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对角矩阵

通过 博士

对角矩阵是方矩阵,其非对角线项均相等 归零。

对角矩阵同时是:

因此,它享有 三角矩阵,以及 作为其他特殊属性。

目录

定义

正式定义如下。

定义 A $ Kimes K $ 矩阵 $ D $ 是对角矩阵,当且仅当 $ D_ {ij} = 0 $ 什么时候 $i
eq j$.

因此,对角矩阵的条目的行索引 i 和列索引 $ j $ 不一致(即,不在主对角线上的条目)相等 至 0.

例子

现在,我们提供对角矩阵的一些示例。

3美金3美金 矩阵[eq1]是 对角线。

4美金4美金 矩阵[eq2]是 对角线。请注意,对角线条目之一 ($ D_ {22} $) 是零。这是允许的,因为定义仅与 非对角项(必须为零),并且允许使用任何值 对角元素。

与对角矩阵相乘

报告了关于涉及对角矩阵的乘积的两个有用结果 下面。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ D $ a $ Kimes K $ 对角矩阵。然后, 产品[eq3]是 a $ Kimes L $ 其矩阵 i-th 行等于 i-th 排 A 乘以 $ D_ {ii} $ (对于每个 $ i = 1,ldots,K $)。

证明

矩阵的定义 产品$ left(i,j
权)$-th 进入 $ DA $[eq4]哪里 我们使用了这样一个事实 $ D_ {ik} = 0 $ 什么时候 $k
eq i$. 系数 $ D_ {ii} $ 所有列索引都相同 $ j $ 在给定的行中 i. 因此, i-th 排 $ DA $ 等于 i-th 排 A, 乘以常数 $ D_ {ii} $.

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ D $ a $石灰L $ 对角矩阵。然后, 产品[eq5]是 a $ Kimes L $ 其矩阵 $ j $-th 列等于 $ j $-th 的列 A 乘以 $ D_ {jj} $ (对于每个 $ j = 1,ldots,L $)。

证明

证明与先前的证明相似 主张。的 $ left(i,j
权)$-th 进入 $ AD $[eq6]因为 $ D_ {lj} = 0 $ 什么时候 $l
eq j$. 系数 $ D_ {jj} $ 所有行索引都相同 i 在给定的列中 $ j $. 因此, $ j $-th 的列 $ AD $ 等于 $ j $-th 的列 A, 乘以常数 $ D_ {jj} $.

换句话说,我们有:

定义[eq7][eq8]让 我们预乘 A 通过 $ D $:[eq9]这个 得出与乘以第一行相同的结果 A 通过 $2$ 第二行 $4$. 让我们乘以 A 通过 $ D $:[eq10]这个 产生与乘以第一列相同的结果 A 通过 $2$ 和第二列 A 通过 $4$.

对角矩阵的乘积

下一个命题是前一个结果的直接结果 部分。

主张A$ B $ 是两个 $ Kimes K $ 对角矩阵。然后,他们的产品 $ AB $$ BA $ 也对角线。 此外,[eq11]的 产品的对角线元素 是[eq12]对于 $ i = 1,ldots,K $.

证明

根据上一节的结果, 计算产品 $ AB $ 等于乘以 $ B $ 通过对角线项 A. 这个事实,加上 $ B $ 为零,表示的非对角线条目 $ AB $ 为零。因此,产品矩阵 $ AB $ 是对角线的。它的对角线入口 是[eq13]哪里 我们使用了这样一个事实 $ A_ {ij} = 0 $ 如果 $i
eq j$. 以完全类似的方式,我们可以证明非对角项 的 $ BA $ 为零,并且其对角线项等于的对角线项 $ AB $.

换句话说,矩阵乘法通常是不可交换的, 当乘法中涉及的所有矩阵都为 对角线。

权力

由于以上关于乘积的结果,对角矩阵的幂为 容易得出。

主张$ D $ 成为 $ Kimes K $ 对角矩阵。然后, n-th 功率 $ D ^ {n} $ 也对角线 和[eq14]对于 $ i = 1,ldots,K $.

证明

证明是归纳法。我们开始 从[eq15]我们 有那个产品 $ DD $ 是对角线和 [eq16]如果 结果适用于 $n-1$, 然后[eq17]是 对角线 和[eq18]

对角和三角矩阵

请记住,矩阵为:

因此,以下命题成立。

主张 当且仅当矩阵既是上三角形又是下三角形时,矩阵才是对角线。

证明

同时上下 三角形和对角线是同一件事,因为所有的集合 非对角项(在对角矩阵中为零)是 主对角线上方的一组条目(在较低的三角形中为零) 矩阵)和主对角线下方的条目集(在 上三角矩阵)。

下一个命题提供了存在的简单标准 对角矩阵的逆。

主张 对角矩阵是可逆的,当且仅当主矩阵上的所有项 对角线不为零。

证明

下一个命题显示了在存在逆时如何实际计算逆。

主张$ D $ 成为 $ Kimes K $ 对角矩阵,其对角项为非零。然后,它的逆 $ D ^ {-1} $ 是一个对角矩阵 那[eq19]对于 $ i = 1,ldots,K $.

证明

我们需要检查提议的逆 满足 的定义 逆:[eq20]哪里 I 是个 单位矩阵。但是我们 知道两个对角矩阵的乘积是对角线。此外, 非零条目 是[eq21]对于 $ i = 1,ldots,K $. 单位矩阵和矩阵中的所有其他(非对角线)条目均为零 在产品中 $ DD ^ {-1} $.

对称

另一个简单的属性如下所述。

主张 对角矩阵 $ D $ 是对称的,即等于 转置:[eq22]

证明

矩阵 $ D $ 当且仅当是对称的 如果[eq23]对于 任何 $ j $i. 但是上述平等总是成立的时候 $ i = j $, 它适用于对角矩阵 $i
eq j$ 因为[eq24]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "对角矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/diagonal-matrix.

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