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统计列克特
指数 > 矩阵代数

基本列操作

通过 博士

到目前为止,我们已经讨论了所有线性系统理论(例如, 矩阵 形成, 当量 系统, 初级 行操作, 行梯队 形成, 高斯型 淘汰)取决于我们最初对安排 垂直(一个在另一个之下)的系统方程式并编写它们 左侧和右侧作为两个列向量的条目。

可以通过安排 水平方程(一个在另一个方程之外)并写出它们的左和 右侧作为两个行向量的条目。在这个平行理论中, 下面简要概述了基本列操作(即 对应于基本行操作)。此外, 精确定义列操作是值得的,因为几个有用的 线性代数中的概念依赖行和列的统一处理 操作。

目录

行形式的系统

请记住, K 线性方程 $ L $ 未知数 [eq1]能够 以矩阵形式表示 如 [eq2]哪里 A 是个 $ Kimes L $ 系数矩阵 $ b $ 是个 Kx1 常数向量和 x 是个 $酸橙1 $ 向量的未知数。

因此,我们有两个 Kx1 等号两侧的列向量:

通过转换系统的两面,我们可以等效地编写它 如 [eq3]所以 未知的向量 $ x ^ {op} $ 是一个 $ 1imes L $ 行向量,系数矩阵 $ A ^ {op} $ 是一个 $石灰K $ 矩阵和常数向量 $ b ^ {op} $ 是一个 $ 1imes K $ 行向量。

换句话说,我们有两个 $ 1imes K $ 等号两侧的行向量:

这就是我们在引言中所说的“安排方程式 水平地,一个在另一个上”。

注意:

考虑一下 系统[eq5]然后, [eq6]和 我们有两个 $ 2imes 1 $ 等式两侧的向量 标志:[eq7] 两个向量中的一个对应于一个方程。通过 转置一切,我们 得到[eq8]和 我们有两个 $ 1imes 2 $ 等式两侧的向量 标志:[eq9] 两个向量中的一个对应于一个方程。至 更好地可视化列之间的对应关系,我们可以 写[eq10]

列操作

当一个系统被水平书写时,我们可以获得与之等效的系统 通过执行基本列操作:

  1. 将列乘以非零常数;

  2. 将一列的倍数添加到另一列;

  3. 交换列。

这些操作与基本行操作完全相似 在垂直编写的系统上执行。

请记住 初级 行操作可以通过两种替代方式执行:

  1. 直接在系统的行上;

  2. 在单位矩阵的行上;然后系统 预乘 通过结果矩阵。

可以执行的基本列操作也是如此:

  1. 直接在系统列上;

  2. 在单位矩阵的列上;然后系统 后乘 通过结果矩阵。

可以很容易地看出如下。当系统垂直排列时 通过执行基本行操作获得的矩阵是 $ R $, 那么等效的系统 是[eq11]

如果我们转置等式的两边,我们 得到[eq12]哪里 $ R ^ {op} $ 是通过对单位矩阵执行列运算而获得的矩阵 (转置将行操作转换为列操作)。

考虑三个方程组中的两个方程组 未知数[eq13]那 可以用矩阵形式写成 [eq14]哪里 [eq15]新增中 第一个方程到第二个方程,我们得到了等价物 系统[eq16]那 可以用矩阵形式写 如 [eq17]哪里[eq18]我们 通过1)获得相同的结果 2元2元 身份 矩阵[eq19]2) 将其第一列添加到 第二:[eq20]和 3)乘法后 $ A ^ {op} $$ b ^ {op} $ 通过 $ R ^ {op} $:[eq21]

列梯形表格

请记住,垂直排列的系统在放入时很容易解决 行梯形表格或 缩小排梯队 形成。这些形式与安排的系统有明显的对应关系 水平: 系统[eq14]是 当且仅当系统将其表示为(精简)列梯形形式 [eq2]是 以(精简的)梯队形式。

等效地,矩阵 $ A ^ {op} $ 当且仅当矩阵被称为(梯形)列梯形形式 A 以(精简)行梯形形式显示。

高斯和高斯约旦消除

最后,高斯和 高斯·乔丹 淘汰,这两种算法可将垂直系统转换为 (简化的)梯形形式的等效系统可以用于 具有简单修改的​​水平系统:每当基本 行操作对于垂直系统是必需的,我们改为执行 在水平系统上进行色谱柱操作。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

写 系统[eq24]水平地。

系统 是[eq25]

练习2

写矩阵 $ R $ 允许将前一个系统的第一列加起来两次 练习到第二列。

矩阵 $ R $ 通过对元素执行基本列操作获得 2元2元 单位矩阵: [eq26]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "基本列操作", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-column-operations.

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