当 [eq18] 和 当且仅当它是单数 [eq17]

证明

矩阵 A 行等效 到独特 矩阵 $ R_ {A} $ 缩小排梯队 形成 (RREF)。以来 A$ R_ {A} $ 等价于行,我们有 那 [eq20] 哪里 [eq21] 基本矩阵. 而且,通过 的属性 基本矩阵的行列式, 我们有 那 [eq22] 但 基本矩阵的行列式不同于零。 因此,[eq23] 哪里  $ c $ 是一个非零常数。如果 A 是可逆的 $ R_ {A} $ 是单位矩阵, [eq24] 如果 A 是单数 $ R_ {A} $ 至少有一个零行,因为唯一的正方形RREF矩阵不为零 行是单位矩阵,后者是仅等价于行的矩阵 非奇异矩阵。上面我们证明了零行的矩阵 行列式为零。因此,如果 A 是单数 [eq25][eq26] 至 总而言之,我们证明了所有可逆矩阵都有非零的行列式, 并且所有奇异矩阵的行列式均为零。由于矩阵是 可逆或奇异的两个逻辑含义(“当且仅当”) 跟随。

产品的行列式等于行列式的乘积

下一个命题表明两个矩阵的乘积的行列式 等于其决定因素的乘积。

主张A $ B $ 是两个 $ Kimes K $ 矩阵。 然后, [eq27]

证明

如果两个矩阵之一是奇异的 (即不完全排名),然后是他们的产品  $ AB $ 是单数 因为[eq28] 如 在题为“演讲”的讲义中进行了解释 矩阵乘积和 秩 。因此, [eq29] 和 至少之一 [eq30] 要么 [eq31] 是零,所以 那 [eq32] 从而, 如果两个矩阵中至少有一个矩阵,则命题中的陈述为真 是单数。如果它们都不是单数,则 我们可以将它们写为 初级 矩阵:[eq33] 哪里 [eq21][eq35] 是基本矩阵。由于基本产品的行列式 矩阵等于行列式的乘积 那 [eq36] 从而, 我们已经证明了命题中的陈述在这种情况下也是正确的 当两个矩阵非奇异时。

逆行列式

前面的命题可以轻松找到逆的行列式 矩阵

主张A 成为 $ Kimes K $ 可逆矩阵。 然后, [eq37]

证明

以来 [eq38] 我们 有 那 [eq39] 但 产品的行列式等于 决定因素:[eq40][eq41] 如 a 后果,[eq42]此外, 可逆矩阵的行列式不同于零,所以我们可以 将上面等式的两边除以 [eq43] 和 获得 [eq44]

将矩阵乘以标量的效果

本小节提出了一个易于证明的命题 乘法 标量矩阵。阅读证明之前,请尝试通过以下方式证明 自己做运动。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后,对于任何标量  $ c $ ,[eq45]

证明

这个命题很容易通过证明 的定义 行列式。[eq46]

将行或列乘以标量的效果

此属性与上一个属性相似。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让  $ c $ 标量。让  $ B $ 是从获得的矩阵 A 通过将行(或列)乘以  $ c $ . 然后, [eq47]

证明

 $ j $ -th 行已乘以  $ c $ . 根据定义 行列式:[eq48] 如果 而是  $ j $ -th 列乘以  $ c $ , 保持相同的结果是因为换位不会改变行列式。

行和列的线性

行列式在矩​​阵的行和列中是线性的。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。表示为 $ A_ {j ullet} $ $ j $ -th 排 A. 假设 [eq49] 哪里  $ f $  $ g $ 是两个 $ 1imes K $ 向量和 $ lpha $$ eta $ 是两个标量。表示为  $ A ^ {f} $ 从获得的矩阵 A 通过代替 $ A_ {j ullet} $ $ f $ . 表示为  $ A ^ {g} $ 从获得的矩阵 A 通过代替 $ A_ {j ullet} $ $ g $ . 然后, [eq50]

证明

根据行列式的定义,我们 有 [eq51]

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。表示为 $ A_ {ullet j} $ $ j $ -th 的列 A. 假设 [eq52] 哪里  $ f $  $ g $ 是两个 Kx1 向量和 $ lpha $$ eta $ 是两个标量。表示为  $ A ^ {f} $ 从获得的矩阵 A 通过代替 $ A_ {j ullet} $ $ f $ . 表示为  $ A ^ {g} $ 从获得的矩阵 A 通过代替 $ A_ {j ullet} $ $ g $ . 然后, [eq53]

证明

这是先前的结果 命题(列中的线性)和换位确实 不改变行列式。

行列式与LU分解

计算a的行列式的最简单,更方便的方法之一 方阵 A 基于 鲁 分解[eq54] 哪里  $ P $ ,  $ L $  美元 是一个 置换矩阵 , 一种 下三角矩阵和上三角矩阵。我们可以 写 [eq55] 和 的决定因素  $ P $ ,  $ L $  美元 易于计算:

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "行列式的性质", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/determinant-properties.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。