到目前为止,我们已经讨论了所有线性系统理论(例如, 矩阵 形成, 当量 系统, 初级 行操作, 行梯队 形成, 高斯型 淘汰)取决于我们最初对安排 垂直(一个在另一个之下)的系统方程式并编写它们 左侧和右侧作为两个列向量的条目。
可以通过安排 水平方程(一个在另一个方程之外)并写出它们的左和 右侧作为两个行向量的条目。在这个平行理论中, 下面简要概述了基本列操作(即 对应于基本行操作)。此外, 精确定义列操作是值得的,因为几个有用的 线性代数中的概念依赖行和列的统一处理 操作。
请记住,
线性方程
未知数
能够
以矩阵形式表示
如
哪里
是个
系数矩阵
是个
常数向量和
是个
向量的未知数。
因此,我们有两个
等号两侧的列向量:
在左手侧;
在右手侧。
通过转换系统的两面,我们可以等效地编写它
如 所以
未知的向量
是一个
行向量,系数矩阵
是一个
矩阵和常数向量
是一个
行向量。
换句话说,我们有两个
等号两侧的行向量:
在左手侧;
在右手侧。
这就是我们在引言中所说的“安排方程式 水平地,一个在另一个上”。
注意:
在系统中
,
每行都是一个方程;
在系统中
,
每列都是一个方程。
例
考虑一下
系统然后,
和
我们有两个
等式两侧的向量
标志:
每
行 两个向量中的一个对应于一个方程。通过
转置一切,我们
得到
和
我们有两个
等式两侧的向量
标志:
每
柱 两个向量中的一个对应于一个方程。至
更好地可视化列之间的对应关系,我们可以
写
当一个系统被水平书写时,我们可以获得与之等效的系统 通过执行基本列操作:
将列乘以非零常数;
将一列的倍数添加到另一列;
交换列。
这些操作与基本行操作完全相似 在垂直编写的系统上执行。
请记住 初级 行操作可以通过两种替代方式执行:
直接在系统的行上;
在单位矩阵的行上;然后系统 预乘 通过结果矩阵。
可以执行的基本列操作也是如此:
直接在系统列上;
在单位矩阵的列上;然后系统 后乘 通过结果矩阵。
可以很容易地看出如下。当系统垂直排列时
通过执行基本行操作获得的矩阵是
,
那么等效的系统
是
如果我们转置等式的两边,我们
得到哪里
是通过对单位矩阵执行列运算而获得的矩阵
(转置将行操作转换为列操作)。
例
考虑三个方程组中的两个方程组
未知数那
可以用矩阵形式写成
哪里
新增中
第一个方程到第二个方程,我们得到了等价物
系统
那
可以用矩阵形式写
如
哪里
我们
通过1)获得相同的结果
身份
矩阵
2)
将其第一列添加到
第二:
和
3)乘法后
和
通过
:
请记住,垂直排列的系统在放入时很容易解决
行梯形表格或
缩小排梯队
形成。这些形式与安排的系统有明显的对应关系
水平:
系统是
当且仅当系统将其表示为(精简)列梯形形式
是
以(精简的)梯队形式。
等效地,矩阵
当且仅当矩阵被称为(梯形)列梯形形式
以(精简)行梯形形式显示。
最后,高斯和 高斯·乔丹 淘汰,这两种算法可将垂直系统转换为 (简化的)梯形形式的等效系统可以用于 具有简单修改的水平系统:每当基本 行操作对于垂直系统是必需的,我们改为执行 在水平系统上进行色谱柱操作。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
写
系统水平地。
系统
是
写矩阵
允许将前一个系统的第一列加起来两次
练习到第二列。
矩阵
通过对元素执行基本列操作获得
单位矩阵:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "基本列操作", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-column-operations.