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直接和

通过 博士

两个子空间的直接和 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 真人在线斗地主空间的一个是另一个子空间,其元素可以唯一地编写 作为一个真人在线斗地主的总和 $ S_ {1} $ 和一个真人在线斗地主 $ S_ {2} $.

目录

子空间之和

让我们开始定义子空间之和。

定义 $ S $ 成为 线性空间$ S_ {1} $$ S_ {2} $ 的两个子空间  $ S $ . 总数是 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是个 组 [eq1]

换句话说,两个子空间之和是包含所有 可以写为两个真人在线斗地主之和的真人在线斗地主 $ S_ {1} $ 另一个取自 $ S_ {2} $.

 $ S $ 成为所有人的空间 $ 3imes 1 $ 列真人在线斗地主 。 让 $ S_ {1} $ 是所有真人在线斗地主的子空间,可以将其写为的标量倍数。 真人在线斗地主 [eq2] 那 是的 $ S_ {1} $ 包含所有真人在线斗地主 $ s_ {1} $ 的 形成 [eq3] 哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。同样,定义 $ S_ {2} $ 作为包含所有真人在线斗地主的子空间 $ s_ {2} $ 的形式 [eq4] 哪里 $ eta $ 可以是任何标量。然后,总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 是包含所有真人在线斗地主的集合  $ s $ 的 形成 [eq5] 哪里 标量 $ lpha $$ eta $ 可以任意选择。

和是子空间

请记住,子空间是真人在线斗地主空间的子集,因此 线性组合 的 子空间的真人在线斗地主属于子空间本身。

主张 $ S $ 成为线性空间 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 的两个子空间  $ S $ . 然后,总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 是的子空间  $ S $ .

证明

任意选择两个真人在线斗地主 $ s,锡S_ {1} + S_ {2} $. 根据两个子空间之和的定义,存在真人在线斗地主 [eq6][eq7] 这样 那 [eq8][eq9] 现在, 考虑一个线性组合  $ s $  $ t $ 标量系数 $西格玛$ $ au $ :[eq10] 以来 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是子空间,我们有 那 [eq11][eq12]因此, 线性组合 $ sigma s + au t $ 可以写成的真人在线斗地主的总和 $ S_ {1} $ 和真人在线斗地主 $ S_ {2} $. 从而, [eq13] 我们 已经证明,元素的任何线性组合 $ S_ {1} + S_ {2} $ 属于 $ S_ {1} + S_ {2} $ 本身。换一种说法, $ S_ {1} + S_ {2} $ 是线性子空间,这是我们需要证明的。

超过两个

两个以上子空间的总和类似于两个子总和的定义 子空间。

定义 $ S $ 是一个线性空间。让 [eq14] 是...的子空间  $ S $ . 总数是 [eq15] 是个 组 [eq16]

同样在超过两个子空间的情况下,它们的和也是一个子空间。

子空间的直接和

直接和是一种特殊的和。

定义 $ S $ 是一个线性空间。让 [eq17] 是...的子空间  $ S $ . 总和 [eq18] 被称为直接和,并表示为 通过 [eq19] 如果 并且只有在 [eq20] 线性独立 每当 $ s_ {j} in S_ {j} $$s_{j}
eq 0$ 对于 $ j = 1,ldots,n $.

换句话说,直接取总和,取自不同点的非零真人在线斗地主 被求和的子空间必须是线性独立的。

总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 在上一个示例中定义的是直接和,因为两者 真人在线斗地主[eq21] 是 线性独立 $lpha 
eq 0$$eta 
eq 0$.

符号

通常的求和符号可以用来表示 n 子空间 [eq22]:[eq23]

有趣的是,还有一个符号 总结: [eq24]

结果为零的求和

下一个命题表明求和的必要和充分条件 直接。它可以用作直接和的替代定义。

主张 $ S $ 是一个线性空间。让 [eq25] 是...的子空间  $ S $ . 总和 [eq18] 当且仅当唯一的方式是 获得 [eq27] 是 设置 $ s_ {1} = 0 $, ..., $ s_ {n} = 0 $.

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这个假设 [eq28] 是直接和。矛盾地,假设存在真人在线斗地主 $ s_ {j} in S_ {j} $ 对于 $ j = 1,ldots,n $ 这样 那 [eq29] 和 真人在线斗地主中的至少一个不同于零。我们可以毫无损失地承担 一般说来  $ m $ 真人在线斗地主不为零(否则我们可以对其重新编号)。然后我们 有 那 [eq30] 从而, 有一个线性组合(系数都等于 1) 的 [eq31] 结果是零真人在线斗地主。这意味着 [eq32] 是线性相关的。任意选择非零真人在线斗地主 $ t_ {j} in S_ {j} $ 对于 $ j = m + 1,ldots,n $. 一套,一套 [eq33] 是 一组线性相关的非零真人在线斗地主,每个真人在线斗地主均选自不同的 子空间 $ S_ {j} $. 这是不可能的,因为这样的集合不能直接存在(通过 直接和的定义)。因此,我们得出了一个矛盾 假设 [eq34] 和 真人在线斗地主中的至少一个不同于零。因此,独特的方式 求和的结果是得到零真人在线斗地主 $ s_ {1} = 0 $, ..., $ s_ {n} = 0 $. 让我们从“独特方式”的假设出发,证明“如果”部分 至 获得 [eq35]$ s_ {j} in S_ {j} $ 是挑 $ s_ {1} = 0 $, ..., $ s_ {n} = 0 $. 采取 n 非零真人在线斗地主 $ t_ {j} in S_ {j} $ 对于 $ j = 1,ldots,n $. 矛盾的是,假设它们是线性相关的。然后,存在 标量 [eq36] 并非全部等于零 那 [eq37] 以来 [eq38] 是子空间 [eq39] 对所有人  $ j $ . 此外,某些真人在线斗地主 $ lpha _ {j} t_ {j} $ 非零。这与最初的假设相矛盾( 由于来自不同的真人在线斗地主之和而获得零真人在线斗地主 子空间将选择所有等于零的空间)。从而, [eq40] 必须是线性独立的。作为结果 [eq41] 是直接和。

交叉点仅包含零真人在线斗地主

这是一个必要条件,通常在应用程序中易于验证。

主张 $ S $ 是一个线性空间。让 [eq25] 是...的子空间  $ S $ . 如果 [eq41] 是直接和 [eq44] 对于 $j
eq k$.

证明

假设一个真人在线斗地主 $s
eq 0$ 属于十字路口 $ S_ {j}个上限S_ {k} $ 对于 $j
eq k$. 然后, $ sin S_ {j} $, $ sin S_ {k} $$ -sin S_ {k} $ (因为 $ S_ {k} $ 是一个子空间)。而且,我们有 那 [eq45] 哪一个 与以下假设相矛盾 [eq41] 是直接和(因为获得零的唯一方法是从中选择所有零 直接和中涉及的子空间)。因此,我们得出结论,只有 零真人在线斗地主可以属于 $ S_ {j}个上限S_ {k} $ 对于 $j
eq k$.

如果总和仅涉及两个子空间,则必要条件 也变得足够。

主张 $ S $ 是一个线性空间。让 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 是...的子空间  $ S $ . 总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 是且仅当且仅当是 [eq47]

证明

“仅”部分已被证明 在上面更笼统的命题中。让我们证明“如果”部分,从 从这个假设 [eq48]. 假设 S_ {1} $中的$ s_ {1}, S_ {2} $中的$ s_ {2}[eq49] 然后, [eq50] 哪一个 暗示 [eq51]. 因此, [eq52] 从而, 方程(1)中和的唯一获得零真人在线斗地主的方法 是从两个子空间中选择零真人在线斗地主作为求和。因此, $ S_ {1} + S_ {2} $ 是直接和。

这是一个例子。

 $ S $ 成为所有人的空间 $ 3imes 1 $ 具有真实条目的列真人在线斗地主。让 $ S_ {1} $ 是包含的所有真人在线斗地主的子空间 形成 [eq53] 哪里 $ lpha $$ eta $ 可以是任何实数。让 $ S_ {2} $ 成为所有子空间 真人在线斗地主[eq54] 哪里 $ lpha $, $ eta $$伽马$ 可以是任何满足 [eq55]. 是 $ S_ {1} + S_ {2} $ 直接的总和?否,因为例如 真人在线斗地主 [eq56]属于 两者都 $ S_ {1} $$ S_ {2} $. 结果,交集 $ S_ {1}上限S_ {2} $ 除零真人在线斗地主外,还包含其他真人在线斗地主,这意味着 $ S_ {1} + S_ {2} $ 不是直接的总和。

代表的唯一性

关于直接和的最重要事实是真人在线斗地主可以表示 唯一地作为子空间中元素的总和。

主张 $ S $ 是一个线性空间。让 [eq25] 是...的子空间  $ S $ . 总和 [eq18] 是且仅当对任何真人在线斗地主都是直接和  $ s $ 属于和,存在唯一的真人在线斗地主集 [eq59] 这样 [eq60]

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 假设总和是直接的。矛盾地,假设 存在一组不同的真人在线斗地主 [eq61] 这样 [eq62] 然后, [eq63] 和 至少有一个加数不为零,这是不可能的,因为和 是直接的。因此,不存在真人在线斗地主的另一种表示形式  $ s $ . 让我们从每个真人在线斗地主都具有的假设开始,证明“ 如果 ”部分 命题中所显示类型的唯一表示。 假设[eq64] 但 我们也 有 [eq65] 以来 总和的表示是唯一的 [eq66]. 因此,获得零的唯一方法是作为零真人在线斗地主的总和。因此,总和 是直接的。

同样,该命题也可以被视为直接和的定义, 例如由 阿克斯勒(1997).

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

 $ S $ 成为所有人的空间 $ 3imes 1 $ 具有真实条目的列真人在线斗地主。让 $ S_ {1} $ 是包含的所有真人在线斗地主的子空间 形成 [eq67] 哪里 $ lpha $, $ eta $$伽马$ 可以是任何满足 [eq68]. 让 $ S_ {2} $ 成为所有子空间 真人在线斗地主[eq69] 哪里 $ lpha $, $ eta $$伽马$ 可以是任何满足 [eq70].

$ S_ {1} + S_ {2} $ 直接的总和?

让我们找出是否 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 除零真人在线斗地主外,还包含其他真人在线斗地主。属于 相交应同时满足两个条件 方程式[eq71] 如果 我们将第一个方程添加到第二个方程中 获得 [eq72] 所以 该系统 变成 [eq73] 的 两个方程式相同(第二个方程式乘以 $-1$ )。 然后,唯一要满足的其他方程式 是 [eq74] 的 由等式(1)和(2)形成的系统例如通过 $ lpha = 0 $, $ eta = 1 $, $伽马= -1 $. 就这样 真人在线斗地主 [eq75]属于 到路口和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 不是直接的总和。

参考文献

Axler,S.(1997年) 线性代数 做对了,第二版,Springer Science& Business Media.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "直接和", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/direct-sum.

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