两个多项式的除法类似于两个整数的除法 数字:作为除法运算的结果,我们得到另一个多项式和一个 程度小于除数的余数。
记住,给定一个字段
(例如,实数集
或复数集
)
和一个非负整数
,
a 多项式 的
度
是一个功能
定义的
通过
哪里
两者的论点
和系数
属于
和
.
我们表示多项式的次数
通过
.
在本节和下一节中,我们将修改一些关于总和的事实 和多项式的乘积
回想一下,通过对两个多项式的系数求和来求和。
如果
是度的多项式
以上定义和
是度的另一个多项式
定义的
通过
然后
程度
小于或等于度
高阶多项式的
.
特别要注意的是,如果
和
,
然后的程度
小于
.
例
让
是度的多项式
被定义为
和
度的多项式
定义的
通过
然后,
总和
是度的多项式
定义的
通过
和以前一样,
让的
产品
是
哪里
系数
满足
以来
和
(除此以外
和
不会是次数的多项式
和
分别),
和
是度的多项式
.
例
让
和
是前面示例中定义的多项式。
然后,
和
以下命题被称为“除法算法”,因为 它的证明是一种建设性证明,我们提出一种算法 实际执行两个多项式的除法。
主张
让
和
是两个多项式
.
然后,存在一个唯一的多项式
这样
和
.
此外,
什么时候
,
要么
什么时候
.
让和
哪里
和
.
如果
,
然后我们通过设置获得所需形式的表示
和
.
如果
,
然后我们
定义
哪里
因为
.
通过乘以多项式
通过
,
我们将其转换为具有相同次数的多项式
如
且前导系数相同
.
从而,
至少小于1度
.
我们现在
有
哪里
以来
,
如果
,
我们完了。否则,我们
定义
哪里
是...的前导系数
和
.
我们现在
有
哪里
我们有
定义的
注意
那
因此,
如果
,
我们完了。否则,我们会随着
与之前步骤中使用的技术相同,直到
我们
获得
哪里
有学位
和
.
我们现在通过矛盾证明唯一性。假设有两个
具有所需的表示
特点:
哪里
.
然后我们
有
以来
,
多项式
程度大于或等于
.
同样必须如此
要么
.
但这是不可能的,因为
和
必须小于
.
因此,我们有一个矛盾,那一定是
.
对于涉及到的四个多项式,我们使用以下术语
师
算法
是股利;
是除数;
是商;
是其余的。
如果除法算法末获得的余数相同
零,即
和
然后
我们说
分界
,
那
是...的除数
或者那个
被...整除
,
和我们
写
请注意,
表示零多项式永远不能是除数。
注意,如果分红
等于零,那么对于每个
与
,
我们
有
因此,
对于
每一个
让我们举一个例子来看看除法算法在实际中是如何工作的。
为了理解该示例,我们需要先阅读 除法算法(以上),其中解释了算法的步骤。
例
让我们划分
多项式通过
的
多项式
这里
和
.
我们定义
从而,
和
的
程度
大于
.
结果,我们需要进一步减少余数。的
先前的计算将综合显示为
哪里
我们已经报告了股息
在第二行中,除数
在最左列中的商
在第一行中,产品
在第三行,其余
在最后一行。算法的后续步骤直接在
画面:
在
最后一行的余数小于除数的余数
我们可以停止算法。除法结果
是
这是一个关于除数的多项式的简单但极其有用的事实 彼此的。
主张
让
和
是不完全等于零的两个多项式。如果
和
,
然后
哪里
是属于的非负常数
.
事实
表示他们的划分中没有剩余。通过查看
除法算法,我们可以看到这仅在以下情况下发生:
(当
和
,
但
通过假设)。同样,事实是
暗示
.
因此,我们有
那
让
哪里
是除法的商。通过乘的性质
多项式(如上所述),我们
有
因此,
从而,
是零级多项式,即非负常数。
这是除法算法的一个应用,称为余数定理。
主张
让
是多项式,
.
如果我们分开
通过
,
我们获得
作为余数。
通过应用除法算法,我们
获得哪里
程度
需要低于度
.
后者的程度是
.
因此,
是一个常数。因此,我们
有
要么
这是先前命题即因子定理的推论。
主张
让
是多项式,
.
然后,
被...整除
当且仅当
是...的根源
.
根据定义,
被...整除
当且仅当除法的余数为零时,由余数
定理,当且仅当
,
而仅当且仅当
是...的根源
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
划分
多项式通过
的
多项式
我们只需要执行一个步骤:
除法结果
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "多项式除法", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/division-of-polynomials.