本讲座介绍了a的特征值和特征向量的概念 方阵。这些是线性代数中最有用的概念: 研究方阵的特征值和特征向量非常频繁 在应用工作中。
让我们首先发展一些关于特征值和特征向量的直觉。去做 因此,我们从在关于 行列式的行列式 矩阵.
考虑一下 线性空间
在所有
实向量,可以表示为笛卡尔平面。一个向量
是平面中的一个点,
是
-
和
-坐标
点的分别。现在,考虑一个
矩阵
.
矩阵可变换任何点集
(例如,矩形,圆形)到另一组点中
:
如果要点
形成一个面积等于
,
和转换区域的面积
是
,
然后
换句话说,行列式告诉我们线性变换多少
与矩阵相关
放大或缩小形状区域。特征值和特征向量为我们提供了
与另一条有用的信息。 他们告诉我们多少
线性变换按比例放大或缩小某些边
平行四边形.
考虑平行四边形在其原点有一个顶点
笛卡尔平面。四个顶点
是哪里
和
是
向量和
是零向量。有两个向量
和
,
称为的特征向量
,
这样关联的平行四边形就可以通过
变成具有
顶点
哪里
和
是两个标量,称为的特征值
.
换句话说,线性变换会乘以一对
平行边
而另一对的长度
,
但它保持平行四边形的角度不变。下图
提供了这种转换的说明:原始
平行四边形(蓝色)通过以下方式转换为另一个平行四边形(红色)
矩阵
其特征值等于
和
.
由于一对平行边按比例缩放
另一对
,
平行四边形的面积按以下比例缩放
.
但我们也知道,平行四边形的面积由
.
作为一个
后果,
那
是,矩阵的行列式等于其特征值的乘积a
普遍存在的事实。
我们将在下面提供特征值和特征向量的定义 将这些概念推广到可以具有两个以上的线性空间 尺寸。
现在我们准备定义特征值和特征向量。
定义
让
成为
矩阵。如果存在
向量
和标量
这样
那
然后
被称为的特征值
和
对应于
.
此定义与上面关于顶点的顶点的示例相符。
平行四边形。两个顶点
和
是对应于特征值的特征向量
和
因为
此外,
可以将这两个方程相加,以获得
顶点
:
注意特征值
方程能够
被写
如
哪里
是个
单位矩阵。后者
仅当矩阵的列为零时,方程式才具有非零解
是 线性相关,
也就是说,如果矩阵是
单数。但
如果且且矩阵是奇异的
仅当其行列式为零时。结果,任何本征值
必须满足
方程
哪一个
叫做 特征方程.
表达方式
是度数的单项多项式
在
,
被称为特征多项式。
通过使用
基本定理
代数,可以写出特征方程
如 哪里
是
方程的解(即特征多项式的根)。
代数的基本定理可以保证
存在解决方案,但不能保证这些解决方案是真实的(即
可以是复数),即使
都是真实的。也不能保证它们是不同的,即两个
解决方案可能是平等的。
在上一节中,我们解释了
矩阵
具有
不一定是不同的并且可能是复杂的特征值。全部一套
的特征值
被称为
.
注意
如果然后
您可以将方程的两边乘以非零的标量
和
得到
换句话说,如果
是的特征值
和
是对应于
,
那么任何倍数
是对应于
.
因此,对应于给定特征值的特征向量不是唯一的。在
在本节中,我们证明对应于的所有特征向量的集合
给定的特征值是线性空间。
定义
让
成为
矩阵和
其特征值之一。零向量与所有集合的并集
与特征值对应的特征向量
称为的本征空间
.
请注意,我们将零向量包含在本征空间中,因为本征向量 必须为非零。
下一个命题表明本征空间相对于 线性组合, 是,它是一个线性空间。
主张 对应于特征值的特征空间是 线性空间.
假设
是方矩阵的特征值
并取任何两个向量
和
属于的本征空间
.
然后,
现在
进行线性组合
在两个之中
特征向量
哪里
和
是两个标量。
然后,
从而,
是对应于
.
换句话说,本征空间向量的任何线性组合
属于本征空间。
显然,一旦一个特征值
具有
被发现(例如通过求解特征方程),的本征空间
可以找到
解决
线性
系统
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
考虑矩阵
节目
那
是
的特征向量
并找到其对应的特征值。
我们有
那从而,
是...的特征向量
对应于特征值
.
定义找
的特征值
通过求解特征方程。
特征方程
是因此,
的特征值
是
和
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "特征值和特征向量", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.