基本矩阵是通过执行以下操作获得的方阵 单位矩阵上的基本行或列操作。
请记住,有三种类型的 基本行 运作 :
互换两排;
将行乘以非零常数;
将一行的倍数添加到另一行。
基本列 运作 定义类似(互换,加法和乘法) 在列上执行)。
当对身份矩阵执行基本运算时,它们会产生 所谓的基本矩阵。
定义
A
矩阵
当且仅当通过执行以下操作获得矩阵时,才称其为基本矩阵
上的基本(行或列)操作
单位矩阵
.
基本矩阵的一些示例如下。
例
如果我们采取
单位矩阵并将其第一行乘以
,
我们获得基本
矩阵
例
如果我们采取
单位矩阵并将其第二列添加到第三列的两倍,我们获得
初级
矩阵
例
如果我们采取
单位矩阵并交换其两列,我们获得基本
矩阵
正如我们已经 解释 ,基本矩阵可用于执行基本 在其他矩阵上的运算。以下两个过程是等效的:
在矩阵上执行基本运算
;
对...执行相同的操作
并获得一个基本矩阵
;
预乘
通过
如果是行运算或后乘运算
通过
如果是列操作。
可以将基本矩阵表示为 排名第一更新 到 单位矩阵
主张
任何
基本矩阵
可以写
如
哪里
和
是两个
列向量
和
表示为
的
的列
单位矩阵
(即
的向量 标准基础 )。
我们通过展示如何设定来证明这一主张
和
为了获得所有可能的基本操作。让我们开始
行和列的互换。
组
然后,
是一个
除以下内容外,所有条目均为零的矩阵
条目:
如
结果,
是互换的结果
-th
和
-th
单位矩阵的行(或
-th
和
-th
柱)。注意
,
以便
.
现在让我们找到如何将行或列乘以非零常数
.
组
然后,
是一个
矩阵,除1以外,所有条目均为零
条目:
如
结果,
是乘以
-th
行(或列)
.
注意
那
哪一个
不同于零,因为
被认为是。现在让我们找到如何添加一行的倍数(或
专栏)。
组
然后,
是一个
矩阵,除1以外,所有条目均为零
条目:
从而,
是添加的结果
倍
-th
排到
-th
(或添加
倍
-th
列到
-th )。
在这种情况下,
,
以便
.
正如我们在关于
矩阵求逆
引理 , 当。。。的时候
健康)状况 是
满意,对身份矩阵的更新排名为
可逆的
和
因此, 基本矩阵总是可逆的.
此外,基本矩阵的逆也是基本矩阵。 就行操作而言,可以如下所示:
如果
通过将单位矩阵的行乘以非零获得
然后,
通过将单位矩阵的同一行乘以
该常数的倒数;
如果
通过添加行的倍数获得
划船
单位矩阵的
通过减去行的相同倍数来计算
从行
单位矩阵;
如果
是行互换的结果
和
单位矩阵的
通过再次交换单位矩阵的相同行来获得。
类似的语句对列操作有效(我们只需要替换 上面三点中有列的行)。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "基本矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-matrix.