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特征值和特征向量

通过 博士

本讲座介绍了a的特征值和特征向量的概念 方阵。这些是线性代数中最有用的概念: 研究方阵的特征值和特征向量非常频繁 在应用工作中。

目录

直觉

让我们首先发展一些关于特征值和特征向量的直觉。去做 因此,我们从在关于 行列式的行列式 矩阵.

考虑一下 线性空间 $ S $ 在所有 $ 2imes 1 $ 实向量,可以表示为笛卡尔平面。一个向量 $罪S $ 是平面中的一个点, $ s $x- 和 $ y $-坐标 点的分别。现在,考虑一个 2元2元 矩阵 A. 矩阵可变换任何点集 $ T子集S $ (例如,矩形,圆形)到另一组点中 $ T_ {A} $: [eq1]

如果要点 $ T $ 形成一个面积等于 $ lpha $, 和转换区域的面积 $ T_ {A} $$ lpha _ {A} $, 然后[eq2]

换句话说,行列式告诉我们线性变换多少 与矩阵相关 A 放大或缩小形状区域。特征值和特征向量为我们提供了 与另一条有用的信息。 他们告诉我们多少 线性变换按比例放大或缩小某些边 平行四边形.

考虑平行四边形在其原点有一个顶点 笛卡尔平面。四个顶点 是[eq3]哪里 $ x_ {1} $$ x_ {2} $$ 2imes 1 $ 向量和 0 是零向量。有两个向量 $ x_ {1} $$ x_ {2} $, 称为的特征向量 A, 这样关联的平行四边形就可以通过 A 变成具有 顶点[eq4]哪里 $ lambda _ {1} $$ lambda _ {2} $ 是两个标量,称为的特征值 A. 换句话说,线性变换会乘以一对 平行边 $ lambda _ {1} $ 而另一对的长度 $ lambda _ {2} $, 但它保持平行四边形的角度不变。下图 提供了这种转换的说明:原始 平行四边形(蓝色)通过以下方式转换为另一个平行四边形(红色) 矩阵 A 其特征值等于 $ lambda _ {1} = 2 $$ lambda _ {2} = 3/2 $.

由矩阵特征向量形成的平行四边形图

由于一对平行边按比例缩放 $ lambda _ {1} $ 另一对 $ lambda _ {2} $, 平行四边形的面积按以下比例缩放 [eq5]. 但我们也知道,平行四边形的面积由 [eq6]. 作为一个 后果,[eq7]那 是,矩阵的行列式等于其特征值的乘积a 普遍存在的事实。

我们将在下面提供特征值和特征向量的定义 将这些概念推广到可以具有两个以上的线性空间 尺寸。

定义

现在我们准备定义特征值和特征向量。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果存在 Kx1 向量 $x
eq 0$ 和标量 $ lambda $ 这样 那[eq8]然后 $ lambda $ 被称为的特征值 Ax 对应于 $ lambda $.

此定义与上面关于顶点的顶点的示例相符。 平行四边形。两个顶点 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是对应于特征值的特征向量 $ lambda _ {1} $$ lambda _ {2} $ 因为[eq9]此外, 可以将这两个方程相加,以获得 顶点 $ x_ {1} + x_ {2} $:[eq10]

特征方程

注意特征值 方程[eq11]能够 被写 如 [eq12]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵。后者 仅当矩阵的列为零时,方程式才具有非零解 $ lambda I-A $ 线性相关, 也就是说,如果矩阵是 单数。但 如果且且矩阵是奇异的 仅当其行列式为零时。结果,任何本征值 A 必须满足 方程[eq13]哪一个 叫做 特征方程.

表达方式 [eq14] 是度数的单项多项式 K$ lambda $, 被称为特征多项式。

通过使用 基本定理 代数,可以写出特征方程 如 [eq15]哪里 [eq16]K 方程的解(即特征多项式的根)。

代数的基本定理可以保证 K 存在解决方案,但不能保证这些解决方案是真实的(即 可以是复数),即使 A 都是真实的。也不能保证它们是不同的,即两个 解决方案可能是平等的。

光谱

在上一节中,我们解释了 $ Kimes K $ 矩阵 A 具有 K 不一定是不同的并且可能是复杂的特征值。全部一套 的特征值 A 被称为 A.

本征空间

注意 如果[eq11]然后 您可以将方程的两边乘以非零的标量 $ lpha $ 和 得到[eq18] 换句话说,如果 $ lambda $ 是的特征值 Ax 是对应于 $ lambda $, 那么任何倍数 x 是对应于 $ lambda $. 因此,对应于给定特征值的特征向量不是唯一的。在 在本节中,我们证明对应于的所有特征向量的集合 给定的特征值是线性空间。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $ lambda $ 其特征值之一。零向量与所有集合的并集 与特征值对应的特征向量 $ lambda $ 称为的本征空间 $ lambda $.

请注意,我们将零向量包含在本征空间中,因为本征向量 必须为非零。

下一个命题表明本征空间相对于 线性组合, 是,它是一个线性空间。

主张 对应于特征值的特征空间是 线性空间.

证明

假设 $ lambda $ 是方矩阵的特征值 A 并取任何两个向量 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 属于的本征空间 $ lambda $. 然后,[eq19]现在 进行线性组合 $ y $ 在两个之中 特征向量[eq20]哪里 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 是两个标量。 然后,[eq21]从而, $ y $ 是对应于 $ lambda $. 换句话说,本征空间向量的任何线性组合 属于本征空间。

显然,一旦一个特征值 $ lambda〜$具有 被发现(例如通过求解特征方程),的本征空间 $ lambda $ 可以找到 解决 线性 系统[eq12]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑矩阵 [eq23]节目 那 [eq24]是 的特征向量 A 并找到其对应的特征值。

我们有 那[eq25]从而, x 是...的特征向量 A 对应于特征值 $ lambda = 1 $.

练习2

定义[eq26]找 的特征值 A 通过求解特征方程。

特征方程 是[eq27]因此, 的特征值 A$ lambda _ {1} = 2 $$ lambda _ {2} = 1 $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "特征值和特征向量", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.

这本书

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