特征值和特征向量

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

本讲座介绍了a的特征值和特征向量的概念 方阵。这些是线性代数中最有用的概念： 研究方阵的特征值和特征向量非常频繁 在应用工作中。

直觉

让我们首先发展一些关于特征值和特征向量的直觉。去做 因此，我们从在关于 行列式的行列式 矩阵.

考虑一下 线性空间 在所有 实向量，可以表示为笛卡尔平面。一个向量 是平面中的一个点， 是 - 和 -坐标 点的分别。现在，考虑一个 矩阵 . 矩阵可变换任何点集 （例如，矩形，圆形）到另一组点中 :

如果要点 形成一个面积等于 , 和转换区域的面积 是 , 然后

换句话说，行列式告诉我们线性变换多少 与矩阵相关 放大或缩小形状区域。特征值和特征向量为我们提供了 与另一条有用的信息。 他们告诉我们多少 线性变换按比例放大或缩小某些边 平行四边形.

考虑平行四边形在其原点有一个顶点 笛卡尔平面。四个顶点 是哪里 和 是 向量和 是零向量。有两个向量 和 , 称为的特征向量 , 这样关联的平行四边形就可以通过 变成具有 顶点哪里 和 是两个标量，称为的特征值 . 换句话说，线性变换会乘以一对 平行边 而另一对的长度 , 但它保持平行四边形的角度不变。下图 提供了这种转换的说明：原始 平行四边形（蓝色）通过以下方式转换为另一个平行四边形（红色） 矩阵 其特征值等于 和 .

由于一对平行边按比例缩放 另一对 , 平行四边形的面积按以下比例缩放 . 但我们也知道，平行四边形的面积由 . 作为一个 后果，那 是，矩阵的行列式等于其特征值的乘积a 普遍存在的事实。

我们将在下面提供特征值和特征向量的定义 将这些概念推广到可以具有两个以上的线性空间 尺寸。

定义

现在我们准备定义特征值和特征向量。

此定义与上面关于顶点的顶点的示例相符。 平行四边形。两个顶点 和 是对应于特征值的特征向量 和 因为此外， 可以将这两个方程相加，以获得 顶点 :

特征方程

注意特征值 方程能够 被写 如 哪里 是个 单位矩阵。后者 仅当矩阵的列为零时，方程式才具有非零解 是 线性相关, 也就是说，如果矩阵是 单数。但 如果且且矩阵是奇异的 仅当其行列式为零时。结果，任何本征值 必须满足 方程哪一个 叫做 特征方程.

表达方式 是度数的单项多项式 在 , 被称为特征多项式。

通过使用 基本定理 代数，可以写出特征方程 如 哪里 是 方程的解（即特征多项式的根）。

代数的基本定理可以保证 存在解决方案，但不能保证这些解决方案是真实的（即 可以是复数），即使 都是真实的。也不能保证它们是不同的，即两个 解决方案可能是平等的。

光谱

在上一节中，我们解释了 矩阵 具有 不一定是不同的并且可能是复杂的特征值。全部一套 的特征值 被称为 .

本征空间

注意 如果然后 您可以将方程的两边乘以非零的标量 和 得到 换句话说，如果 是的特征值 和 是对应于 , 那么任何倍数 是对应于 . 因此，对应于给定特征值的特征向量不是唯一的。在 在本节中，我们证明对应于的所有特征向量的集合 给定的特征值是线性空间。

请注意，我们将零向量包含在本征空间中，因为本征向量 必须为非零。

下一个命题表明本征空间相对于 线性组合， 是，它是一个线性空间。

显然，一旦一个特征值 具有 被发现（例如通过求解特征方程），的本征空间 可以找到 解决 线性 系统

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑矩阵 节目 那 是 的特征向量 并找到其对应的特征值。

练习2

定义找 的特征值 通过求解特征方程。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "特征值和特征向量", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.