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基本矩阵

通过 博士

基本矩阵是通过执行以下操作获得的方阵 单位矩阵上的基本行或列操作。

目录

定义

请记住,有三种类型的 基本行 运作 :

  1. 互换两排;

  2. 将行乘以非零常数;

  3. 将一行的倍数添加到另一行。

基本列 运作 定义类似(互换,加法和乘法) 在列上执行)。

当对身份矩阵执行基本运算时,它们会产生 所谓的基本矩阵。

定义 A  $ Kimes K $ 矩阵 E 当且仅当通过执行以下操作获得矩阵时,才称其为基本矩阵 上的基本(行或列)操作  $ Kimes K $ 单位矩阵 I.

例子

基本矩阵的一些示例如下。

如果我们采取  3美金3美金 单位矩阵并将其第一行乘以 $3$, 我们获得基本 矩阵 [eq1]

如果我们采取  3美金3美金 单位矩阵并将其第二列添加到第三列的两倍,我们获得 初级 矩阵 [eq2]

如果我们采取  2元2元 单位矩阵并交换其两列,我们获得基本 矩阵 [eq3]

基本矩阵如何作用于其他矩阵

正如我们已经 解释 ,基本矩阵可用于执行基本 在其他矩阵上的运算。以下两个过程是等效的:

  1. 在矩阵上执行基本运算 A;

  2. 对...执行相同的操作 I 并获得一个基本矩阵 E; 预乘 A 通过 E 如果是行运算或后乘运算 A 通过 E 如果是列操作。

表示为第一更新

可以将基本矩阵表示为 排名第一更新 到 单位矩阵

主张 任何  $ Kimes K $ 基本矩阵 E 可以写 如 [eq4] 哪里  $ u $  $ v $ 是两个 Kx1 列向量 和 [eq5]

证明

表示为 [eq6]K 的列  $ Kimes K $ 单位矩阵 I (即 K 的向量 标准基础 )。 我们通过展示如何设定来证明这一主张  $ u $  $ v $ 为了获得所有可能的基本操作。让我们开始 行和列的互换。 组 [eq7] 然后,  $ uv ^ {op} $ 是一个  $ Kimes K $ 除以下内容外,所有条目均为零的矩阵 条目: [eq8] 如 结果, $ I + uv ^ {op} $ 是互换的结果 k -th 和  $ j $ -th 单位矩阵的行(或 k -th 和  $ j $ -th 柱)。注意 $ v ^ {op} u = -2 $, 以便 $1+v^{	op }u
eq 0$. 现在让我们找到如何将行或列乘以非零常数  $ lpha $ . 组 [eq9] 然后,  $ uv ^ {op} $ 是一个  $ Kimes K $ 矩阵,除1以外,所有条目均为零 条目: [eq10] 如 结果, $ I + uv ^ {op} $ 是乘以 k -th 行(或列)  $ lpha $ . 注意 那 [eq11] 哪一个 不同于零,因为  $ lpha $ 被认为是。现在让我们找到如何添加一行的倍数(或 专栏)。 组 [eq12] 然后,  $ uv ^ {op} $ 是一个  $ Kimes K $ 矩阵,除1以外,所有条目均为零 条目: [eq13] 从而, $ I + uv ^ {op} $ 是添加的结果  $ lpha $  $ j $ -th 排到 k -th (或添加  $ lpha $ k -th 列到  $ j $ -th )。 在这种情况下, $ v ^ {op} u = 0 $, 以便 $1+v^{	op }u
eq 0$.

可逆性

正如我们在关于 矩阵求逆 引理 , 当。。。的时候 健康)状况 [eq14] 是 满意,对身份矩阵的更新排名为 可逆的 [eq15]

因此, 基本矩阵总是可逆的.

此外,基本矩阵的逆也是基本矩阵。 就行操作而言,可以如下所示:

  1. 如果 E 通过将单位矩阵的行乘以非零获得 然后,  $ E ^ {-1} $ 通过将单位矩阵的同一行乘以 该常数的倒数;

  2. 如果 E 通过添加行的倍数获得 i 划船  $ j $ 单位矩阵的  $ E ^ {-1} $ 通过减去行的相同倍数来计算 i 从行  $ j $ 单位矩阵;

  3. 如果 E 是行互换的结果 i $ j $ 单位矩阵的  $ E ^ {-1} $ 通过再次交换单位矩阵的相同行来获得。

类似的语句对列操作有效(我们只需要替换 上面三点中有列的行)。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "基本矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-matrix.

这本书

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