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线性空间的尺寸

通过 博士

线性空间的维数定义为基数(即 其元素数) 基地.

为了使维度的定义严格,我们需要两件事:

回想一下,我们之前已经将空间的基础定义为的有限集 线性独立 跨越空间本身的向量。

目录

维度定理

现在我们证明给定线性空间的所有底都具有相同的 基数。

命题(尺寸 定理)$ S $ 成为 线性空间。让 [eq1][eq2] 是...的两个基地 $ S $. 然后, $ n = m $.

证明

证明是矛盾的。假设 $n
eq m$. 然后,我们可以不失一般性地假设 $n<m$ (您可以随时交换两个碱基的顺序)。表示第一依据 通过[eq3]和 第二个基础 通过[eq4]以来 $ Y_ {0} $ 是基础,存在 $ m $ 标量 $ lpha _ {1} $, ...,$ lpha _ {m} $ 这样 那[eq5]在 标量中的至少一个必须与零不同,因为否则我们 将有 $ x_ {1} = 0 $, 与我们的假设相反 $ x_ {1} $是 与...的其他元素线性独立 X. 不失一般性,我们可以假设 $lpha _{1}
eq 0$ (如果不是,我们可以在基础上对向量进行重新编号)。根据基础 置换定理(见讲座 线性基础 空间,特别是定理的证明), 那[eq6]是 也是依据因为 $ Y_ {1} $ 是基础,存在 $ m $ 标量 $ eta _ {1} $, ...,$ eta _ {m} $ 这样 那[eq7]在 标量中的至少一个必须与零不同,因为否则我们 将有 $ x_ {2} = 0 $. 此外,其中之一 [eq8] 必须不同于零,因为否则我们将拥有 [eq9]哪一个 与以下假设相矛盾 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是线性独立的。我们可以假设不失一般性 那[eq10]所以 我们可以应用基础替换定理并形成一个新的 基础[eq11]我们 可以这样进行直到我们得到 基础[eq12]但 我们现在有一个矛盾: $ Y_ {n} $ 不能成为基础,因为 $ y_ {n + 1} $ 可以写成 [eq13] 结果,向量 $ Y_ {n} $ 是线性相关的。因此,一定是 $ m = n $.

有限空间

我们将尺寸的定义限制为所谓的 有限维空间,定义如下。

定义 线性空间 $ S $ 当且仅当存在至少一个时,才被称为是有限维的 向量的有限集 [eq14] 这样 那[eq15]哪里 [eq16] 表示 跨度[eq17].

换句话说,如果空间具有有限的扩展集,则它是有限维的。

存在基础

以下命题成立。

主张$ S $ 是一个有限维的线性空间。然后, $ S $ 具有至少一个基础。

证明

以来 $ S $ 是有限维的,它具有一个跨越集 [eq18]. 选择任何 $罪S $ 这样 $s
eq 0$. 通过它自己, $ left {s
ight} $ 平凡地构成了一组线性独立的向量。由 基础扩展 定理,给定独立集 $ left {s
ight} $ 和生成集 [eq19], 我们可以扩展独立集来为 $ S $.

尺寸定义

确定线性空间始终拥有基础及其所有 基数具有相同的基数,我们现在可以定义 线性空间的尺寸。

定义$ S $ 是一个有限维的线性空间。让 n 是其任意一个基数的基数(即元素数)。 然后, n 称为尺寸 $ S $.

以下示例说明了维度的定义与我们的 直觉:所有空间的维度 Kx1 列向量为 K.

$ S $ 成为所有人的线性空间 $ 3imes 1 $ 列向量。定义三个 向量[eq20]然后 $ e_ {1},e_ {2},e_ {3} $ 是基础 $ S $ 因为1)任何向量 [eq21]能够 被写 如 [eq22]和 2)基础的任何要素都不能写成 线性组合 的 其他(因此,它们是线性独立的)。因此,基础有 $3$ 元素和空间尺寸 $ S $$3$.

注意,列向量的线性空间的维数为 K 条目可以少于 K, 如以下示例所示。

考虑所有的线性空间 $ 3imes 1 $ 柱 向量[eq23]这样 他们的前两个条目可以是任何标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $, 他们的第三项等于 0. 这样的空间被 基础[eq24]谁的 基数等于 $2$. 因此,空间的尺寸等于 $2$.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

阅读最后一个示例并显示 $ B $ 确实是基础。

表示基础的两个要素 通过[eq25]的 两个向量是线性独立的,因为它们都不是的倍数 另一个。此外,可以写出空间的所有向量 如 [eq26]那 是属于基础的两个向量的线性组合。

练习2

找出线性空间的尺寸 $ S $ 跨越两个 向量[eq27]

的线性跨度 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 是空间 $ S $ 可以写成以下形式的线性组合的所有向量 $ s_ {1} $$ s_ {2} $. 换句话说,任何 $罪S $ 可以写 如 [eq28]哪里 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 是两个标量。但是,两个向量 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 线性相关 因为[eq29]因此, 任何向量 $罪S $ 可以写 如 [eq30]那 是,所有向量都是的倍数 $ s_ {1} $. 从而, [eq31]是 的基础 $ S $. 它的基数是 1. 因此,尺寸 $ S $1.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性空间的尺寸", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/dimension-of-a-linear-space.

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