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线性空间的尺寸

经过 ,博士学位

线性空间的尺寸被定义为基数(即, 其元素数量) bases.

为了严格定义维度的定义,我们需要两件事:

回想一下,我们之前为一个空间定义了一个有限一套的真人在线斗地主 linearly independent 跨越空间本身的载体。

目录

维度定理

我们现在证明了给定线性空间的所有真人在线斗地主都具有相同的 cardinality.

命题(维度 theorem) Let $ s $ be a linear space。让 [eq1] and [eq2] be two bases of $ s $. Then, $ n = m $.

证明

证据是矛盾的。假设 $n
eq m$. 然后,我们可以假设没有普遍的损失 $n<m$ (您可以始终交换两个真人在线斗地主的顺序)。表示第一个真人在线斗地主 by[eq3]和 the second basis by[eq4]自从 $ y_ {0} $ 是一个真人在线斗地主,存在 $ m $. scalars $ lpha _ {1} $, ...,$ lpha _ {m} $ such that[eq5]在 至少一个标量必须与零不同,因为我们 would have $ x_ {1} = 0 $, 与我们的假设矛盾 $ x_ {1} $是 线性地独立于其他元素 X. 没有一般性,我们可以假设 $lpha _{1}
eq 0$ (如果不是,我们可以根据真人在线斗地主重新编号向量)。在真人在线斗地主上 替换定理(参见题为有权的讲座 Basis of a linear space,特别是定理的证明),我们有 that[eq6]是 也是一个真人在线斗地主。因为 $ y_ {1} $ 是一个真人在线斗地主,存在 $ m $. scalars $ eta _ {1} $, ...,$ eta _ {m} $ such that[eq7]在 至少一个标量必须与零不同,因为我们 would have $ x_ {2} = 0 $. Furthermore, one of [eq8] 必须与零不同,因为我们会有 [eq9]哪一个 与假设相矛盾 $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ 是线性独立的。我们可以在没有普遍的情况下假设 that[eq10]所以 我们可以应用真人在线斗地主替代定理并形成一个新的 basis[eq11]我们 可以以这种方式继续,直到我们得到 basis[eq12]但 我们现在有一个矛盾: $ y_ {n} $ 不能是一个真人在线斗地主,因为 $ y_ {n + 1} $ 可以写成线性组合 [eq13] 而且,因此,verofthore $ y_ {n} $ 是线性依赖的。因此,这一定是 $ m = n $.

有限尺寸空间

我们将限制对所谓的维度的定义 有限的尺寸空间,如下定义。

定义 A linear space $ s $ 据说是有限维,如果存在至少一个 有限一套矢量 [eq14] such that[eq15]在哪里 [eq16] denotes the span of [eq17].

换句话说,如果它具有有限的跨度集,则空间是有限的。

存在一个真人在线斗地主

以下主张持有。

主张 Let $ s $ 是一个有限的线性空间。然后, $ s $ 至少有一个真人在线斗地主。

证明

自从 $ s $ 是有限的,它有一个生成的组 [eq18]. Choose any $ sin s $ such that $s
eq 0$. By itself, $ left {s
Igher} $ 术语构成一组线性独立的向量。由这件事 真人在线斗地主 extension theorem给定独立集 $ left {s
Igher} $ and the spanning set [eq19], 我们可以扩展独立集以形成真人在线斗地主 $ s $.

维度的定义

已经确定线性空间总是具有真人在线斗地主和所有的 真人在线斗地主具有相同的基数,我们现在准备定义概念 线性空间的尺寸。

定义 Let $ s $ 是一个有限的线性空间。让 n 是其基地的基数(即元素数量)。 Then, n 被称为维度 $ s $.

以下示例显示维度的定义同意我们的 直觉:全部空间的维度 Kx1 column vectors is K.

例子 Let $ s $ 是所有的线性空间 $ 3 $ 1 $ 列向量。定义这三个 vectors[eq20]然后 $ e_ {1},e_ {2},e_ {3} $ are a basis for $ s $ 因为1)任何矢量 [eq21]能够 be written as[eq22]和 2)没有真人在线斗地主的元素可以写作 linear combination 的 the 其他(因此,它们是线性独立的)。因此,真人在线斗地主有 $3$ 元素和空间的尺寸 $ s $ is $3$.

注意,列向量的线性空间的尺寸具有 K 条目可能小于 K, 如以下示例所示。

例子 考虑所有的线性空间 $ 3 $ 1 $ column vectors[eq23]这样的 他们的前两个条目可以是任何标量 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $, 他们的第三个条目等于 0. 这样的空间被跨越了 basis[eq24]谁的 基数等于 $2$. 因此,空间的尺寸等于 $2$.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

阅读最后一个例子并显示 $ b $ is indeed a basis.

解决方案

表示真人在线斗地主的两个要素 by[eq25]这 两个矢量是线性的独立,因为它们都没有是倍数 另一个。此外,可以写入空间的所有矢量 as[eq26]那 作为属于真人在线斗地主的两个向量的线性组合。

练习2

找到线性空间的尺寸 $ s $ spanned by the two vectors[eq27]

解决方案

线性跨度 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ is the space $ s $ 所有可以写成线性组合的载体 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $. In other words, any $ sin s $ can be written as[eq28]在哪里 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 是两个标量。但是,两个向量 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 是线性依赖的 because[eq29]所以, any vector $ sin s $ can be written as[eq30]那 是,所有载体都是倍数 $ s_ {1} $. Thus, [eq31]是 a basis for $ s $. Its cardinality is 1. 因此,维度的维度 $ s $ is 1.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性空间的尺寸", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/dimension-of-a-linear-space.

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