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多项式除法

通过 博士

两个多项式的除法类似于两个整数的除法 数字:作为除法运算的结果,我们得到另一个多项式和一个 程度小于除数的余数。

目录

多项式

记住,给定一个字段 F (例如,实数集 R 或复数集 $ U {2102} $) 和一个非负整数 $ m $, a 多项式 的 度 $ m $ 是一个功能 $ f:F
ightarrow F $ 定义的 通过[eq1]哪里 两者的论点 $ z $ 和系数 [eq2] 属于 F$a_{m}
eq 0$.

我们表示多项式的次数 $ f $ 通过 [eq3].

多项式的总和

在本节和下一节中,我们将修改一些关于总和的事实 和多项式的乘积

回想一下,通过对两个多项式的系数求和来求和。

如果 $ f $ 是度的多项式 $ m $ 以上定义和 $ g $ 是度的另一个多项式 $ nleq m $ 定义的 通过[eq4]然后[eq5]

程度 $ f + g $ 小于或等于度 $ m $ 高阶多项式的 $ f $. 特别要注意的是,如果 $ m = n $$ a_ {m} =-b_ {m} $, 然后的程度 $ f + g $ 小于 $ m $.

$ f $ 是度的多项式 $m=3$ 被定义为 [eq6]$ g $ 度的多项式 $2$ 定义的 通过[eq7]然后, 总和 $ f + g $ 是度的多项式 $m=3$ 定义的 通过[eq8]

多项式的乘积

和以前一样, 让[eq9]的 产品 $ fg $[eq10]哪里 系数 满足[eq11]

以来 $a_{m}
eq 0$$b_{n}
eq 0$ (除此以外 $ f $$ g $ 不会是次数的多项式 $ m $n 分别), $c_{n+m}
eq 0$$ fg $ 是度的多项式 $ m + n $.

$ f $$ g $ 是前面示例中定义的多项式。 然后,[eq12][eq13]

除法算法

以下命题被称为“除法算法”,因为 它的证明是一种建设性证明,我们提出一种算法 实际执行两个多项式的除法。

主张$ f $$ g $ 是两个多项式 [eq14]. 然后,存在一个唯一的多项式 $ q $ 这样 [eq15][eq16]. 此外, $q=0$ 什么时候 [eq17], 要么 [eq18]什么时候 [eq19].

证明

[eq20][eq21]哪里 [eq22][eq23]. 如果 $m<n$, 然后我们通过设置获得所需形式的表示 $q=0$$ r = f $. 如果 $ mgeq n $, 然后我们 定义[eq24]哪里 $b_{n}
eq 0$ 因为 [eq25]. 通过乘以多项式 $ gleft(z
权)$ 通过 [eq26], 我们将其转换为具有相同次数的多项式 $ m $$ fleft(z
权)$ 且前导系数相同 $ a_ {m} $. 从而, [eq27] 至少小于1度 $ fleft(z
权)$. 我们现在 有[eq28]哪里[eq29]以来 [eq30], 如果 [eq31], 我们完了。否则,我们 定义[eq32]哪里 $ c $ 是...的前导系数 $ r_ {1} $[eq33]. 我们现在 有[eq34]哪里 我们有 定义的[eq35]注意 那 [eq36]因此, 如果 [eq37], 我们完了。否则,我们会随着 与之前步骤中使用的技术相同,直到 p 我们 获得[eq38]哪里 [eq39] 有学位 $ m-n $[eq40]. 我们现在通过矛盾证明唯一性。假设有两个 具有所需的表示 特点:[eq41]哪里 $q_{1}
eq q_{2}$. 然后我们 有[eq42]以来 $q_{1}-q_{2}
eq 0$, 多项式 [eq43] 程度大于或等于 [eq44]. 同样必须如此 $ r_ {1} $ 要么 $ r_ {2} $. 但这是不可能的,因为 $ r_ {1} $$ r_ {2} $ 必须小于 [eq44]. 因此,我们有一个矛盾,那一定是 $ q_ {1} = q_ {2} $.

术语

对于涉及到的四个多项式,我们使用以下术语 师 算法[eq46]

没有剩余

如果除法算法末获得的余数相同 零,即 $r=0$[eq47]然后 我们说 $ g $ 分界 $ f $, 那 $ g $ 是...的除数 $ f $ 或者那个 $ f $ 被...整除 $ g $, 和我们 写[eq48]

请注意, [eq49] 表示零多项式永远不能是除数。

零多项式作为股息

注意,如果分红 $ f $ 等于零,那么对于每个 $ g $[eq49], 我们 有[eq51]

因此, [eq52]对于 每一个 $ g。$

让我们举一个例子来看看除法算法在实际中是如何工作的。

为了理解该示例,我们需要先阅读 除法算法(以上),其中解释了算法的步骤。

让我们划分 多项式[eq53]通过 的 多项式[eq54]这里 [eq55][eq56]. 我们定义 [eq57]从而,[eq58][eq59]的 程度 $ r_ {1} $ 大于 $ g $. 结果,我们需要进一步减少余数。的 先前的计算将综合显示为 [eq60]哪里 我们已经报告了股息 $ fleft(z
权)$ 在第二行中,除数 $ gleft(z
权)$ 在最左列中的商 [eq61] 在第一行中,产品 [eq62] 在第三行,其余 [eq63] 在最后一行。算法的后续步骤直接在 画面:[eq64]在 最后一行的余数小于除数的余数 我们可以停止算法。除法结果 是[eq65]

相互除数

这是一个关于除数的多项式的简单但极其有用的事实 彼此的。

主张$ f_ {1} $$ f_ {2} $ 是不完全等于零的两个多项式。如果 $ f_ {1} | f_ {2} $$ f_ {2} | f_ {1} $, 然后 [eq66]哪里 $ c $ 是属于的非负常数 F.

证明

事实 $ f_ {1} | f_ {2} $ 表示他们的划分中没有剩余。通过查看 除法算法,我们可以看到这仅在以下情况下发生: [eq67] (当 [eq68]$ f_ {1} = 0 $, 但 $f_{1}
eq 0$ 通过假设)。同样,事实是 $ f_ {2} | f_ {1} $ 暗示 [eq69]. 因此,我们有 那[eq70][eq71]哪里 $ c $ 是除法的商。通过乘的性质 多项式(如上所述),我们 有[eq72]因此,[eq73]从而, $ c $ 是零级多项式,即非负常数。

余数定理

这是除法算法的一个应用,称为余数定理。

主张$ f:F
ightarrow F $ 是多项式, $ ain F $. 如果我们分开 $ fleft(z
权)$ 通过 $ left(z-a
权)$, 我们获得 $ fleft(a
权)$ 作为余数。

证明

通过应用除法算法,我们 获得[eq74]哪里 程度 $ r $ 需要低于度 $ left(z-a
权)$. 后者的程度是 1. 因此, $ rleft(z
权)$ 是一个常数。因此,我们 有[eq75]要么[eq76]

因子定理

这是先前命题即因子定理的推论。

主张$ f:F
ightarrow F $ 是多项式, $ ain F $. 然后, $ fleft(z
权)$ 被...整除 $ left(z-a
权)$ 当且仅当 a 是...的根源 $ f $.

证明

根据定义, $ fleft(z
权)$ 被...整除 $ left(z-a
权)$ 当且仅当除法的余数为零时,由余数 定理,当且仅当 [eq77], 而仅当且仅当 a 是...的根源 $ f $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

划分 多项式[eq78]通过 的 多项式[eq79]

我们只需要执行一个步骤: [eq80] 除法结果 是[eq81]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "多项式除法", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/division-of-polynomials.

这本书

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