基本列操作

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

到目前为止，我们已经讨论了所有线性系统理论（例如， 矩阵 形成, 当量 系统, 初级 行操作, 行梯队 形成, 高斯型 淘汰）取决于我们最初对安排 垂直（一个在另一个之下）的系统方程式并编写它们 左侧和右侧作为两个列向量的条目。

可以通过安排 水平方程（一个在另一个方程之外）并写出它们的左和 右侧作为两个行向量的条目。在这个平行理论中， 下面简要概述了基本列操作（即 对应于基本行操作）。此外， 精确定义列操作是值得的，因为几个有用的 线性代数中的概念依赖行和列的统一处理 操作。

行形式的系统

请记住， 线性方程 未知数 能够 以矩阵形式表示 如 哪里 是个 系数矩阵 是个 常数向量和 是个 向量的未知数。

因此，我们有两个 等号两侧的列向量:

• 在左手侧;

• 在右手侧。

通过转换系统的两面，我们可以等效地编写它 如 所以 未知的向量 是一个 行向量，系数矩阵 是一个 矩阵和常数向量 是一个 行向量。

换句话说，我们有两个 等号两侧的行向量:

• 在左手侧;

• 在右手侧。

这就是我们在引言中所说的“安排方程式 水平地，一个在另一个上”。

注意：

• 在系统中 , 每行都是一个方程；

• 在系统中 , 每列都是一个方程。

列操作

当一个系统被水平书写时，我们可以获得与之等效的系统 通过执行基本列操作：

1. 将列乘以非零常数；

2. 将一列的倍数添加到另一列；

3. 交换列。

这些操作与基本行操作完全相似 在垂直编写的系统上执行。

请记住 初级 行操作可以通过两种替代方式执行:

1. 直接在系统的行上；

2. 在单位矩阵的行上；然后系统 预乘 通过结果矩阵。

可以执行的基本列操作也是如此：

1. 直接在系统列上；

2. 在单位矩阵的列上；然后系统 后乘 通过结果矩阵。

可以很容易地看出如下。当系统垂直排列时 通过执行基本行操作获得的矩阵是 , 那么等效的系统 是

如果我们转置等式的两边，我们 得到哪里 是通过对单位矩阵执行列运算而获得的矩阵 （转置将行操作转换为列操作）。

列梯形表格

请记住，垂直排列的系统在放入时很容易解决 行梯形表格或 缩小排梯队 形成。这些形式与安排的系统有明显的对应关系 水平： 系统是 当且仅当系统将其表示为（精简）列梯形形式 是 以（精简的）梯队形式。

等效地，矩阵 当且仅当矩阵被称为（梯形）列梯形形式 以（精简）行梯形形式显示。

高斯和高斯约旦消除

最后，高斯和 高斯·乔丹 淘汰，这两种算法可将垂直系统转换为 （简化的）梯形形式的等效系统可以用于 具有简单修改的​​水平系统：每当基本 行操作对于垂直系统是必需的，我们改为执行 在水平系统上进行色谱柱操作。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

写 系统水平地。

练习2

写矩阵 允许将前一个系统的第一列加起来两次 练习到第二列。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "基本列操作", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-column-operations.

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